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word 圆的根本性质考点1 对称性圆既是_对称图形，又是_对称图形。任何一条直径所在的直线都是它的_。它的对称中心是_。同时圆又具有旋转不变性。温馨提示：轴对称图形的对称轴是一条直线，因此在谈与圆的对称轴时不能说圆的对称轴是直径。考点2 垂径定理定理：垂直于弦的直径平分_并且平分弦所对的两条_。常用推论：平分弦不是直径的直径垂直于_，并且平分弦所对的两条_。温馨提示：垂径定理是中考中的重点考查内容，每年根本上都以选择或填空的形式出现，一般分值都在3分左右，这个题目难度不大，只要在平时的练习中，多注意总结它所用的数学方法或数学思想等，以与常用的辅助线的作法。在这里总结一下：1垂径定理和勾股定理的有机结合是计算弦长、半径等问题的有效方法，其关键是构造直角三角形；2常用的辅助线：连接半径；过顶点作垂线；3另外要注意答案不唯一的情况，假如点的位置不确定，如此要考虑优弧、劣弧的区别；4为了更好理解垂径定理，一条直线只要满足：过圆心；垂直于弦；平分弦；平分弦所对的优弧；平分弦所对的劣弧；考点3 圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧_，所对的弦也_。常用的还有：1在同圆或等圆中，如果两条弧相等，那么它们所对的圆心角_，所对的弦_。2在同圆或等圆中，如果两条弦相等，那么它们所对的圆心角_，所对的弧_。方法点拨：为了便于理解和记忆，圆心角、弧、弦之间的关系定理，可以归纳为：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应地其余各组量也都相等。温馨提示：1上述定理中不能无视“在同圆或等圆中这个条件。否如此，虽然圆心角相等，但是所对的弧、弦也不相等。以同心圆中的圆心角为例，相等的圆心角在同心圆中，所对的弧与弦都不相等。2在由弦相等推出弧相等时，这里的弧要么是优弧，要么是劣弧，不能既是优弧又是劣弧。考点4 圆周角定理与其推论定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角_，都等于这条弧所对的圆心角的_。推论：半圆或直径所对的圆周角是_，90的圆周角所对的弦是_。方法点拨：定理中的推论应用十分广泛，一般情况下用它来构造直角三角形，假如需要直角或证明垂直时，通常作出直径就能解决问题。温馨提示：定理中的“同弧或等弧不能改为是“同弦或等弦。因为在圆中一条弦所对的圆周角有两个，这两个圆周角互补。例1：如图1，正方形ABCD是O的内接正方形，点P在劣弧上不同于点C得到任意一点，如此BPC的度数是 A B C DODABC例3图例1图ABCDEO例2图例2：如图，在中，的度数为是上一点，是上不同的两点不与两点重合，如此的度数为 ABCD例3：高速公路的隧道和桥梁最多如图是一个隧道的横截面，假如它的形状是以O为圆心的圆的一局部，路面=10米，净高=7米，如此此圆的半径=A5B7CD训练一、选择题每题3分，共30分109年某某如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E，CDB30,O的半径为，如此弦CD的长为 AB C D第3题图第4题图第1题图第2题图209年某某市如图，ABC内接于O，假如OAB28，如此C的大小为 A28 B56C60 D62309某某如图，AB是O的直径，弦CDAB于点E,CDB30, O的半径为，如此弦CD的长为 A B CD409年某某如图，弦CD垂直于O的直径AB，垂足为H，且CD，BD，如此AB的长为 A2 B3 C4 D5509年某某ABC中，ABAC，A为锐角，CD为AB边上的高，I为ACD的内切圆圆心，如此AIB的度数是 A120 B125 C135 D150609年某某如图，O是ABC的外接圆，AB是直径假如BOC80，如此A等于 A60 B50 C40 D30第6题图第7题图第8题图第9题图BCDA709年某某如图，某公园的一座石拱桥是圆弧形劣弧，其跨度为24米，拱的半径为13米，如此拱高为( )A5米 B8米 C7米 D5米809年某某某某市一根水平放置的圆柱形输水管道横截面如下列图，其中有水局部水面宽0.8米，最深处水深0.2米，如此此输水管道的直径是 A0.4米B0.5米 C0.8米D1米909某某省某某市如图，在RtABC中，C90，AB10，假如以点C为圆心，CB长为半径的圆恰好经过AB的中点D，如此AC的长等于 AB5 CD610.( 09年某某省)如图，A、D是O上的两个点，BC是直径，假如D 35，如此OAC的度数是 A35B55 C65D70第10题图第11题图第12题图第13题图二、填空题每一小题3分，共30分1109年某某如图，AB是O的直径，C是O上一点，BOC44，如此A的度数为1209年某某如图，点在以为直径的上，如此的长为13. 09年某某如图，AB是O的直径，点C在O上 ，ODAC，假如BD1，如此BC的长为1409年市如图，AB为O的直径，弦CDAB，E为上一点，假如CEA，如此ABD. 第14题图第15题图第16题图第17题图1509年某某某某市如图，AB为O的直径，CD为O的弦，ACD42，如此BAD _.1609年某某乌鲁木齐市如图，点C、D在以AB为直径的O上，且CD平分，假如AB2,CBA15，如此CD的长为1709年某某省O的直径AB8cm，C为O上的一点，BAC30如此BC_cm.1809年某某省如下列图，、是圆上的点，如此度第18题图第20题图19.( 09年某某市) 在O中，弦AB的长为6，它所对应的弦心距为4，那么半径OA20(09某某)如图，ABC内接于O，ABBC，ABC120，AD为O的直径，AD6，那么BD_三、解答题共60分第21题图21(此题6分)09年某某某某：如图，O1与坐标轴交于A1，0、B5，0两点，点O1的纵坐标为求O1的半径第22题图22(此题6分) (09年某某省内江市)如图，四边形ABCD内接于圆，对角线AC与BD相交于点E、F在AC上，ABAD，BFCBAD2DFC.