剩余类环上的多项式环毕业论文正稿

.2014 届本科毕业生毕业论文题目：剩余类环z 2 上的多项式环及因式分解和可约性学院 ：专业班级学生：指导教师：答辩日期：大学教务处. 下载可编辑 .目 录1引言 .12群，环的相关理论 .错误! 未定义书签。2.1 交换群，环的定义错误! 未定义书签。2.2多项式环 .22.3剩余类环和模为2 的剩余类环的证明 .32.4剩余类环上的多项式环.53剩余类环上的因式分解及可约性.53.1模为 2 的剩余类环上多项式环的的因式分解，可约不可约性.54 结论 .10附录 .11参考文献 .11致 谢 .12. 下载可编辑 .剩余类环 z2 上的多项式环及因式分解和可约性摘要：给出群，交换群，环的定义，可逆元的判定；证明剩余类环z 2 为环，构造剩余类环 z 2 上的多项式环， 给出剩余类环 z 2 上的多项式环的因式分解及判断可约性。关键字：环；剩余类环；剩余类环上的多项式环；多项式环的因式分解；多项式环的可约性。. 下载可编辑 .Factorizationof polynomialringand the residueclassringz2 decomposition and reducibilityAbstract:This paper presents group, abelian groups, rings,determinationof invertibleelements;prove the residueclassringring,polynomial ring over residue class rings, given the residue class ring ring of polynomials factorization and determine the reducibility.Keywords: ring ； residueclass ring ；polynomialringover residueclassrings ；the ring of polynomials factorization；polynomial ringreducibility. 下载可编辑 . 下载可编辑 .1 引言19世纪以及整个 20世纪里，人们建立并发展了众多的代数理论，其中对群，环，域等代数结构的研究获得了巨大的成功， 使得代数成为 20世纪最活跃的数学学科。在 1930年与 1931年，荷兰数学家徳瓦尔登先后出版了两卷本的德文专著 Moderne Algebra( 近世代数 ) 1 。目前，近世代数的理论，思想与方法已经浸透到数学的许多领域，并成为整个现代数学的主要组成部分。模 n 的剩余类环的问题不仅在近世代数中占有重要地位 , 也在解决生活实际问题时有一定的应用 , 学者们就对各种环进行了深入系统的的研究，并开辟了许多新的研究领域， 取得了许多有意义的研究成果。 模 n 剩余类环就是其中研究比较透切的一种特殊的环。 模 n 的剩余类环为有限可换环， 整环及域都提供了丰富的例证但其性质散见于各种论著之中。然而，在高等代数里我们已经看到，全体整数对于数的加乘做成一个环。本文我们进一步讨论整环，多项式环，模为 2 剩余类环，模为 2 的剩余类环上的多项式环的因式分解及可约性。2 群，环的相关理论2.1交换群，环的定义，可逆的判定群，交换群2定义 4设 G是非空集合，在 G 上有一个代数运算，叫做乘法，对G 的任意两个元 a , b ，其运算的结果称为a 与 b 的积，记为 cab, 如果还满足1. 结合律 : a bcab c , a, b,cG .2. 有单位元 e , 使得 eaaea ,aG3. 对每个 aG , 有 bG , 使 abbae, b 称为 a 的一个逆元 .则称 G 为一个群. 下载可编辑 .当群 G 的运算满足交换律时， 成 G 为交换群，这时也常把其运算记成加法，并称它是一个加（法）群（ 注意 加群中零元相当于乘法群中的单位元，而负元相当于乘法群中的逆元） 2 。环的定义定义 3 一个集合 R 叫做一个 环. 假如1. R 是一个加群，换句话说， R 对于一个叫做加法的代数运算来说做成一个交换群；2. R 对于另一个叫做乘法的代数运算来说是闭的；3. 这个乘法适合结合律；a bcabc不管 a , b, c 是 R 的哪三个元；4. 