七年级数学下册 第五章 生活中的轴对称周周测7（全章）（新版）北师大版

第五章 生活中的轴对称 周周测7一选择题（共 10 小题）1如图，OP 为AOB 的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是 C、D，则下列结论 错误的是（）9第 1 题图第 2 题图 第 3 题图APC=PDBCPD=DOPCCPO=DPODOC=OD2如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于 E，D 两点，EC=4，ABC的周长为 23，则ABD 的周长为（）A13B15C17D193如图，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，ABC 的周长为 19cm，ABD 的周长 为 13cm，则 AE 的长为（）A3cmB6cmC12cmD16cm4如图所示，线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D，A=50，则BDC=（）A50B100C120D130第 4 题图第 5 题图5如图，在ABC 中，AB=AC，A=30，E 为 BC 延长线上一点，ABC 与ACE 的平 分线相交于点 D，则D 的度数为（）A15B17.5C20D22.56一个等腰三角形一边长为 4cm，另一边长为 5cm，那么这个等腰三角形的周长是（）A13cmB14cmC13cm 或 14cmD以上都不对7下列图形中不是轴对称图形的是（）A B C D8如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A处，点 B 落在点B处，若2=40，则图中1 的度数为（）A115B120C130D140第 8 题图第 9 题图第 10 题图9如图，D 是直角ABC 斜边 BC 上一点，AB=AD，记CAD=，ABC=若=10， 则的度数是（）A40B50C60D不能确定10如图，B=C，1=3，则1 与2 之间的关系是（）A1=22B312=180C1+32=180D21+2=180二填空题（共 10 小题）11如图，OP 为AOB 的平分线，PCOB 于点 C，且 PC=3，点 P 到 OA 的距离为 第 11 题图第 12 题图第 13 题图12等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 48，则该等腰三角形的底角的度数为 13如图，在ABC 中，AB=AC=6，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交 BC 于点 D，连接AD，若 AD=4，则 DC= 14如图，AD 是ABC 中BAC 的平分线，DEAB 于点 E，SABC=7，DE=2，AB=4， 则 AC 的长是 15如图所示，已知ABC 的周长是 20，OB、OC 分别平分ABC 和ACB，ODBC 于D，且 OD=3，则ABC 的面积是 第 14 题图第 15 题图第 16 题图16如图，ABC 中，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D已知 BD：CD=3：2，点D 到 AB 的距离是 6，则 BC 的长是 17如图，ABC 中，A=80，B=40，BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，连结 DC，如 果 AD=3，BD=8，那么ADC 的周长为 18如图，AOB 是一角度为 10的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内部添加一些钢管：EF、FG、GH，且 OE=EF=FG=GH，在 OA、OB 足够长的情况下，最多能添加这样的 钢管的根数为 第 17 题图第 18 题图第 19 题图19已知：如图，ABC 中，BO，CO 分别是ABC 和ACB 的平分线，过 O 点的直线 分别交 AB、AC 于点 D、E，且 DEBC若 AB=6cm，AC=8cm，则ADE 的周长为 20如图，四边形 ABCD 中，BAD=130，B=D=90，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 周长最小时，则AMN+ANM 的度数为 三解答题（共 10 小题）21如图，在ABC 中，ACB=90 ，BE 平分ABC，交 AC 于 E，DE 垂直平分 AB 于D，求证：BE+DE=AC22如图，在ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 边上的中点，DE、DF 分别垂直 AB、AC 于 点 E 和 F求证：DE=DF23如图，在ABC 中，AB=AC，A=40，BD 