第二章拉普拉斯变换学习教案

会计学1第二章拉普拉斯变换第二章拉普拉斯变换(binhun)第一页，共47页。 拉普拉斯变换(Laplace Transform)（简称拉氏变换）是一种(y zhn)解线性微分方程的简便运算方法。第一节 拉普拉斯变换(binhun)简介第1页/共47页第二页，共47页。dtetfsFtfLst0)()()(原函数(Original Function )象函数(hnsh)(Image Function) 一、拉普拉斯变换(binhun)的定义 设时间函数 ,则 的拉普拉斯变换定义为0)(ttf，)(tf第2页/共47页第三页，共47页。一个函数可以进行(jnxng)拉氏变换的充要条件是：(1)在t0 。 dteeeLstatat0图图2-1-5 2-1-5 指数函数指数函数0r(t)t1ateate第11页/共47页第十二页，共47页。22s0sinsindtettLst其拉氏变换(binhun)为 （六）正弦(zhngxin)函数 正弦函数（Sine Function）的数学表达式为ttrsin)(t0)式中，式中， 为正弦函数的角频率。为正弦函数的角频率。0jjd)(j21teeesttt第12页/共47页第十三页，共47页。0coscosdttetLst其拉氏变换(binhun)为 22ss（七）余弦（七）余弦(yxin)函数函数0jjd)(21teeesttt余弦函数（Cosine Function）的数学表达式为ttrcos)(t0)第13页/共47页第十四页，共47页。( (八八) ) 幂函数幂函数幂函数（Power Function）的数学表达式为nttr)(t0, n -1且为整数)其拉氏变换其拉氏变换(binhun)为为tettLstnnd01nnsntL！单位阶跃函数、单位斜坡函数及单位加速度函数分别是幂函数当n=0、n=1及 n=2时的特例。) 1(ntn第14页/共47页第十五页，共47页。注:欧拉公式(gngsh)cossinj tetjt第15页/共47页第十六页，共47页。一、线性性质(xngzh)(Linearity)第二节 拉普拉斯变换(binhun)的性质线性性质(xngzh)指同时满足叠加性和齐次性。叠加性(Additivity Property)：指当几个激励信号同时作用于系统时，总的输出响应等于每个激励单独作用所产生的响应之和。如，则。2211crcr ，213213cccrrr齐次性(Homogeneity Property)：指当输入信号乘以某常数时，响应也倍乘相同的常数。如：，则。cr kckr 第16页/共47页第十七页，共47页。)()(21tbftafL)()(21sbFsaF则)()(11sFtfL)()(22sFtfL 若有 ，a和和b为常数为常数第17页/共47页第十八页，共47页。)(3cos1 32ttteLt例例2-22-2 求求 。解：解：)(cos3e132tttLt tLtLtLLLt323cose116921142sssss第18页/共47页第十九页，共47页。)()(sFeatfLas二、延时定理(dngl)（Time-Shift Theorem） )()(sFtfL若有若有 ，对任意实数，对任意实数 a , ,则则第19页/共47页第二十页，共47页。三、周期函数(zhu q hn sh)的拉氏变换 若函数 是以T 为周期(zhuq)的周期(zhuq)函数,即 ，则有)(tf)()(tfTtf ttftfstde L0 ttfttfttfstTnnTstTTstTde de de 120 ttfstnTnnTde 01第20页/共47页第二十一页，共47页。四、复数(fsh)域位移定理(Complex-Shifting Theorem) asFtfLate)()(sFtfL若若 ，对于任意常数，对于任意常数a( (实数或复数实数或复数) )，有，有第21页/共47页第二十二页，共47页。五、时间尺度改变(gibin)性质(Change of Time Scale) 时间尺度改变性质又称相似(xins)定理或称尺寸变换特性(ScalingProperty)或称压扩特性(CompandingProperty)。)()(sFtfL若若 ，a 是任意常数，则是任意常数，则)(1)(asFaatfL第22页/共47页第二十三页，共47页。六、微分(wi fn)性质(Differentiation Property) 则若)()(sFtfL)0()()(fssFtfdtdL f (0)为时间函数 f (t)在t =0处的初始值。注意(zh y)，本书假设 f (0-) = f (0+) = f (0) 。)()(sFtfL12(1)( )( )(0)(0)(0)nnnnnnd f tLs F ssfsffdt推论 若 ，则特别地，当特别地，当 时，有时，有 (1)(0)(0)(0)0nfff)()()(sFstfLnn第23页/共47页第二十四页，共47页。七、积分(jfn)性质(Integration Property) 则若)()(sFtfL( 1)0( )(0)( )tF sfLf t dtss(-1)00(0)( )ttff t dt其中其中(qzhng)( 1)( 2)n1000()111( )()( )(0)(0)1(0)tttnnnnLf t dtF sffsssfs )()(sFtfL推论 若则则第24页/共47页第二十五页，共47页。当初始条件为零时当初始条件为零时(ln sh)， ( 1)( 2)()(0)(0)(0)0nfff)(1)(0sFsdttfLt)(1)(n000sFsdttfLtttn 第25页/共47页第二十六页，共47页。)(limssFs)(lim)(lim) 0 (0ssFtffst)()(sFtfL若若 ，且，且 存在，则存在，则 九、终值定理(dngl)(Final Value Theorem) 存在，则，且若tfsFtfLtlim)()( )(lim)(lim0ssFtffst第26页/共47页第二十七页，共47页。解：由初值定理(dngl)和终值定理(dngl)得 ssFfs lim0asss1lim01asss1lim ssFfs0lim0例2-8已知（a0），求。 ff和0 assF1第27页/共47页第二十八页，共47页。则若)()(sFtfL( )( )dL t f tF sds 十一(ShY)、复积分定理(Complex-Integration Theorem) 则若)()(sFtfL( )( )sf tLF s dst第28页/共47页第二十九页，共47页。