两个分配律成立：a bcabacbc abaca不管 a , b, c 是 R 的哪三个元 .2.2多项式环假定 R0 是一个有单位元的交换环，R是 R0的子环，并且包括 R0 的单位元。我们在 R0 里取出一个元 x 来，那么a0 x0a1 x1.an xna0.an xnaiR定义5a .a xnai,0一个可以写成 aR n01n形式的表达式，称为 R 上的 x 的一个多项式 。 ai 叫做多项式的 系数 。现在我们把所有的 R 上的x 的多项式放在一起，作为一个集体，这个集合我. 下载可编辑 .们用 R x 来表示 . 我们要注意，对于 mn ，a 0.a m x ma0Lam x m0 x m 1.0 x n所以当我们只看R x 的有限个多项式的时候，可以假定这些多项式的系数都是一样的。因此，R x 的两个元相加相乘适合以下公式：a0.a xnb.b xnab.anbxnn0n00na 0.a m x mb 0.bn x nc0.cmn x mn这里c ka 0bka1bk 1.a k b0a i b jijk这两个式子告诉我们，R x 对于加法和乘法来说都是闭的。由于我们也有-a0.a xna.axnR xn0n所以 R x 是一个环。 R x 显然是 R0 包括 R 和 x 的最小子环。定义 5R x 叫做 R 上的 x 的多项式环。2.3剩余类环的定义和模为2 的剩余类环的证明剩余类环的定义本小节给出了剩余类环的定义，为证明模2 的剩余类 Z2 为环提供了理论基础。给了一个环 R 和 R 的一个理想 附录 若我们只就加法来看，R 作成一个群， 作成 R 的一个不变子群。这样的陪集 a , b , c ,作成 R的一个分类。我们现在把这些类叫做模的剩余类。 这个分类相当于 R 的元间的一个等价关系这个等价关系现在我们用符号a b( ) 来表示 9 。9假定 R 是一个环，是它的一个理想， R 是所有模的剩余类定理 1. 下载可编辑 .做成的集合。那么 R 本身也是一个环，并且R 与 R 同态。定义 9R 叫做环 R 的模的剩余类环。这个环我们用R /来表示。证明模 2 的剩余类 Z2 是环证明： 已知模 2 的剩余类由 Z2 = 0,1 构成的一个集合 . Z2 对加法和乘法满足下列运算表：为方便记：00,11 ，01010010001101011对a , b , cZ 2abcZ2 成立(对加法是封闭的） 对a , b , cZ 2abcabc 成立(对加法满足结合律） 对a , b , cZ 2ab0Z2 成立（存在零元） 对a , b , cZ 2abba（对加法满足交换律）由可知 Z2 对加法满足交环群 . 对a , b , cZ 2abcZ2（对乘法的代数运算是封闭的） 对a , b , cZ 2a bcab c（对乘法满足结合律）. 下载可编辑 . 对a , b , cZ 2a bcabac（对乘法满足两个结合律）bc abaca由可知Z 2 是环。2.4剩余类环上的多项式环我们已得出 Z 2 是环而且是交换环。定义 2R 为交换环，交换环R0a0 , a1,.an ,. a0 ,a1,.R,且只有限个 ai0正是R xan xnan 1.a0n 为非负数，an ,.a0R，称为 R 上的多项式环。所以可知，模为 2 的剩余类环 Z 2 上的多项式环的形式为：Z xan xnan 1.a0n 为非负数 ,an ,.a0Z2, Z20,1.3 剩余类环上的因式分解及可约性3.1模为 2 的剩余类环上多项式环的的因式分解和可约性设f ( x)F x ,cF , c0 ，有 c f (x), cf ( x) f (x) ，所以我们有以下面定义 .定义 2.5.14F x , c F , c 0 ，我们称 c 与 cf (x) 为多项设 f (x)式 f (x) 的平凡因式 .定义4 设f ( x)F x ，如果 f x 在 F x 中有非平凡因式，则. 下载可编辑 .称 f x 在 Fx 中可约，否则称f x在 F x 中不可约 .定理 2.4.37f x Fx ,0f xn0,f x 在 F x 中都可以分解为不可约多项式的乘积 .证 若 fx 在 F x 中不可约，则结论成立。若fx 在 F x 中可约，则f1 x , f 2 xF x , “ f xf1 x f2 x 且 00 f1 x0 f 2 x ”此时迹有00f2 x0fx.