求证：1CDDF；2BC2CD.第22题图23(此题6分)09年某某庆阳如图，在边长为2的圆内接正方形ABCD中，AC是对角线，P为边CD的中点，延长AP交圆于点E第23题图E度；25(此题7分)09年株洲市如图，点、是上的三点，.1求证：平分.第25题图2过点作于点，交于点.假如，求的长26. (此题9分) (09年潍坊)如下列图，圆是的外接圆，与的平分线相交于点，延长交圆于点，连结1求证：；2假如圆的半径为10cm，求的面积第27题图参考答案根底知识回放轴 中心 对称轴 圆心 弦 弧 弦 弧 相等 相等 相等 相等 相等 相等 相等 一半 直角 直径例1、A 例2、B 例3、C中考效能测试1B 【解析】300，所以600，所以在直角中，根据勾股定理可得，所以23 cm.2D【解析】此题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以AOB=2C。OA=OB，OAB=OBA, 又OAB=28, AOB=124，所以C=62.应当选D.3【解析】300，所以600，所以在直角中，根据勾股定理可得，所以23 cm. 4B【解析】由垂径定理，可得DH=,所以BH=又可得DHBADB.,所以有.此题考查了垂径定理与相似三角形判定与性质。5C【解析】由CD为腰上的高,I为ACD的内心，如此IAC+ICA=,所以又可证AIBAIC,得AIB=AIC=。6C【解析】考查圆周角定理.同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆心角是圆周角的两倍，所以A是BOC的一半，答案为C.7B【解析】此题主要考查直角三角形和垂径定理的应用。因为跨度AB=24m，拱所在圆半径为13m，所以找出圆心O并连接OB，延长CD到O，构成直角三角形，利用勾股定理和垂径定理求出DO=5，进而得拱高CD=CO-DO=13-5=8。应当选B。8D【解析】考查点：此题考查圆的垂径定理和解直角三角形的有关知识。解题思路：根据题意，我们可以通过添加辅助线得到如如下图形：AOBCD设圆的半径为R，如此OA=R，由垂径定理可得AC=，OC=R-0.2，在中，利用勾股定理可得：，解得R=0.5，故该圆的直径为米。9A【解析】此题考查圆中的有关性质，连接CD，C90，D是AB中点，AB10，CDAB5，BC5，根据勾股定理得AC，应当选A10B【解析】此题考查同弧所对的圆周角和圆心角的关系。法1：在同圆或等圆中，同弧所对的圆心角是圆角角的2倍，所以2700，而中，所以，而18001100，所以550.法2：因为是直径，所以900，如此900，而中，所以，而350，从而问题得解。1122【解析】此题考查了圆周角和圆心角的有关知识。根据圆周角定理：一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半，所以此题的答案为。125【解析】因为AB是圆的直径，如此它所对的圆周角为直角，又，根据在直角三角形中，30度角所对的直角边等于斜边的一半，如此BC=5。132【解析】此题考查的是垂径定理和平行线、圆周角性质.因为AB是直径,所以它所对的圆周角为直角,再根据两条直线平行,同位角相等,所以ODBD,根据垂径定理,可知,D为BD的中点,所以BC=2BD=2.1428【解析】此题综合考查了垂经定理和圆周角的求法与性质。由垂径定理可知弧AC=弧AD，又根据在同圆或等圆中相等的弧所对的圆周角也相等的性质可知ABD=28.解答这类题一些学生不会综合运用所学知识解答问题，不知从何处入手造成错解。1548【解析】连接OD，根据同弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半可得，,又因OD=OA，所以。16【解析】OC，过点O作OE，使OECD，垂足为点E，因为ABC=15，OB=OC，所以OCB=15，OCE=BCD-OBC=45-15=30，在RtOCE中，CE=OCcos30=1,所以CD=.174C为直角.再根据30度角所对的直角边等于斜边的一半,所以BC=AB=4cm.1830【解析】1=A+B, B=30,又C=B=30C=1=35.195【解析】此题考查垂径定理与勾股定理。如图，在O中，AB=6，OCAB于C，如此AC=AB=3，在RtAOC中，.203【解析】因为ABBC，ABC120，如此CAB=ACB=30，又AD为O的直径，如此ABD=90，又AD6，AB=3，如此BD=3。提炼知识。解：过点O1作O1CAB，垂足为C，如此有ACBC由A1，0、B5，0，得AB4，AC2在中，O1的纵坐标为，O1CO1的半径O1A322证：1设DFC，如此BAD2在ABD中，ABAD， ABDADBABD12180-BAD90-又FCDABD90-FCD+DFC90CDDF2过F作FGBC于G在FGC和FDC中 ，FCGADBABDFCDFGCFDC90,FCFCFGCFDCGCCD且GFCDFC又BFC2DFCGFBGFCBC2GC， BC2CD.23解：1452ACPDEP理由：AEDACD，APCDPE，ACPDEP3方法一：ACPDEP， 又 AP，AC， DE方法二：如图2，过点作于点在中， AP又， DF24AB是O的直径，ACB90又CDAB于点D，BCD90ABCAFBCD F，FBCCBGFBCCBG251， ；， 即平分.2 又， ，设，如此，根据勾股定理得，解得或者用即的长是.261证明：平分平分，又为等腰三角形2解：当时，为钝角三角形，圆心在外，连结，为正三角形 又知，.答：的面积为cm2 11 / 11
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