2020年中考数学考点总动员 第11讲 一次函数及其应用（含解析）

第11讲一次函数及其应用1一次函数的概念一般地，形如ykxb(k0) 的函数叫做一次函数，当b0时，ykxb即为ykx叫做正比例函数，所以说正比例函数是一种特殊的一次函数2一次函数的图象与性质(1)一次函数ykxb(k0)的图象是一条直线，它与x轴的交点坐标为(，0)，与y轴的交点坐标为原点，正比例函数ykx(k0)的图象是过(0，b) 的一条直线(2)一次函数ykxb(k0)的图象所经过的象限及增减性k、b的符号 函数图象 图象的位置 增减性 k0 b0 图象过第一、二、三象限 y随x的增大而增大b0 图象过第一、三象限 y随x的增大而增大b0 图象过第一、三、四象限 y随x的增大而增大 k0 函数图象 图象的位置 增减性 b0 图象过第一、二、四象限 y随x的增大而减小b0 图象过第二、四象限 y随x的增大而减小b0 图象过第二、三、四 象限 y随x的增大而减小3.待定系数法求一次函数解析式的一般步骤 (1)设：设出一次函数解析式一般形式ykxb(k0); (2)代：将已知条件中函数图象上的两点坐标代入ykxb得到方程(组); (3)求：解方程(组)求出k，b的值； (4)写：写出一次函数的解析式4一次函数与方程(组)的关系(1)一次函数的解析式ykxb就是一个二元一次方程；(2)一次函数ykxb的图象与x轴交点的_横坐标_就是方程kxb0的解；(3)一次函数yk1xb1与yk2xb2的图象交点的横、纵坐标值就是方程组的解5一次函数与不等式的关系 (1)函数ykxb的函数值y大于0时，自变量x的取值范围就是不等式kxb0的解集，即函数图象位于x轴的上方部分对应点的横坐标的取值范围； (2)函数ykxb的函数值y小于0时，自变量x的取值范围就是不等式kxb0的解集，即函数图象位于x轴的下方部分对应点的横坐标的取值范围 6一次函数的实际应用 (1)常见类型：费用问题；销售问题；行程问题；容量问题；方案问题 (2)解一次函数实际问题的一般步骤： 设出实际问题中的变量； 建立一次函数关系式； 利用待定系数法求出一次函数关系式； 确定自变量取值范围； 利用一次函数的性质求相应的值，对所得到的解进行检验，是否符合实际意义； 答考点1： 一次函数的图象与性质【例题1】（2018江苏扬州3分）如图，在等腰RtABO，A=90，点B的坐标为（0，2），若直线l：y=mx+m（m0）把ABO分成面积相等的两部分，则m的值为【分析】根据题意作出合适的辅助线，然后根据题意即可列出相应的方程，从而可以求得m的值【解答】解：y=mx+m=m（x+1），函数y=mx+m一定过点（1，0），当x=0时，y=m，点C的坐标为（0，m），由题意可得，直线AB的解析式为y=x+2，得，直线l：y=mx+m（m0）把ABO分成面积相等的两部分，解得，m=m2（舍去），故答案为：考点2： 一次函数与方程、不等式的关系【例题2】(2018河北T2410分)如图，直角坐标系xOy中，一次函数yx5的图象l1分别与x，y轴交于A，B两点，正比例函数的图象l2与l1交于点C(m，4)(1)求m的值及l2的解析式；(2)求SAOCSBOC的值；(3)一次函数ykx1的图象为l3，且l1，l2，l3不能围成三角形，直接写出k的值【解析】：(1)把C(m，4)代入一次函数yx5，可得4m5，解得m2，C(2，4)设l2的解析式为yax，则42a，解得a2.l2的解析式为y2x.(2)过点C作CDAO于点D，CEBO于点E，则CD4，CE2，yx5的图象与x轴、y轴交于A，B两点，令x0，则y5，令y0，则x10，A(10，0)，B(0，5)AO10，BO5.SAOCSBOC1045215.(3)k的值为或2或.