若 f1 x , f2 x 都不可约，则结论成立 .若 f1 x 或 f 2 x 都不可约，则继续分解。因为分解后的因式的次数降低，而一次多项式不可约，所以分解必会终止。即fxp1 x p2 x . pk x ,r1,2,., k , pr x不可约 .故结论成立 .上节我们已给出模为2 的剩余类环 Z 2 上的多项式环的形式Z2xf(x)axna.an为非负数 ,nn 10an ,.a0Z2, Z20,1，模为 2。接下来我们讨论它的因式分解及可约性。1. 当 x 的最高次方为 0 时， f (x) =0, f (x) =1 为常数多项式。 它为不可约多项式 10 。2. 当 x 的最高次方为 1时：f (x) = x ,f ( x) = x1 最高次方为一时，该多项式不可约。3. 当 x 的最高次方为 2 时，共有 4 个多项式：（ 1） f (x) = x2xx为可约多项式 。（ 2） f (x) = x21x21 x 1 x 1为可约多项式。. 下载可编辑 .（ 3） f (x) = x2xx x 1为可约多项式。（ 4） f (x) = x2x1为不可约多项式。4. 当 x 的最高次方为 3 时，共有 8个多项式：（ 1） f (x) = x3xx x（ 2） f (x) = x31x31x1 x2x1（ ） f (x)=x3xx x 1x13（ 4） f (x) = x3x1（ 5） f (x) = x3x2x x x1（ 6） f (x) = x3x21（ 7） f (x) = x3x2xx x2x1（ 8） f (x) = x3x2x1x1x1x 15. 当 x 的最高次方为 4 时，总有 16个多项式：（ 1） f (x) = x4xx x x（ 2） f (x) = x41x41x1x1x1 x（ 3） f (x) = x4xx x1x2x1（ 4） f (x) = x4x1（ 5） f (x) = x4x2xx x1x1（ 6） f (x) = x4x21（ 7） f (x) = x4x2xx x3x1（ 8） f (x) = x4x2x1x1 x2x1（ 9） f (x) = x4x3xxx x1（ 10） f (x) = x4x3 1为可约多项式。为可约多项式。为可约多项式。为不可约多项式。为可约多项式。为不可约多项式。为可约多项式。为可约多项式。为可约多项式。1 为可约多项式。为可约多项式。为不可约多项式。为可约多项式。为不可约多项式。为可约多项式。为可约多项式。为可约多项式。为不可约多项式。. 下载可编辑 .（ ）f (x) = x4x3x x x3x21为可约多项式。11（ 12） f (x) = x4x3x1x1x1x2x1 为可约多项式。（ 13） f (x) = x4x3x2xx x2x1为可约多项式。（ 14） f (x) = x4x3x21x1x3x1为可约多项式。（ 15） f (x) = x4x3x2xx x1x1x1为可约多项式。（ 16） f (x) = x4x3x2x1为不可约多项式。6. 当 x 的最高次方为 5 时，总有 32个多项式：（ 1）（ 2）f (x)x5xx xx x为可约多项式。f (x)x51x1 x4x3x2x 1为可约多项式。（ 3） f ( x)x5xx( x1)( x1)( x1)( x1)为可约多项式。（ 4） fxx5x1为不可约多项式。（ 5）fxx5x2x(1)(x2x1)为可约多项式。x x（ 6） f ( x)x5x21为不可约多项式。（ 7） f (x)x5x2xx(x4x1)为可约多项式。（ 8） f (x)x5x2x1(x1)( x1)( x3x1) 为可约多项式。（ 9） f (x)x5x3xxx( x1)( x1)为可约多项式。（ 10） f ( x)x5x31为不可约多项式。（ 11） f ( x)x5x3xx( x4x21)为可约多项式。（ 12） f ( x)x5x3x1( x1)( x4x3 1)为可约多项式。（ 13） f ( x)x5x3x2xx(x3x1)为可约多项式。（ 14） f ( x)x5x3x21 （ x1）(x1)( x1)( x2x 1) 为可约多项式。. 下载可编辑 .（ 15） f ( x)x5x3x2xx( x 1)( x3x21) 为可约多项式。