是ABC 的平分线，求BDC 的度数24如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，AEBE 于点 E，且 BE= 求证：AB 平分EAD25如图，ABC 是等边三角形，BD 平分ABC，延长 BC 到 E，使得 CE=CD 求证：BD=DE26如图，在ABC 中，DM、EN 分别垂直平分 AC 和 BC，交 AB 于 M、N 两点，DM 与EN 相交于点 F（1）若CMN 的周长为 15cm，求 AB 的长；（2）若MFN=70，求MCN 的度数27如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交 AC 于点 E，且 AC=15cm，BCE 的周长等于 25cm（1）求 BC 的长；（2）若A=36，并且 AB=AC求证：BC=BE28已知点 D、E 在ABC 的 BC 边上，AD=AE，BD=CE，为了判断B 与C 的大小关 系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内，注明推理的根据解：作 AMBC，垂足为 MAD=AE，ADE 是 三角形，DM=EM （ ） 又BD=CE，BD+DM= ，即 BM= ； 又 （自己所作），AM 是线段 的垂直平分线；AB=AC （ ） 29电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求，发射塔 P 到两城镇 A、B 的距 离必须相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相等请在图中作出发射塔 P 的位置（尺 规作图，不写作法，保留作图痕迹）30以点 A 为顶点作两个等腰直角三角形（ABC，ADE），如图 1 所示放置，使得一直 角边重合，连接 BD，CE（1）说明 BD=CE；（2）延长 BD，交 CE 于点 F，求BFC 的度数；（3）若如图 2 放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由第五章 生活中的轴对称 周周测7参考答案与解析一选择题（共 10 小题）1（2016怀化）如图，OP 为AOB 的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是 C、D， 则下列结论错误的是（）APC=PDBCPD=DOPCCPO=DPODOC=OD【分析】先根据角平分线的性质得出 PC=PD，再利用 HL 证明OCPODP，根据全等 三角形的性质得出CPO=DPO，OC=OD【解答】解：OP 为AOB 的角平分线，PCOA，PDOB，垂足分别是 C、D，PC=PD，故 A 正确；在 RtOCP 与 RtODP 中，OCPODP，CPO=DPO，OC=OD，故 C、D 正确 不能得出CPD=DOP，故 B 错误故选 B【点评】本题考查了角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等也考查了 全等三角形的判定与性质，得出 PC=PD 是解题的关键2（2016天门）如图，在ABC 中，AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于 E，D 两点，EC=4，ABC 的周长为 23，则ABD 的周长为（）A13B15C17D19【分析】根据线段垂直平分线性质得出 AD=DC，AE=CE=4，求出 AC=8，AB+BC=15，求 出ABD 的周长为 AB+BC，代入求出即可【解答】解：AC 的垂直平分线分别交 AC、BC 于 E，D 两点，AD=DC，AE=CE=4， 即 AC=8，ABC 的周长为 23，AB+BC+AC=23，AB+BC=238=15，ABD 的周长为 AB+BD+AD=AB+BD+CD=AB+BC=15， 故选 B【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是 解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等3（2016恩施州）如图，在ABC 中，DE 是 AC 的垂直平分线，ABC 的周长为 19cm，ABD 的周长为 13cm，则 AE 的长为（）A3cm B6cm C12cm D16cm【分析】根据线段垂直平分线性质得出 AD=DC，AE=CE=AC，求出 AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BC=13cm，即可求出 AC，即可得出答案【解答】解：DE 是 AC 的垂直平分线，AD=DC，AE=CE=AC，ABC 的周长为 19cm，ABD 的周长为 