高阶导数数分教案课件

5.4 高阶导数高阶导数 三、参数方程表示函数的高阶导数三、参数方程表示函数的高阶导数一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义二、高阶导数求法举例二、高阶导数求法举例四、小结四、小结一、高阶导数的定义一、高阶导数的定义问题问题: :变速直线运动的加速度变速直线运动的加速度.),(tfs 设设)()(tftv 则瞬时速度为则瞬时速度为的的变变化化率率对对时时间间是是速速度度加加速速度度tva. )()()( tftvta定义定义0000000 ( )( ),()()( )lim,( )( ).x xxx xf xfxxfxxfxfxxfxf xx 如果函数的导函数在点 处可导 即存在 则称为函数在点 处的二阶导数00022022( )(),.x xx xx xd yd f xfxydxdx或记作记作即即0000()()()limxfxxfxfxx 则得一个 记作记作.)(,),(2222dxxfddxydyxf或或 即即( )( )fxfx00 ,( )1( ),f xnxf xxn一般地 函数的阶导函数在 点的导数称为函数在 点的 阶导数 记作三阶导数的导数称为四阶导数三阶导数的导数称为四阶导数, .,),(33dxydyxf 二阶导数的导数称为三阶导数二阶导数的导数称为三阶导数,.,),(44)4()4(dxydyxf000( )( )0( )(),.nnnnnnx xx xx xd yd f xfxydxdx或即即(1)(1)( )0000()()()limnnnxfxxfxfxx .)(,),()()(nnnnnndxxfddxydyxf或或二阶和二阶以上的导数统称为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数高阶导数.)(;)(,称称为为一一阶阶导导数数称称为为零零阶阶导导数数相相应应地地xfxf 即即( )(1)( )( )nnfxfx二、二、 高阶导数求法举例高阶导数求法举例例例1 1).0(),0(,arctanffxy 求求设设解解211xy )11(2 xy22)1(2xx )1(2(22 xxy322)1()13(2xx 022)1(2)0( xxxf0322)1()13(2)0( xxxf; 0 . 2 1.1.直接法直接法: :由高阶导数的定义逐步求高阶导数由高阶导数的定义逐步求高阶导数.例例2 2.),()(nyRxy求求设设 解解1 xy)(1 xy2)1( x3)2)(1( x)1(2 xy)1()1()1()( nxnynn则则为自然数为自然数若若,n )()()(nnnxy , !n ) !()1( nyn. 0 例例3 3.),1ln()(nyxy求求设设 解解注意注意: :xy 112)1(1xy 3)1(! 2xy 4)4()1(! 3xy )1! 0, 1()1()!1()1(1)( nxnynnn 求求n阶导数时阶导数时,求出求出1-3或或4阶后阶后,不要急于合并不要急于合并,分析结果的规律性分析结果的规律性,写出写出n阶导数阶导数.(数学归纳法证明数学归纳法证明)例例4 4.,sin)(nyxy求求设设 解解xycos )2sin( x)2cos( xy)22sin( x)22sin( x)22cos( xy)23sin( x)2sin()( nxyn)2cos()(cos)( nxxn同理可得同理可得例例5 5.),(sin)(naxybabxey求求为为常常数数设设 解解bxbebxaeyaxaxcossin )cossin(bxbbxaeax )arctan()sin(22abbxbaeax )cos()sin(22 bxbebxaebayaxax)2sin(2222 bxbaebaax)sin()(222)( nbxebayaxnn)arctan(ab 2. 高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则:则则阶阶导导数数具具有有和和设设函函数数,nvu)()()()()1(nnnvuvu )()()()2(nnCuCu )()(0)()()()2()1()()(!)1()1(! 2)1()()3(kknnkknnkknnnnnvuCuvvukknnnvunnvnuvuvu 莱布尼兹公式莱布尼兹公式例例6 6.,)20(22yexyx求求设设 解解则由莱布尼兹公式知则由莱布尼兹公式知设设,22xveux 0)()(! 2)120(20)()(20)(2)18(22)19(22)20(2)20( xexexeyxxx22! 21920222022182192220 xxxexexe)9520(22220 xxex3.3.间接法间接法: :常用高阶导数公式常用高阶导数公式nnxnx )1()1()()4()(nnnxnx)!1()1()(ln)5(1)( )2sin()(sin)2()( nkxkkxnn)2cos()(cos)3()( nkxkkxnn)0(ln)()1()( aaaanxnxxnxee )()( 利用已知的高阶导数公式利用已知的高阶导数公式, 通过四则通过四则1)(!)1()1( nnnxnx运算运算, 变量代换等方法变量代换等方法, 求出求出n阶导数阶导数.例例7 7.,11)5(2yxy求求设设 解解)1111(21112 xxxy)1(! 5)1(! 52166)5( xxy)1(1)1(16066 xx例例8 8.,cossin)(66nyxxy求求设设 解解3232)(cos)(sinxxy )coscossin)(sincos(sin422422xxxxxx xxxx22222cossin3)cos(sin x2sin4312 24cos1431x x4cos8385 ).24cos(483)( nxynn例 解 ( )2 ,fxx，( )2,fx( )( )0(3)kfxk( )2 ,fxx ( )2,fx ( )( )0(3)kfxk 由左右导数定义不难求得(0)(0)(0)0fff 而00( )(0)2(0)limlim2,hhfhfhfhh00( )(0)2(0)limlim2hhfhfhfhh 综上所述得 2 , 0,( ) 0, 0,2 , 0,xxfxxxx 2, 0,( ), 0, 2, 0,xfxxx不存在( )( )00 ,nfxx( )(0)nf不存在。三、参数方程表示函数的高阶导数由参数方程 ( )( )xtyt( )( )dytdxt 其参数方程为：( )( )( )xtdytdxt )(22dxdydxddxyd dxdtttdtd)()( )(1)()()()()(2tttttt .)()()()()(322tttttdxyd 即即由参数方程的求导法则，得： 例例8 8解解.sincos33表示的函数的二阶导数表示的函数的二阶导数求由方程求由方程 taytaxdtdxdtdydxdy )sin(cos3cossin322ttatta ttan )(22dxdydxddxyd )cos()tan(3 tatttatsincos3sec22 tatsin3sec4 四、小结四、小结高阶导数的定义及物理意义高阶导数的定义及物理意义;高阶导数的运算法则高阶导数的运算法则(莱布尼兹公式莱布尼兹公式);n阶导数的求法阶导数的求法;1.直接法直接法;2.间接法间接法.思考题思考题1设设 连续，且连续，且 ，)(xg )()()(2xgaxxf 求求 .)(af 思考题思考题1解答解答)(xg可导可导)()()()(2)(2xgaxxgaxxf )(xg 不一定存在不一定存在故用定义求故用定义求)(af )(af axafxfax )()(lim0)( afaxxfax )(lim)()()(2limxgaxxgax )(2ag 思考题思考题2设设 )()(tytx ，由由)()(ttyx )0)( t 可可知知)()(ttyx ，对对吗吗？思考题思考题2解答解答不对不对 xxydxdy dxdtdtydx )(1)()(tttt 练练 习习 题题练习题答案练习题答案补充练习补充练习答案