考点3： 一次函数的实际应用【例题3】（2019四川省广安市8分）为了节能减排，我市某校准备购买某种品牌的节能灯，已知3只A型节能灯和5只B型节能灯共需50元，2只A型节能灯和3只B型节能灯共需31元（1）求1只A型节能灯和1只B型节能灯的售价各是多少元？（2）学校准备购买这两种型号的节能灯共200只，要求A型节能灯的数量不超过B型节能灯的数量的3倍，请设计出最省钱的购买方案，并说明理由【分析】（1）根据题意可以列出相应的二元一次方程组，从而可以解答本题；（2）根据题意可以得到费用与购买A型号节能灯的关系式，然后根据一次函数的性质即可解答本题【解答】解：（1）设1只A型节能灯的售价是x元，1只B型节能灯的售价是y元，解得，答：1只A型节能灯的售价是5元，1只B型节能灯的售价是7元；（2）设购买A型号的节能灯a只，则购买B型号的节能灯（200a）只，费用为w元，w5a+7（200a）2a+1400，a3（200a），a150，当a150时，w取得最小值，此时w1100，200a50，答：当购买A型号节能灯150只，B型号节能灯50只时最省钱归纳：1.对于一次函数方案设计题，关键是读懂题意，然后在列方案时找出其中的数量关系并列出不等式；通过解不等式求出未知数的取值范围，然后取其整数解，将每一组符合题意的整数解定为一种方案，在选择最优方案时，通过将每一组解代入相应的关系式中，满足题意的最优解即可定为最优方案2在遇到求解一次函数最值问题时，切入问题的关键点在于确定自变量的取值范围，通过给定自变量的范围，选取合适的数值代入解析式求解即可同时，一次函数确定最值时还应注意以下两点： 当在确定一次函数自变量时，有时需要列不等式解题，对于某些关键字要特别注意，如“不超过”、“不多于”、“最多”等字眼需要使用“”；而“至少”、“不少于”等字眼要使用“”； 从方程中得到的解一定要进行检验，即要符合原方程和实际意义，切不可忽略 3涉及图象问题的实际应用要注意：在观察函数图象时，首先要弄清横轴与纵轴所表示的函数变量，然后在分析函数图象时应注意拐点、交点的实际意义，最后在分析图象时要考虑到函数自变量的取值范围一、选择题：1. （2019四川省广安市3分）一次函数y2x3的图象经过的象限是（）A一、二、三B二、三、四C一、三、四D一、二、四【答案】C【解答】解：一次函数y2x3，该函数经过第一、三、四象限，故选：C2. （2018湘潭）若b0，则一次函数y=x+b的图象大致是（）ABCD【答案】C【解答】解：一次函数y=x+b中k=10，b0，一次函数的图象经过一、二、四象限，故选：C3. (2019湖北荆门)（3分）如果函数ykx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，那么k，b应满足的条件是（）Ak0且b0Bk0且b0Ck0且b0Dk0且b0【答案】A【解答】解：ykx+b（k，b是常数）的图象不经过第二象限，当k0，b0时成立；当k0，b0时成立；综上所述，k0，b0；故选：A4. （2019山东临沂3分）下列关于一次函数ykx+b（k0，b0）的说法，错误的是（）A图象经过第一、二、四象限 By随x的增大而减小C图象与y轴交于点（0，b） D当x时，y0【答案】D【解答】解：ykx+b（k0，b0），图象经过第一、二、四象限，A正确；k0，y随x的增大而减小，B正确；令x0时，yb，图象与y轴的交点为（0，b），C正确；令y0时，x，当x时，y0；D不正确；故选：D5. （2018包头）如图，在平面直角坐标系中，直线l1：y=x+1与x轴，y轴分别交于点A和点B，直线l2：y=kx（k0）与直线l1在第一象限交于点C若BOC=BCO，则k的值为（）A B C