13cm，AB+BC+AC=19cm，AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=13cm，AC=6cm，AE=3cm， 故选 A【点评】本题考查了线段垂直平分线性质的应用，能熟记线段垂直平分线性质定理的内容是 解此题的关键，注意：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等4（2016黄石）如图所示，线段 AC 的垂直平分线交线段 AB 于点 D，A=50，则BDC=（）A50B100 C120 D130【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DA=DC，根据等腰三角形的性质得到DCA=A， 根据三角形的外角的性质计算即可【解答】解：DE 是线段 AC 的垂直平分线，DA=DC，DCA=A=50，BDC=DCA+A=100， 故选：B【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形的外角的性质，掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键5（2016枣庄）如图，在ABC 中，AB=AC，A=30，E 为 BC 延长线上一点，ABC与ACE 的平分线相交于点 D，则D 的度数为（）A15B17.5 C20D22.5【分析】先根据角平分线的定义得到1=2，3=4，再根据三角形外角性质得1+2=3+4+A，1=3+D，则 21=23+A，利用等式的性质得到D=A，然 后把A 的度数代入计算即可【解答】解：ABC 的平分线与ACE 的平分线交于点 D，1=2，3=4，ACE=A+ABC， 即1+2=3+4+A，21=23+A，1=3+D，D=A=30=15 故选 A【点评】本题考查了三角形内角和定理，关键是根据三角形内角和是 180和三角形外角性质 进行分析6（2016湘西州）一个等腰三角形一边长为 4cm，另一边长为 5cm，那么这个等腰三角形 的周长是（）A13cmB14cm C13cm 或 14cm D以上都不对【分析】分 4cm 为等腰三角形的腰和 5cm 为等腰三角形的腰，先判断符合不符合三边关系， 再求出周长【解答】解：当 4cm 为等腰三角形的腰时， 三角形的三边分别是 4cm，4cm，5cm 符合三角形的三边关系，周长为 13cm；当 5cm 为等腰三角形的腰时， 三边分别是，5cm，5cm，4cm，符合三角形的三边关系，周长为 14cm， 故选 C【点评】此题是等腰三角形的性质题，主要考查了等腰三角形的性质，三角形的三边关系， 分类考虑是解本题的关键7（2016泸州）下列图形中不是轴对称图形的是（）A B C D【分析】根据轴对称图形的概念求解【解答】解：根据轴对称图形的概念可知：A，B，D 是轴对称图形，C 不是轴对称图形， 故选：C【点评】本题考查了轴对称图形的概念：轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分沿对 称轴折叠后可重合8（2016聊城）如图，把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A处，点 B 落在点 B处，若2=40，则图中1 的度数为（）A115 B120 C130 D140【分析】根据折叠的性质和矩形的性质得出BFE=EFB，B=B=90，根据三角形内 角和定理求出CFB=50，进而解答即可【解答】解：把一张矩形纸片 ABCD 沿 EF 折叠后，点 A 落在 CD 边上的点 A处，点 B落在点 B处，BFE=EFB，B=B=90，2=40，CFB=50，1+EFBCFB=180， 即1+150=180， 解得：1=115，故选 A【点评】本题考查了矩形的性质，折叠的性质，三角形的内角和定理的应用，能综合运用性 质进行推理和计算是解此题的关键，注意：折叠后的两个图形全等9（2016庄河市自主招生）如图，D 是直角ABC 斜边 BC 上一点，AB=AD，记CAD=，ABC=若=10，则的度数是（）A40B50C60D不能确定【分析】根据 AB=AD，可得出B=ADB，再由ADB=+C，可得出C=10，再 根据三角形的内角和定理得出即可【解答】解：AB=AD，B=ADB，=10，ADB=+C，C=10，BAC=90，B+C=90， 即+10=90， 解得=50，故选 B【点评】本题考查了等腰三角形的性质、三角形的内角和定理以及三角形外角的性质，是基 础知识要熟练掌握10（2016孝感模拟）如图，B=C，1=3，则1 与2 之间的关系是（ ）A1=22 B312=180 C1+32=180 D21+2=180【分析】由已知条件B=C，1=3，在ABD 中，由1+B+3=180，可推出结论【解答】解：1=3，B=C，1+B+3=180，21+C=180，21+12=180，312=180 故选 B【点评】本题考查了三角形内角和定理和三角形外角的性质的应用二填空题（共 