两函数(hnsh) f 1(t)和f 2(t) 的卷积定义为1212( )*( )( )()f tf tff td卷积满足(mnz)以下性质：（1）交换律1221( )( )( )( )f tf tf tf t（2）结合律123123( ) ( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf t（3）分配律1231213( ) ( )( )( )( )( )( )f tf tf tf tf tf tf t第29页/共47页第三十页，共47页。，若若)()()()(2211sFtfLsFtfL拉氏变换(binhun)的卷积定理： ，时，时，且当且当0021tftft则则121212( )( )( )( )( )( )L f tf tL f tL f tF sF s第30页/共47页第三十一页，共47页。11( )( )( )2jstjf tLF sF s e dsj第三节 拉普拉斯反变换(binhun)已知象函数，求其原函数的变换称作拉氏反变换（Inverse Laplace Transform），记为：，并定义为)(sF( )f t1( )LF s通常求拉氏反变换(binhun)的方法有：(1)查表法(3)部分(b fen)分式法(2)有理函数法第31页/共47页第三十二页，共47页。一般(ybn)象函数可以表示成如下的有理分式101110111212( )( )( )()()()()()()mmmmnnnnmnb sbsbsbB sF sA sa sa sasaK szszszspspsp式中， 和 分别为F (s)的极点和零点，它们是实数或共轭复数，且nm。根据极点种类的不同，将上式化为部分分式之和，有以下两种情况。12,np pp12,mz zz第32页/共47页第三十三页，共47页。nnpscpscpsc22111011012( )( )( )()()()mmmmnb sb sbsbB sF sA sa spspspniiipsc1 当F (s)无重极点时，即只有各不相同的单极点（Distinct Poles）。 F (s)总是能展开(zhn ki)为下面简单的部分分式之和： 因此(ync), niiipscLsFLtf111)()(nitpiiec1式中，ci 为待定常数，称为F (s)在极点pi 处的留数.)()(limsFpscipsii第33页/共47页第三十四页，共47页。例2-11已知 ,试求原函数。) 3)(2)(1(35)(sssssF解：将 F (s)写成部分分式(fnsh)形式321)(321scscscsF式中1153(1)1(1)(2)(3)sscssss 2253(2)7(1)(2)(3)sscssss第34页/共47页第三十五页，共47页。 362711)(1111sLsLsLsFLtf3353(3)6(1)(2)(3)sscssss 于是(ysh)，有362711)(ssssFttteee3267第35页/共47页第三十六页，共47页。二、F (s)有重极点(jdin)的情况123( )( )( )( )() ()()()rnB sB sF sA sspspspsp111211111.()rrrcccspspsp3223.nncccspspsp假设(jish)F(s)有r个重极点(MultiplePoles)p1，其余极点均不相同，则F(s)可表示为第36页/共47页第三十七页，共47页。1111()( )rspcspF s1121()( )rspdcspF sds1213121()( )2!rspdcspF sds1(1)1111()( )(1)!rrrrspdcspF srds式中式中 , ,为重极点对应的待定系数为重极点对应的待定系数, ,求法如下：求法如下： 11121,rccc第37页/共47页第三十八页，共47页。其余系数其余系数 的求法与第一种情况所述的方法相同，的求法与第一种情况所述的方法相同，即即23,nc cc() ( ) (2,3, )iiispcsp F sin因此因此(ync)(ync)，F (s)F (s)的拉氏反的拉氏反变换为变换为 111311121211112312111212( )( )()()(1)!(2)!inrrrnnp tp trrriif tLF sccccccLspspspspspspccttcecerr第38页/共47页第三十九页，共47页。例2-12 已知 ，试求原函数 f (t)。)3()2(1)(3ssssF322)2()(3213212311scscscscscsF解：将F(s)写成部分分式(fnsh)形式，有式中，c11, c12, c13为三重极点(jdin)s=-2所对应的系数，根据公式式计算3113211(2)(2) (3)2scss ss 31232d11(2)d(2) (3)4scsss ss第39页/共47页第四十页，共47页。c2, c3为单极点(jdin)对应的系数，根据公式计算 23011(2) (3)24scss ss33311(3)(2) (3)3scss ss2313232113(2)2!(2) (3)8sdcsdss ss 第40页/共47页第四十一页，共47页。于是(ysh)其象函数可写为查拉氏变换(binhun)表可求得原函数为33/124/128/3)2(4/1)2(2/1)(23ssssssFtttteeteettf3222231241834141)(第41页/共47页第四十二页，共47页。利用拉氏变换(binhun)解微分方程，其步骤如下：(1)对方程两边(lingbin)取拉氏变换，得函数的代数方程；(2)由代数方程求解出象函数；第42页/共47页第四十三页，共47页。ssYyssYysysYs6)(6) 0 (5)(5) 0 () 0 ()(2解：将初始条件代入上式得6)(6)(5)( tytyty例例2-15 2-15 求微分方程求微分方程(wi fn fn chn)(wi fn fn chn)满足满足(mnz)初始条件初始条件的解。的解。6122)()65(22sssYsss)3)(2(6122)65(6122)(222sssssssssssY2)0(, 2)0(yy方程两边(lingbin)取拉氏变换得即第43页/共47页第四十四页，共47页。32)(321scscscsY21021261(2)(3)ssscss ss5) 2() 3)(2(6122222sssssssc4) 3() 3)(2(6122323sssssssc123( ) ( )1 54tty tLY see 利用(lyng)部分分式法得154( )23Y ssss第44页/共47页第四十五页，共47页。作作 业业 (P44)2-7（2）第45页/共47页第四十六页，共47页。第46页/共47页第四十七页，共47页。