可微性与偏导数课件

1 可微性与偏导数 本节首先讨论二元函数的可微性, 这是多元函数微分学最基本的概念. 然后给出对单个自变量的变化率, 即偏导数. 偏导数无论在理论上或在应用上都起着关键性的作用. 四、四、可微性的几何意义及应用 一、一、可微性与全微分二、二、偏导数三、三、可微性条件一、一、可微性与全微分 定义定义 1 设函数设函数0( , )()zf x yU P 在在某某邻邻域域内有定内有定 000( , )(,)(),P x yxx yyU P 义义. .对于对于若若 f 在在 0P:z 可可表表示示为为的全增量的全增量0000(,)(,)( ),zf xx yyf xyA xB yo (1)0P22,xy 其中其中A, ,B是仅与点是仅与点有关的常数有关的常数, ( )o 是是0P的高阶无穷小量的高阶无穷小量, 则称则称 f 在点在点可微可微. 并称并称 (1) 式中关于式中关于,xyA xB y 的的线线性性表表达达式式|,|xy dz由由 (1), (2) 可见可见, ,当当 充分小时充分小时, 全微分全微分 (,)(0,0)(,)(0,0)limlim0.xyxy这里这里,zA xByxy(4)000d |d (,).Pzf xyAxBy (2)0fP在在为为的的全微分全微分, 记作记作 z 可作为全增量可作为全增量 的近似值的近似值, 于是有近似公式于是有近似公式: 在使用上在使用上, 有时也把有时也把 (1) 式写成如下形式：式写成如下形式：0000( , )(,)()().f x yf xyA xxB yy(3)例例1 考察考察 00( , )(,).f x yxyxy 在在任任一一点点的的可可微微性性解解 f在在点点 00(,)xy处的全增量为处的全增量为000000(,)()()f xyxxyyx y 00.yxxyxy 由于由于 | |0(0),xyxy 00( ).(,),x yofxy 因因此此从从而而在在可可微微 且且00d.fyxxy 二、偏导数 由一元函数微分学知道由一元函数微分学知道: 若若 0( ),f xx在在可可微微则则 00()()(),f xxf xA xox 其其中中0().Afx( , )f x y00(,)xy现在来讨论现在来讨论: 当二元函数当二元函数 在点在点 可微可微 时时, (1) 式中的常数式中的常数 A, B 应取怎样的值？应取怎样的值？ 为此在为此在 (4) 式中先令式中先令 0(0),yxf 这这时时得得到到关关x于于的的偏偏增增量量为为.xxzzA xxAx 或或0,xA 现现让让由由上上式式便便得得的的一一个个极极限限表表示示式式000000(,)(,)limlim.xxxzf xx yf xyAxx (5) 容易看出容易看出, (5) 式右边的极限正是关于式右边的极限正是关于 x 的一元函数的一元函数00( ,).f x yxx 在在处处的的导导数数类似地类似地, (4)0(0),xy 在在式式中中令令又可得到又可得到000000(,)(,)limlim,yyyzf xyyf xyByy (6)它是关于它是关于 y 的一元函数的一元函数00(, ).f xyyy 在在处处的的导导数数二元函数当固定其中一个自变量时二元函数当固定其中一个自变量时, 它对另一个自它对另一个自 变量的导数称为该函数的偏导数变量的导数称为该函数的偏导数, 一般定义如下一般定义如下: 0.x 的的某某邻邻域域内内有有定定义义 则当极限则当极限 存在时存在时, 称此极限为称此极限为 00(,)fxy在点在点关于关于x 的偏导数的偏导数, 记作记作000000(,)(,)(,),.xxyxyfzfxyxx 或或0( , ), ( , ),( ,)zf x yx yDf x y设设函函数数且且在在定义定义 2 000000(,)(,)limlimxxxzf xx yf xyxx(7)类似地可定义类似地可定义 00(,)fxy在点在点关于关于 y 的偏导数的偏导数: 000000(,)(,)limlim,yyyzf xyyf xyyy (7) 记作记作000000(,)(,)(,),.yxyxyfzfxyyy 或或注注1 1 ,xy 这这里里是是专专用用于于偏偏导导数数的的符符号号, ,与与一一元元ddx函函数数的的导导数数符符号号相相仿仿, ,但但又又有有区区别别. .