10 小题）11（2016常德）如图，OP 为AOB 的平分线，PCOB 于点 C，且 PC=3，点 P 到 OA的距离为 3 【分析】过 P 作 PDOA 于 D，根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得 PD=PC， 从而得解【解答】解：如图，过 P 作 PDOA 于 D，OP 为AOB 的平分线，PCOB，PD=PC，PC=3，PD=3 故答案为：3【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，熟记性质是解题的关键12（2016通辽）等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为 48，则该等腰三角形的底角的 度数为 69或 21 【分析】分两种情况讨论：若A90；若A90；先求出顶角BAC，再利用三角 形内角和定理即可求出底角的度数【解答】解：分两种情况讨论：若A90，如图 1 所示：BDAC，A+ABD=90，ABD=48，A=9048=42，AB=AC，ABC=C=（18042）=69；若A90，如图 2 所示： 同可得：DAB=9048=42，BAC=18042=138，AB=AC，ABC=C= （180138）=21；综上所述：等腰三角形底角的度数为 69或 21 故答案为：69或 21【点评】本题考查了等腰三角形的性质以及余角和邻补角的定义；注意分类讨论方法的运用， 避免漏解13（2016牡丹江）如图，在ABC 中，AB=AC=6，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，交BC 于点 D，连接 AD，若 AD=4，则 DC= 5 【分析】过 A 作 AFBC 于 F，根据等腰三角形的性质得到 BF=CF=BC，由 AB 的垂直 平分线交 AB 于点 E，得到 BD=AD=4，设 DF=x，根据勾股定理列方程即可得到结论【解答】解：过 A 作 AFBC 于 F，AB=AC，BF=CF=BC，AB 的垂直平分线交 AB 于点 E，BD=AD=4， 设 DF=x，BF=4+x，AF2=AB2BF2=AD2DF2， 即 16x2=36（4+x）2，x=0.5，DF=0.5，CD=CF+DF=BF+DF=BD+2DF=4+0.52=5，故答案为：5【点评】此题考查了等腰三角形的性质，线段垂直平分线的性质此题难度不大，注意掌握 转化思想与数形结合思想的应用14（2016营口模拟）如图，AD 是ABC 中BAC 的平分线，DEAB 于点 E，SABC=7，DE=2，AB=4，则 AC 的长是 3 【分析】过点 D 作 DFAC 于 F，根据角平分线上的点到角的两边距离相等可得 DE=DF， 再根据 SABC=SABD+SACD 列出方程求解即可【解答】解：如图，过点 D 作 DFAC 于 F，AD 是ABC 中BAC 的角平分线，DEAB，DE=DF，由图可知，SABC=SABD+SACD，42+AC2=7， 解得 AC=3故答案为 3【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边距离相等的性质，熟记性质是解题的关键15（2016邯郸二模）如图所示，已知ABC 的周长是 20，OB、OC 分别平分ABC 和ACB，ODBC 于 D，且 OD=3，则ABC 的面积是 30 【分析】根据角平分线上的点到角的两边的距离相等可得点 O 到 AB、AC、BC 的距离都相 等（即 OE=OD=OF），从而可得到ABC 的面积等于周长的一半乘以 3，代入求出即可【解答】解：如图，连接 OA，过 O 作 OEAB 于 E，OFAC 于 F，OB、OC 分别平分ABC 和ACB，OE=OF=OD=3，ABC 的周长是 22，ODBC 于 D，且 OD=3，SABC=ABOE+BCOD+ACOF=（AB+BC+AC）3=203=30， 故答案为：30【点评】本题考查了角平分线上的点到角的两边的距离相等的性质，判断出三角形的面积与周长的关系是解题的关键16（2016白云区校级二模）如图，ABC 中，C=90，AD 平分BAC 交 BC 于点 D已 知 BD：CD=3：2，点 D 到 AB 的距离是 6，则 BC 的长是 15 【分析】作 DEAB 于 E，根据角平分线的性质得到 CD=DE，根据题意求出 BD 的长，计 算即可【解答】解：作 DEAB 于 E，AD 平分BAC，C=90，DEAB，CD=DE=6，又 BD：CD=3：2，BD=9，BC=BD+DC=15， 故答案为：15【点评】本题考查的是角平分线的性质，掌握角的平分线上的点到角的两边的距离相等是解 题的关键17（2016句容市一模）如图，ABC 中，A=80，B=40，BC 的垂直平分线交 AB 于 点 D，连结 DC，如果 