（ ）f (x)x5x3x2x1为不可约多项式。16（ 17） f ( x)x5x4xxxx( x1)为可约多项式。（ 18） f ( x)x5x41为不可约多项式。（ 19） f ( x)x5x4xx(x4x31)为可约多项式。（ 20） f (x)x5x4x1 ( x 1)( x 1)( x 1)( x 1)( x 1) 为可约多项式。（ 21） f ( x)x5x4x2xx(x3x21)为可约多项式。（ 22） f ( x)x5x4x21( x1)( x4x1)为可约多项式。（ 23）f ( x)x5x4x2xx( x1)( x1)( x2x1) 为可约多项式。（ 24）（ 25）f ( x)x5x4x2x1为不可约多项式。f ( x)x5x4x3x xx(x2x 1)为可约多项式。（ 26） f ( x)x5x4x31(x1)( x1)( x3x21) 为可约多项式。（ 27）（ 28）f ( x)x5x4x3xx( x 1)( x3x 1) 为可约多项式。f ( x)x5x4x3x1为不可约多项式。（ 29） f ( x) x5x4x3x2x x( x 1)( x 1)( x 1) 为可约多项式。（ 30）（ 31）项式。f ( x)x5x4x3x21不可约多项式。f ( x)x5x4x3x 2xx( x4x3x2x 1) 为可约多（ 32） f ( x)x5x4x3x2x 1 （ x1）(x4x2 1) 为可约多项式。. 下载可编辑 .4 结论我们已给出了剩余类环和模为 2 的剩余类环的证明，模为 2 的剩余类环上多项式环的的因式分解和可约性，显然， 我们可发现， 模为 2 的剩余类环上多项式环因式分解后，它的可约不可约性有以下的几个规律：（ 1）多项式的最高次数低于二次（不包含二次）的多项式一律不可约。（ 2）多项式的最高次数高于二次方（包含二次）时，当多项式的项的个数为奇数且含有常数项时，该多项式不可约。（ 3）多项式的最高次数高于二次方（包含二次）时，在多项式的最高次方为奇数的，包含常数项的情况下， 多项式缺项（项的系数为零） 时，该多项式不可约，反而不缺项时，该多项式都可约。（ 4）多项式的最高次方为 n 时，多项式的最多项数为 n 1 。我们有了以上的规律后， 以后碰到模为 2 的剩余类环上多项式环中的高次多项式的时候都可以判断各种多项式的可约不可约性。. 下载可编辑 .附录定义 10环 R 的一个非空自己叫做一个理想子环，简称理想，假若(i )a , bab（ii ）a, rRra , ar参考文献：1近世代数 研传 : 科学 2010 年 9 月第一版 , 前言 (ii).2近世代数初步（第二版）石生明：高等教育，2002 年 7 月第一版，第4 页 .3 近世代数基础（修订本）禾瑞 : 高等教育， 2012 年 5 月第 49 出版，第 82 页 .4 高等代数高孝忠 : 清华大学， 2013 年 4 月第一版 , 第 30 页 .5 近世代数基础（修订本）禾瑞 : 高等教育， 2012 年 5 月第 49 出版，第 102 页 .6 近世代数 淼清：大学 2005 年 8 月第一版，第 131 页.7 高等代数志让，启宽：高等教育2008 年 1 月第一版，第129 页.8 抽象代数 I 良云：科学， 2010 年 1 月第一版，第 49 页 .9近世代数初步 石生明：高等教育，2006 年 3 月第一版，第 93 页 .10高等代数 熊全淹主审：高等教育，2000 年 7 月第 14 版，第 21 页. 下载可编辑 .致 谢大学生活一晃而过， 回首走过的岁月，心中倍感充实。当我写完这篇毕业论文的时候，有一种如释重负的感觉，感慨良多。首先我非常感谢我的论文导师曾吉文老师。导师润博专业知识，严谨的治学态度，精益求精的工作作风，宽以待人的崇高风，朴实无华，平易近人的人格魅力对我影响深远。不仅使我树立了远大的学术目标，掌握了基本研究方法， 还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。 本论文从选题到完成， 每一步都是在导师的指导下完成的， 倾注了导师的大量心血。 在此向导师表示崇高的敬意和衷心的感谢！感谢四年中陪伴在我身边的老师，同学，宿友，朋友们，感谢他们为我提出的有益的建议和意见，有了他们的支持，鼓励和帮助， 我才能度过了四年的学习生活。. 下载可编辑 .