注注2 在上述定义中在上述定义中,00(,)fxy在点在点存在对存在对 x (或或 y) ,f的的偏偏导导数数 此此时时至至少少在在00( , ),|x yyyxx 00( , ),|.x yxxyy 或或上上必必须须有有定定义义显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在显然，在定义域的内点处总能满足这种要求，而在 界点处则往往无法考虑偏导数界点处则往往无法考虑偏导数( , )zf x y ( , )x y若函数若函数 在区域在区域 D 上每一点上每一点 都存在都存在 对对 x ( 或对或对y ) 的偏导数的偏导数, 则得到则得到 ( , )zf x y 在在 D 上上 对对 x (或对或对y) 的偏导函数的偏导函数 (也简称偏导数也简称偏导数), 记作记作 ( , )( , )( , )( , ),xyf x yf x yfx yfx yxy 或或或或,.xxyyfffzfzxy 也也可可简简单单地地写写作作或或或或偏导数的几何意义偏导数的几何意义: ( , )zf x y 的几何图象通常是的几何图象通常是 三维空间中的曲面三维空间中的曲面, 设设 0000(,)P xyz为此曲面上一为此曲面上一 000(,) .zf xy 00,Pyy 过过点点作作平平面面它它与与点点, 其中其中 曲面相交得一曲线：曲面相交得一曲线：0:,( , ).Cyyzf x y 如图如图17-1 所示，偏导数所示，偏导数 00(,)xfxy的几何意义为的几何意义为:在平面在平面 0yy 上上, 曲线曲线 C 在点在点 P0 处的切线与处的切线与 x 轴轴 00(,)tan .xfxy 正向所成倾角正向所成倾角 的正切，即的正切，即 xyzO0P 图图 17-1 0y( , )zf x y C 可同样讨论偏导数可同样讨论偏导数 00(,)yfxy的几何意义的几何意义 (请读者自请读者自 行叙述行叙述) 由偏导数的定义还知道由偏导数的定义还知道, 多元函数多元函数 f 对某一个自变对某一个自变 量求偏导数量求偏导数, 是先把别的自变量看作常数是先把别的自变量看作常数, 变成一变成一 元函数的求导元函数的求导. 因此第五章中有关求导数的一些基因此第五章中有关求导数的一些基 本法则本法则, 对多元函数求偏导数仍然适用对多元函数求偏导数仍然适用.例例2 323( , )2(1,3)f x yxx yy求求函函数数在在点点处处关关于于 x 和关于和关于 y 的偏导数的偏导数. 解解 先求先求 f 在点在点 (1, 3) 处关于处关于 x 的偏导数的偏导数. 为此为此, 令令y = 3, 得到得到 32( ,3)627,f xxx求它在求它在 x = 1 的的导导数数, 则得则得 211d ( ,3)(1,3)(312 )15.dxxxf xfxxx再求再求 f 在在 (1, 3) 处关于处关于 y 的偏导数的偏导数. 为此令为此令 x = 1, 得得 3(1, )12,fyyy 求它在求它在 y =3 处的导数处的导数, 又得又得 233d (1, )(1,3)2325.dyyyfyfyy 通常也可先分别求出关于通常也可先分别求出关于 x 和和 y 的偏导函数的偏导函数: 222( , )34,( , )23.xyfx yxxyfx yxy然后以然后以 (x, y) = (1, 3) 代入代入, 也能得到同样结果也能得到同样结果.例例3 求函数求函数 (0)yzxx 的偏导数的偏导数.解解 把把 yzx 依次看成幂函数和指数函数依次看成幂函数和指数函数, 分别求得分别求得 1,ln .yyzzy xxxxy 例例4 求三元函数求三元函数 2sin(e )zuxy的偏导数的偏导数. 