AD=3，BD=8，那么ADC 的周长为 19 【分析】根据线段垂直平分线的性质得到 DB=DC，根据三角形内角和定理和等腰三角形的 性质证明 CA=CD=DB=8，根据三角形周长公式计算即可【解答】解：BC 的垂直平分线交 AB 于点 D，DB=DC，DCB=B=40，A=80，B=40，ACB=60，ACD=20，ADC=80，CA=CD=DB=8，ADC 的周长=AD+AC+CD=19， 故答案为：19【点评】本题考查的是线段垂直平分线的性质和三角形内角和定理以及等腰三角形的性质， 掌握线段的垂直平分线上的点到线段的两个端点的距离相等是解题的关键18（2016河北模拟）如图，AOB 是一角度为 10的钢架，要使钢架更加牢固，需在其内 部添加一些钢管：EF、FG、GH，且 OE=EF=FG=GH，在 OA、OB 足够长的情况下，最多能添加这样的钢管的根数为 8 【分析】根据已知利用等腰三角形的性质及三角形外角的性质，找出图中存在的规律，根据 规律及三角形的内角和定理不难求解【解答】解：添加的钢管长度都与 OE 相等，AOB=10，GEF=FGE=20，从图中我们会发现有好几个等腰三角形，即第一个等腰三角形的 底角是 10，第二个是 20，第三个是 30，四个是 40，五个是 50，六个是 60，七个是 70， 八个是 80，九个是 90就不存在了所以一共有 8 个故答案为 8【点评】此题考查了三角形的内角和是 180 度的性质和等腰三角形的性质及三角形外角的性 质；发现并利用规律是正确解答本题的关键19（2016淮安一模）已知：如图，ABC 中，BO，CO 分别是ABC 和ACB 的平分 线，过 O 点的直线分别交 AB、AC 于点 D、E，且 DEBC若 AB=6cm，AC=8cm，则ADE 的周长为 14cm 【分析】两直线平行，内错角相等，以及根据角平分线性质，可得OBD、EOC 均为等 腰三角形，由此把AEF 的周长转化为 AC+AB【解答】解：DEBCDOB=OBC，又BO 是ABC 的角平分线，DBO=OBC，DBO=DOB，BD=OD， 同理：OE=EC，ADE 的周长=AD+OD+OE+EC=AD+BD+AE+EC=AB+AC=14cm 故答案是：14cm【点评】本题考查了平行线的性质和等腰三角形的判定及性质，正确证明OBD、EOC均为等腰三角形是关键20（2016广东校级一模）如图，四边形 ABCD 中，BAD=130，B=D=90，在 BC、CD 上分别找一点 M、N，使AMN 周长最小时，则AMN+ANM 的度数为 100 【分析】作点 A 关于 BC 的对称点 A，关于 CD 的对称点 A，根据轴对称确定最短路线问题，连接 AA与 BC、CD 的交点即为所求的点 M、N，利用三角形的内角和定理列式求出A+A，再根据轴对称的性质和三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和可得AMN+ANM=2（A+A），然后计算即可得解【解答】解：如图，作点 A 关于 BC 的对称点 A，关于 CD 的对称点 A， 连接 AA与 BC、CD 的交点即为所求的点 M、N，BAD=130，B=D=90，A+A=180130=50， 由轴对称的性质得：A=AAM，A=AAN，AMN+ANM=2（A+A）=250=100 故答案为：100【点评】本题考查了轴对称确定最短路线问题，轴对称的性质，三角形的内角和定理，三角 形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，确定出点 M、N 的位置是解题的关 键，要注意整体思想的利用三解答题（共 10 小题）21（2016历下区一模）如图，在ABC 中，ACB=90 ，BE 平分ABC，交 AC 于 E，DE 垂直平分 AB 于 D， 求证：BE+DE=AC【分析】根据角平分线性质得出 CE=DE，根据线段垂直平分线性质得出 AE=BE，代入AC=AE+CE 求出即可【解答】证明：ACB=90，ACBC，EDAB，BE 平分ABC，CE=DE，DE 垂直平分 AB，AE=BE，AC=AE+CE，BE+DE=AC【点评】本题考查了角平分线性质和线段垂直平分线性质的应用，注意：线段垂直平分线上 的点到线段两个端点的距离相等22（2016历下区一模）如图，在ABC 中，AB=AC，点 D 是 BC 边上的中点，DE、DF分别垂直 AB、AC 于点 E 和 F 求证：DE=DF【分析】D 是 BC 的中点，那么 AD 就是等腰三角形 ABC 底边上的中线，根据等腰三角形 三线合一的特性，可知道 AD 也是BAC 的角平分线，根据角平分线的点到角两边的距离 相等，那么 DE=DF【解答】证明： 证法一：连接 ADAB=AC，点 D 是 BC 边上的中点AD 平分BAC（三线合一性质），DE、DF 分别垂直 AB、AC 于点 E 和 FDE=DF（角平分线上的点到角两边的距离相等） 