山东省德州市2019年中考数学同步复习 重点题型训练 大题加练(一)

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大题加练(一)姓名:_班级:_用时:_分钟1数学课上,张老师出示了问题:如图1,AC,BD是四边形ABCD的对角线,若ACBACDABDADB60,则线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?经过思考,小明展示了一种正确的思路:如图2,延长CB到E,使BECD,连接AE,证得ABEADC,从而容易证明ACE是等边三角形,故ACCE,所以ACBCCD.小亮展示了另一种正确的思路:如图3,将ABC绕着点A逆时针旋转60,使AB与AD重合,从而容易证明ACF是等边三角形,故ACCF,所以ACBCCD.在此基础上,同学们作了进一步的研究:(1)小颖提出:如图4,如果把“ACBACDABDADB60”改为ACBACDABDADB45”,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小颖提出的问题,请你写出结论,并给出证明;(2)小华提出:如图5,如果把“ACBACDABDADB60”改为“ACBACDABDADB30”,其他条件不变,那么线段BC,CD,AC三者之间有何等量关系?针对小华提出的问题,请你写出结论,并给出证明2【问题情境】 在ABC中,BABC,ABC(0180),点P为直线BC上一动点(不与点B,C重合),连接AP,将线段PA绕点P顺时针旋转得到线段PQ,旋转角为),连接CQ.【特例分析】 (1)当90,点P在线段BC上时,过P作PFAC交直线AB于点F,如图1,易得图中与APF全等的一个三角形是_,ACQ_;【拓展探究】 (2)当点P在BC延长线上,ABACmn时,如图2,试求线段BP与CQ的比值;【问题解决】 (3)当点P在直线BC上,60,APB30,CP4时,请直接写出线段CQ的长参考答案1解:(1)BCCDAC.证明如下:如图,延长CD至E,使DEBC,连接AE.ABDADB45,ABAD,BAD180ABDADB90.ACBACD45,ACBACD90,BADBCD180,ABCADC180.ADCADE180,ABCADE.在ABC和ADE中,ABCADE(SAS),ACBAED45,ACAE,ACE是等腰直角三角形,CEAC.CECDDECDBC,BCCDAC.(2)BCCDAC.证明如下:如图,延长CD至E,使DEBC.ABDADB30,ABAD,BAD180ABDADB120.ACBACD30,ACBACD60,BADBCD180,ABCADC180.ADCADE180,ABCADE.在ABC和ADE中,ABCADE(SAS),ACBAED30,ACAE,AEC30.如图,过点A作AFCE于F,CE2CF.在RtACF中,ACD30,CFACcosACDAC,CE2CFAC.CECDDECDBC,BCCDAC.2解:(1)PQC90(2)如图,过P作PFAC,交BA的延长线于F,则.又ABBC,AFCP.FAPABCAPBAPB,CPQAPQAPBAPB,FAPCPQ.由旋转可得PAPQ,AFPPCQ,FPCQ.PFAC,ABCFBP,.(3)线段CQ的长为2或8.理由如下:如图,当P在CB的延长线上时,CPQAPQAPB603030,APCQPC.又APQP,PCPC,APCQPC,CQAC.又BABC,ABC60,ABC是等边三角形,ABC60,BAPABCAPB30,BPABBCPC2,QCACBC2.如图,当P在BC的延长线上时,连接AQ.由旋转可得APQP,APQABC60,APQ是等边三角形,AQPQ,APQ60AQP.又APB30,ACB60,CAP30,CPQ90,CAPCPA,ACPC,ACQPCQ,AQCPQCAQP30,RtPCQ中,CQ2CP8.综上所述,线段CQ的长为2或8.5
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