解解 把把 y 和和 z 看作常数看作常数, 得到得到 2cos(e );zuxyx 22 cos(e );zuyxyy 2e cos(e ).zzuxyz 把把 z , x 看作常数看作常数, 得到得到 把把 x, y 看作常数看作常数, 得到得到 三、可微性条件 000(,),fP xyf在在点点可可微微 则则在在由可微定义易知由可微定义易知: : 若若 0P 必连续必连续. .这表明这表明: : “ “ 连续是可微的一个必要条件连续是可微的一个必要条件”此外此外, 由由 (5), (6) 两式又可得到可微的另一必要条两式又可得到可微的另一必要条 件件: 定理定理17.1 若二元函数若二元函数 f 在其定义域内一点在其定义域内一点 ( x0, y0 ) 处可微处可微, 则则 f 在该点关于每个自变量的偏导数都存在该点关于每个自变量的偏导数都存 在此时在此时, (1) 式中的式中的 0000(,),(,).xyAfxyBfxy于是于是, 函数函数 00(,)fxy在点在点的全微分的全微分 (2) 可惟一地表可惟一地表示为示为000000d (,)(,)(,).xyf xyfxyxfxyy 与一元函数一样与一元函数一样, 若约定自变量的增量等于自变量若约定自变量的增量等于自变量 的微分，即的微分，即 d,d ,xxyy 则全微分又可写为则全微分又可写为 000000d (,)(,)d(,)d .xyf xyfxyxfxyy若函数若函数 f 在区域在区域 D 的每一点的每一点 (x, y) 都可微都可微, 则称函则称函 数数 f 在区域在区域 D 上可微，且上可微，且 f 在在 D 上的全微分为上的全微分为 d ( , )( , )d( , )d .xyf x yfx yxfx yy(8)定理定理17. 1 的应用的应用: 对于函数对于函数 22( , ),f x yxy 由于由于 ( ,0)|,(0, )|,f xxfyy 0 x 它们分别在它们分别在0y 与与(0,0)xf与与都不可导，即都不可导，即(0,0),yf都都不不存存在在( , )(0,0).f x y 在点不可微在点不可微故故00(,0)(0,0)00(0,0)limlim0;xxxfxffxx 再看一个例子再看一个例子: 在原点的可微性在原点的可微性222222,0,( , )0,0 xyxyxyf x yxy例例5 考察函数考察函数解解 按偏导数的定义先求出按偏导数的定义先求出 同理可得同理可得(0,0,)0.yf 若若 f 在原点可微在原点可微, 则则 22(0,0)(0,0)(0,0)(0,0)xyfxyffxfyx yxy 22xy 应应是是的的高高阶阶无无穷穷小小量量. . 然然而而, ,极极限限220limxyxy 却不存在却不存在 (第十六章第十六章2 例例3), 故此故此 f (x, y) 在原点不可微在原点不可微. 以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的而以前知道，一元函数可微与存在导数是等价的而 这个例子说明这个例子说明: 对于多元函数对于多元函数, 偏导数即使都存在偏导数即使都存在, 该函数也不一定可微现在不禁要问该函数也不一定可微现在不禁要问: 当所有偏导当所有偏导 数都存在时数都存在时, 还需要添加哪些条件还需要添加哪些条件, 才能保证函数可才能保证函数可 微呢微呢? 请看如下定理请看如下定理: 定理定理 17.2 ( 可微的充分条件可微的充分条件 ) 若函数若函数( , )zf x y在在 000(,)P xy,xyff与与点点的某邻域内存在偏导数的某邻域内存在偏导数 且它且它 0Pf0P在点在点们在点们在点连续连续, 则则可微可微.000000000000(,)(,) (,)(,) (,)(,).zf xx yyf xyf xx yyf xyyf xyyf xy 在第一个方括号里的是函数在第一个方括号里的是函数0( ,)f x yy 关于关于 x 的增量的增量; 在第二个括号里的是函数在第二个括号里的是函数 0(, )f xy关于关于 y 的增量的增量. 