证法二：在ABC 中，AB=ACB=C（等边对等角） （1 分）点 D 是 BC 边上的中点BD=DC （2 分）DE、DF 分别垂直 AB、AC 于点 E 和 FBED=CFD=90（3 分） 在BED 和CFD 中，BEDCFD（AAS），DE=DF（全等三角形的对应边相等）【点评】本题考查了等腰三角形的性质及全等三角形的判定与性质；利用等腰三角形三线合 一的性质是解答本题的关键23（2016长春二模）如图，在ABC 中，AB=AC，A=40，BD 是ABC 的平分线， 求BDC 的度数【分析】首先由 AB=AC，利用等边对等角和A 的度数求出ABC 和C 的度数，然后由 BD 是ABC 的平分线，利用角平分线的定义求出DBC 的度数，再根据三角形的内角和 定理即可求出BDC 的度数【解答】解：AB=AC，A=40，ABC=C=70，BD 是ABC 的平分线，DBC= ABC=35，BDC=180DBCC=75【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的定义，三角形内角和定理等知识，解答 本题的关键是正确识图，利用等腰三角形的性质：等边对等角求出ABC 与C 的度数24（2016西城区一模）如图，在ABC 中，AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，AEBE于点 E，且 BE= 求证：AB 平分EAD【分析】根据等腰三角形的性质得到 BD=BC，ADBC 根据角平分线的判定定理即可得 到结论【解答】证明：AB=AC，AD 是 BC 边上的中线，BD=BC，ADBC，BE=BC，BD=BE，AEBE，AB 平分EAD【点评】本题考查了等腰三角形的性质，角平分线的性质，熟练掌握等腰三角形的性质是解 题的关键25（2016门头沟区一模）如图，ABC 是等边三角形，BD 平分ABC，延长 BC 到 E， 使得 CE=CD求证：BD=DE【分析】根据等边三角形的性质得到ABC=ACB=60，DBC=30，再根据角之间的关 系求得DBC=CED，根据等角对等边即可得到 DB=DE【解答】证明：ABC 是等边三角形，BD 是中线，ABC=ACB=60DBC=30（等腰三角形三线合一） 又CE=CD，CDE=CED又BCD=CDE+CED，CDE=CED=BCD=30DBC=DECDB=DE（等角对等边）【点评】此题主要考查学生对等边三角形的性质及三角形外角的性质的理解及运用；利用三角形外角的性质得到CDE=30是正确解答本题的关键26（2016 春吉州区期末）如图，在ABC 中，DM、EN 分别垂直平分 AC 和 BC，交 AB于 M、N 两点，DM 与 EN 相交于点 F（1）若CMN 的周长为 15cm，求 AB 的长；（2）若MFN=70，求MCN 的度数【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AM=CM，BN=CN， 然后求出CMN 的周长=AB；（2）根据三角形的内角和定理列式求出MNF+NMF，再求出A+B，根据等边对等 角可得A=ACM，B=BCN，然后利用三角形的内角和定理列式计算即可得解【解答】解：（1）DM、EN 分别垂直平分 AC 和 BC，AM=CM，BN=CN，CMN 的周长=CM+MN+CN=AM+MN+BN=AB，CMN 的周长为 15cm，AB=15cm；（2）MFN=70，MNF+NMF=18070=110，AMD=NMF，BNE=MNF，AMD+BNE=MNF+NMF=110，A+B=90AMD+90BNE=180110=70，AM=CM，BN=CN，A=ACM，B=BCN，MCN=1802（A+B）=180270=40【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，等边对等角的 性质，三角形的内角和定理，（2）整体思想的利用是解题的关键27（2016 春滕州市期末）如图，在ABC 中，AB 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，交AC 于点 E，且 AC=15cm，BCE 的周长等于 25cm（1）求 BC 的长；（2）若A=36，并且 AB=AC求证：BC=BE【分析】（1）根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等可得 AE=BE，然后求出BCE 的周长=AC+BC，再求解即可；（2）根据等腰三角形两底角相等求出C=72，根据线段垂直平分线上的点到线段两端点的 距离相等可得 AE=BE，根据等边对等角可得ABE=A，再根据三角形的一个外角等于与 它不相邻的两个内角的和求出BEC=72，从而得到BEC=C，然后根据等角对等边求解【解答】（1）解：AB 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，AE=BE，BCE 