D2【答案】B【解答】直线l1：y=x+1中，令x=0，则y=1，令y=0，则x=2，即A（2，0）B（0，1），RtAOB中，AB=3，如图，过C作CDOA于D，BOC=BCO，CB=BO=1，AC=2，CDBO，OD=AO=，CD=BO=，即C（，），把C（，）代入直线l2：y=kx，可得=k，即k=，故选：B二、填空题：6. （2019山东潍坊3分）当直线y（22k）x+k3经过第二、三、四象限时，则k的取值范围是1k3【答案】1k3；【解答】解：y（22k）x+k3经过第二、三、四象限，22k0，k30，k1，k3，1k3；故答案为1k3；7. （2018邵阳）如图所示，一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），与y轴相交于点（0，4），结合图象可知，关于x的方程ax+b=0的解是 【答案】x=2【解答】解：一次函数y=ax+b的图象与x轴相交于点（2，0），关于x的方程ax+b=0的解是x=2故答案为x=28. （2019广西河池3分）如图，在平面直角坐标系中，A（2，0），B（0，1），AC由AB绕点A顺时针旋转90而得，则AC所在直线的解析式是y2x4【答案】y2x4【解答】解：A（2，0），B（0，1）OA2，OB1过点C作CDx轴于点D， 则易知ACDBAO（AAS）ADOB1，CDOA2C（3，2）设直线AC的解析式为ykx+b，将点A，点C坐标代入得直线AC的解析式为y2x4故答案为：y2x49. （2019山东省聊城市3分）如图，在RtABO中，OBA90，A（4，4），点C在边AB上，且，点D为OB的中点，点P为边OA上的动点，当点P在OA上移动时，使四边形PDBC周长最小的点P的坐标为 .【答案】P（，），【解答】解：在RtABO中，OBA90，A（4，4），ABOB4，AOB45，点D为OB的中点，BC3，ODBD2，D（0，2），C（4，3），作D关于直线OA的对称点E，连接EC交OA于P，则此时，四边形PDBC周长最小，E（0，2），直线OA 的解析式为yx，设直线EC的解析式为ykx+b，解得：，直线EC的解析式为yx+2，解得，P（，），三、解答题：10. （2019湖北省仙桃市8分）某农贸公司销售一批玉米种子，若一次购买不超过5千克，则种子价格为20元/千克，若一次购买超过5千克，则超过5千克部分的种子价格打8折设一次购买量为x千克，付款金额为y元（1）求y关于x的函数解析式；（2）某农户一次购买玉米种子30千克，需付款多少元？【分析】（1）根据题意，得当0x5时，y20x；当x5，y200.8（x5）+20516x+20；（2）把x30代入y16x+20，即可求解；【解答】解：（1）根据题意，得当0x5时，y20x；当x5，y200.8（x5）+20516x+20；（2）把x30代入y16x+20，y1630+20500；一次购买玉米种子30千克，需付款500元；11. (2017台州改编)如图，直线l1：y2x1与直线l2：ymx4相交于点P(1，b)(1)求b，m的值；(2)直接写出关于x的不等式2x1mx4的解集；(3)垂直于x轴的直线xa与直线l1，l2分别交于点C，D.若线段CD长为2，求a的值【点拨】(1)把点P的坐标代入l1求出b，再将(1，b)代入l2求出m；(2)观察图象，由两直线的交点P的横坐标可得；(3)C，D两点横坐标相同时，线段CD的长等于其纵坐标的差，但要注意有两种情况【解答】解：(1)点P(1，b)在直线l1：y2x1上，b2113.点P(1，3)在直线l2：ymx4上，3m4.m1.(2)xl2，即当n2时(4)当CD2时，需分点C在点D上方和下方进行讨论【自主解答】解：(1)直线y2x经过点B，42m，m2，即B(2，4)设直线l1的解析式为ykxb，直线l1的经过点A，B，解得直线l1的解析式为yx3.(2)当x0时，y3，M(0，3)SAOM639.(3)n2.(4)当点C在点D上方时，有x32x2，解得x.此时点C的坐标为(，)；当点C在点D下方时，有2x(x3)2，解得x.此时点C的坐标为(，)15