第二步第二步 对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值对它们分别应用一元函数的拉格朗日中值 定理定理, 则则12,(0,1), 使得使得证证 第一步第一步 把全增量把全增量 写作写作z 010002(,)(,).xyzfxxyyxfxyyy (9)00,(,),xyffxy在点连续在点连续第三步第三步 由于由于 因此有因此有 (,)(0,0),0,0.xy 其其中中当当时时0000(,)(,).xyzfxyxfxyyxy 第四步第四步 将将 (10), (11) 代入代入 (9) 式式, 得到得到 由可微定义的等价式由可微定义的等价式 (4), 便知便知 00(,).fxy在在点点可可微微00200(,)(,),yyfxyyfxy (11)01000(,)(,),xxfxx yyfxy (10)定理定理17.的应用的应用 容易验证例容易验证例2 中的函数中的函数 323( , )2f x yxx yy满足定理满足定理 17.2 的条件的条件, 故在点故在点 (1, 3) 可微可微 (且在且在2R上处处可微上处处可微); 3( , )|0,yzxx yxy例例 中中的的函函数数在在 上满足定理上满足定理 17.2 的条件的条件, 亦在其定义域上可微；亦在其定义域上可微；例例4 中的函数中的函数23sin(e )Rzuxy在在上上同同样样可可微微. .注意注意 偏导数连续并不是可微的必要条件，例如偏导数连续并不是可微的必要条件，例如 222222221()sin,0,( , )0,0.xyxyxyf x yxy 它在原点它在原点 (0,0) 处可微处可微, 但但xyff与与却在该点不连续却在该点不连续 (见本节习题见本节习题 7，请自行验证，请自行验证). 所以定理所以定理 17.2 是可是可 微的充分性定理微的充分性定理( , )f x y00(,)xy在在点点xyff与与若若的偏导数的偏导数都连续都连续, 则则 00(,)fxy称称在在点点连续可微连续可微 在定理在定理 17.2 证明过程中出现的证明过程中出现的 (9) 式式, 实际上是二实际上是二 ( , ),x y导导数数, ,若若属属于于该该邻邻域域 则则存存在在元函数的一个中值公式元函数的一个中值公式, 将它重新写成定理如下将它重新写成定理如下: 00000( , )(,)( , )()(, )().xyf x yf xyfyxxfxyy (12)00(,)fxy在点在点的某邻域内存在偏的某邻域内存在偏定理定理 17.3 设函数设函数120,1, 和和 010()xxx020(),yyy 使得使得四、可微性的几何意义及应用 一元函数一元函数( ) yf x可微，在几何上反映为曲线存在可微，在几何上反映为曲线存在 不平行于不平行于 y 轴的切线轴的切线. 对于二元函数而言对于二元函数而言, 可微性可微性 则反映为曲面与其切平面之间的类似关系则反映为曲面与其切平面之间的类似关系. 为此需为此需 要先给出切平面的定义要先给出切平面的定义, 这可以从切线定义中这可以从切线定义中获得获得 启发启发. 在第五章在第五章1中中, 我们曾把平面曲线我们曾把平面曲线 S 在其上某一在其上某一 00(,)P xy点点的切线的切线 PT 定义为过点定义为过点 P 的割线的割线 PQ 当当 Q 沿沿 S 趋近趋近 P 时的极限位置时的极限位置 (如果存在的话如果存在的话). 这时这时,PQ 与与 PT 的夹角的夹角 也将随也将随 QP 而趋于零而趋于零(参见参见图图17-2). 用用 h 和和 d 分别表示点分别表示点 Q 到直线到直线 PT 的距离的距离 和点和点 Q 到点到点 P 的距离的距离, 由于由于 PTSdh图图 17 - 2 Qsin, hdQSP因因此此当当沿沿趋趋于于时时, ,0.hd0 等同于等同于定义定义 3 设曲面设曲面 S 上一上一一个一个平面平面, S 上的动点上的动点 仿照这个想法仿照这个想法, 我们引我们引进曲面进曲面 S 在点在点 P 的切平的切平 面的定义面的定义(参见图参见图17-3). PQhdxyzOS 图图 17 - 3 点点 P, 为通过点为通过点 P 的的Q 到定点到定点 P 和到平面和到平面 的距离分别记为的距离分别记为 d 和和 h. 