的周长=BE+CE+BC=AE+CE+BC=AC+BC，AC=15cm，BC=2515=10cm；（2）证明：A=36，AB=AC，C=（180A）=（18036）=72，AB 的垂直平分线 MN 交 AB 于点 D，AE=BE，ABE=A，由三角形的外角性质得，BEC=A+ABE=36+36=72，BEC=C，BC=BE【点评】本题考查了线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等的性质，三角形的一个 外角等于与它不相邻的两个内角的和的性质，等角对等边的性质，综合题难度不大，熟记各 性质并准确识图是解题的关键28（2016 春衡阳县校级期末）已知点 D、E 在ABC 的 BC 边上，AD=AE，BD=CE，为 了判断B 与C 的大小关系，请你填空完成下面的推理过程，并在空白括号内，注明推理的根据解：作 AMBC，垂足为 MAD=AE，ADE 是 等腰 三角形，DM=EM （ 等腰三角形底边上的高也是底边上的中线 ） 又BD=CE，BD+DM= CE+EM ，即 BM= CM ； 又 AMBC （自己所作），AM 是线段 BC 的垂直平分线；AB=AC （ 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等 ） B=C 【分析】首先根据等腰三角形的性质，得 DM=EM，结合已知条件，根据等式的性质，得 BM=CM，从而根据线段垂直平分线的性质，得 AB=AC，再根据等腰三角形的性质即可证 明【解答】解：作 AMBC，垂足为 MAD=AE，ADE 是等腰三角形，DM=EM （等腰三角形底边上的高也是底边上的中线） 又BD=CE，BD+DM=CE+EM，即 BM=CM； 又AMBC（自己所作），AM 是线段 BC 的垂直平分线；AB=AC （线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等）B=C故答案为：等腰，等腰三角形底边上的高也是底边上的中线，CE+EM，CM，AMBC，BC， 线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等，B=C【点评】此题综合考查了等腰三角形的性质、线段垂直平分线的性质等腰三角形底边上的 高、底边上的中线、顶角的平分线互相重合；等腰三角形的两个底角相等29（2016 秋西市区校级期中）电信部门要修建一座电视信号发射塔 P，按照设计要求， 发射塔 P 到两城镇 A、B 的距离必须相等，到两条高速公路 m 和 n 的距离也必须相等请在图中作出发射塔 P 的位置（尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）【分析】根据题意，P 点既在线段 AB 的垂直平分线上，又在两条公路所夹角的平分线上故 两线交点即为发射塔 P 的位置【解答】解：设两条公路相交于 O 点P 为线段 AB 的垂直平分线与MON 的平分线交点或是与QON 的平分线交点即为发射塔的位置如图，满足条件的点有两个，即 P、P【点评】此题考查了线段的垂直平分线和角的平分线的性质，属基本作图题30（2016 春长清区期末）以点 A 为顶点作两个等腰直角三角形（ABC，ADE），如 图 1 所示放置，使得一直角边重合，连接 BD，CE（1）说明 BD=CE；（2）延长 BD，交 CE 于点 F，求BFC 的度数；（3）若如图 2 放置，上面的结论还成立吗？请简单说明理由【分析】（1）根据等腰直角三角形的性质得到 AB=AC，BAD=EAC=90，AD=AE，利 用“SAS”可证明ADBAEC，则 BD=CE；（2）由ADBAEC 得到ACE=DBA，利用三角形内角和定理可得到BFC=180ACECDF=180DBABDA=DAB=90；（3）与（1）一样可证明ADBAEC，得到 BD=CE，ACE=DBA，利用三角形内 角和定理得到BFC=CAB=90【解答】解：（1）ABC、ADE 是等腰直角三角形，AB=AC，BAD=EAC=90，AD=AE，在ADB 和AEC 中，ADBAEC（SAS），BD=CE；（2）ADBAEC，ACE=ABD，而在CDF 中，BFC=180ACECDF又CDF=BDABFC=180DBABDA=DAB=90；（3）BD=CE 成立，且两线段所在直线互相垂直，即BFC=90理由如下：ABC、ADE 是等腰直角三角形AB=AC，AD=AE，BAC=EAD=90，BAC+CAD=EAD+CADBAD=CAE，在ADB 和AEC 中，ADBAEC（SAS）BD=CE，ACE=DBA，BFC=CAB=90【点评】本题考查了全等三角形的判定与性质：判定三角形全等的方法有“SSS”、“SAS”、“ASA”、“AAS”；全等三角形的对应边相等，对应角相等也考查了等腰直角三角形的性质