若若当当 Q 在在 S 上以任上以任意方式趋近于意方式趋近于 P 时时, 恒有恒有 0,hd 则称则称 为曲为曲面面 S 在点在点 P 的的切平面切平面, 称称 P 为为切点切点. 定理定理 17.4 曲面曲面0000( , )(,(,)zf x yP xyf xy 在点在点存在不平行于存在不平行于 z 轴的切平面的充要条件是轴的切平面的充要条件是: : 函数函数 f在点在点000(,)P xy可微可微. 证证 (充分性充分性) 若函数若函数f在在 P0 可微可微, 由定义知道由定义知道 0000000(,)()(,)()( ),xyzzfxyxxfxyyyo 讨论过点讨论过点0000(,(,)P xyf xy的平面的平面: 0000000(,)()(,)(),xyZzfxyXxfxyYy 其中其中 X, Y, Z 是平面上点的流动坐标是平面上点的流动坐标. 下面证明它就下面证明它就 是曲面是曲面( , )zf x yP 在在点点的切平面的切平面. ( , , )Q x y z 由于由于 S 上动点上动点 到到的距离为的距离为 0000000220000|(,)()(,)()|1(,)(,)xyxyzzfxyxxfxyyyhfxyfxy2200000(,),.()()zf xyxxyy 其其中中现在现在220000| ( )|,1(,)(,)xyofxyfxy 000222()()(),dxxyyzz 00hd 因因此此, ,由由，并并当当时时有有220000| ( )|10,1(,)(,)xyhhodfxyfxy P 到到 Q 的距离为的距离为 ( , )zf x y 在点在点根据定义根据定义 3 便知便知平面平面 即为曲面即为曲面P 的切平面的切平面 ( , )zf x yP 在在点点(必要性必要性) 若曲面若曲面存在不平行于存在不平行于z 轴的切平面轴的切平面 000()().ZzA XxB Yy第一步第一步 设设 Q(x, y, z) 是曲面上任意一点是曲面上任意一点, 由由 Q 到这到这 个平面的距离为个平面的距离为 00022|()()|.1zzA xxB yyhABQP 0.hd由切平面的定义知道由切平面的定义知道, 当当时时, 有有 因因此对于充分接近的此对于充分接近的 P 与与 Q, 有有 2222|1,12 1hzA xB yddABAB 由此则得由此则得 221|.22dzA xByz 00022222,.xxxyyyzzzxydxyz ，令令 ()( ).zAxByo |()|ratio zAxBy 由于 由于 defdef2222|11zA xB ydABdAB 221,hdABd f000(,)P xy第二步第二步 分析分析: 要证明要证明 在点在点可微可微, 事实事实 上就是需证上就是需证 因此因此, 若能证得当若能证得当 d 充充分分小小时时，为为一一有有界界量量，则有则有0lim ratio = 0. |:z 是有界量是有界量|abab由由第三步第三步 先证先证 可推得可推得 2211|(|),22zAxByzz 故有故有 11|,22zAxBy |2 |12(|)1.zxyABAB 第四步第四步 :d 再证是有界量再证是有界量由上式进一步可得由上式进一步可得 222112( | 1 ).zdzzAB 000(,)P xy根据第二步的分析，这就证得根据第二步的分析，这就证得在点在点 可微可微. . 000(,)P xy定理定理 17.4 说明说明: : 函数函数在点在点可微可微, , 则曲面则曲面 000( , )(,)zf x yP xy z 在在点点处的切平面方程为处的切平面方程为0000000(,)()(,)().xyzzfxyxxfxyyy (13)过切点过切点 P 与切平面垂直的直线称为曲面在点与切平面垂直的直线称为曲面在点 P 的的 法线法线. 由切平面方程知道，由切平面方程知道，法向量法向量为为 0000(,),(,),1),xynfxyfxy 于是过切点于是过切点 P 的法线方程为的法线方程为 0000000.(,)(,)1xyxxyyzzfxyfxy (14)二元函数全微分的几何意义二元函数全微分的几何意义: 如图如图17 4 所示所示, 当自当自 0000d(,)(,),xyzfxyxfxyy 的全微分的全微分而在点而在点 00(,)xy00(,)xy00(,)xx yy 变为变为时时, 函函变量变量 由由 ( , )x y是是 z 轴方向上的一段轴方向上的一段 NQ; ( ,)zf x y 的增量的增量 z 数数 则是切平面则是切平面 上相应上相应的那的那一段一段增量增量 NM. 于于 12PM MM而趋于零而趋于零, 而且是较而且是较 高阶的无穷小量高阶的无穷小量. 0 是是, 与与 dz 之差是之差是 MQ 那一段，它的长度将那一段，它的长度将随着随着 z 图图 17 4 xyzOS PQ1Q2QM1M2MN1N2N00(,)xy00(,)xx yy例例6 试求抛物面试求抛物面22000(,)zaxbyP xy z 在在点点处处 的切平面方程与法线方程，其中的切平面方程与法线方程，其中22000.zaxby 解解 000000(,)2,(,)2,xyfxyaxfxyby由公式由公式 (13), 在点在点 P 处的切平面方程为处的切平面方程为 000002()2().zzaxxxbyyy 22000,za xby又又因因所所以以它它可可化化简简为为000220.ax xby yzz由公式由公式 (14), 在点在点 M 处的法线方程为处的法线方程为 00000.221xxyyzzaxby下面的例下面的例 8 和例和例 9 是利用线性近似公式是利用线性近似公式 (3) 所作的所作的 近似计算和误差估计近似计算和误差估计. 例例7 求求 3. 961. 08的近似值的近似值. ( ,),yf x yx 001,4,0.08,xyx 并并令令解解 设设0.04.y 由公式由公式 (3)，有，有3. 96001. 08(,)f xx yy (1,4)(1,4)(1,4)xyffxfy 414 0.081ln1 ( 0.04)1. 32. 例例8 1sin2SabC应应用用公公式式计计算算某某三三角角形形的的面面积积, ,12.50,8.30,30 .,abCa b现现测测得得若若测测量量的的误误0.01,0.1 ,C差差为为测测量量的的误误差差为为试试求求用用此此公公式式计算三角形面积时计算三角形面积时的绝对误差限和相对误差限的绝对误差限和相对误差限. 解解 依题意，测量依题意，测量 a, b, C 的绝对误差限分别为的绝对误差限分别为 | 0.01,| 0.01,| 0.1.1800abC 由于由于|d|SSSSSabCabCSSSabCabC 因此将各数据代入上式因此将各数据代入上式, 即得即得 S 的绝对误差限为的绝对误差限为 |0.13.S 11| sin| | sin| |221|cos| |,2bCaaCbabCC 111sin12.50 8.3025.94,222SabC0.130.5%.25.94SS 又因又因 所以所以 S 的相对误差限为的相对误差限为 复习思考题 1. 已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和已知函数的连续性、偏导数的存在性、可微性和偏导数的连续性之间有如下关系偏导数的连续性之间有如下关系:偏导数连续偏导数连续可可 微微连连 续续偏导数存在偏导数存在试举出能分别满足如下要求的函数试举出能分别满足如下要求的函数 ( , ):f x y(i) (0,0),;在点处连续 但不存在偏导数在点处连续 但不存在偏导数(ii) (0,0),;在点处不连续 但存在偏导数在点处不连续 但存在偏导数(iii) (0,0),;在在点点处处连连续续 存存在在偏偏导导数数, ,但但不不可可微微(iv) (0,0).在在点点处处可可微微, ,但但偏偏导导数数不不连连续续2. 可微性定义中可微性定义中, (1) 式与式与 (4) 式为何是等价的式为何是等价的?