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第十二章 立体几何一、基础知识公理1 一条直线。上如果有两个不同的点在平面。内则这条直线在这个平面内，记作：aa公理2 两个平面如果有一个公共点，则有且只有一条通过这个点的公共直线，即若P，则存在唯一的直线m，使得=m,且Pm。公理3 过不在同一条直线上的三个点有且只有一个平面。即不共线的三点确定一个平面推论l 直线与直线外一点确定一个平面推论2 两条相交直线确定一个平面推论3 两条平行直线确定一个平面公理4 在空间内，平行于同一直线的两条直线平行定义1 异面直线及成角：不同在任何一个平面内的两条直线叫做异面直线过空间任意一点分别作两条异面直线的平行线，这两条直线所成的角中，不超过900的角叫做两条异面直线成角与两条异面直线都垂直相交的直线叫做异面直线的公垂线，公垂线夹在两条异面直线之间的线段长度叫做两条异面直线之间的距离定义2 直线与平面的位置关系有两种；直线在平面内和直线在平面外直线与平面相交和直线与平面平行(直线与平面没有公共点叫做直线与平面平行)统称直线在平面外定义3 直线与平面垂直：如果直线与平面内的每一条直线都垂直，则直线与这个平面垂直定理1 如果一条直线与平面内的两条相交直线都垂直，则直线与平面垂直定理2 两条直线垂直于同一个平面，则这两条直线平行定理3 若两条平行线中的一条与一个平面垂直，则另一条也和这个平面垂直定理4 平面外一点到平面的垂线段的长度叫做点到平面的距离，若一条直线与平面平行，则直线上每一点到平面的距离都相等，这个距离叫做直线与平面的距离定义5 一条直线与平面相交但不垂直的直线叫做平面的斜线由斜线上每一点向平面引垂线，垂足叫这个点在平面上的射影所有这样的射影在一条直线上，这条直线叫做斜线在平面内的射影斜线与它的射影所成的锐角叫做斜线与平面所成的角结论1 斜线与平面成角是斜线与平面内所有直线成角中最小的角定理4 (三垂线定理)若d为平面。的一条斜线，b为它在平面a内的射影，c为平面a内的一条直线，若cb，则ca逆定理：若ca，则cb定理5 直线d是平面a外一条直线，若它与平面内一条直线b平行，则它与平面a平行定理6 若直线。与平面平行，平面经过直线a且与平面a交于直线6，则a/b结论2 若直线。与平面和平面都平行，且平面与平面相交于b，则a/b定理7 (等角定理)如果一个角的两边和另一个角的两边分别平行且方向相同，则两个角相等定义6 平面与平面的位置关系有两种：平行或相交没有公共点即平行，否则即相交定理8 平面a内有两条相交直线a，b都与平面平行，则/. 定理9 平面与平面平行，平面=a，=b，则a/b定义7 (二面角)，经过同一条直线m的两个半平面,(包括直线m，称为二面角的棱)所组成的图形叫二面角，记作m，也可记为Am一B，AB等过棱上任意一点P在两个半平面内分别作棱的垂线AP，BP，则APB(900)叫做二面角的平面角它的取值范围是0，特别地，若APB900，则称为直二面角，此时平面与平面的位置关系称为垂直，即.定理10 如果一个平面经过另一个平面的垂线，则这两个平面垂直定理11 如果两个平面垂直，过第一个平面内的一点作另一个平面的垂线在第一个平面内定理12 如果两个平面垂直，过第一个子面内的一点作交线的垂线与另一个平面垂直定义8 有两个面互相平行而其余的面都是平行四边形，并且每相邻两个平行四边形的公共边(称为侧棱)都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱两个互相平行的面叫做底面如果底面是平行四边形则叫做平行六面体；侧棱与底面垂直的棱柱叫直棱柱；底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱底面是矩形的直棱柱叫做长方体棱长都相等的正四棱柱叫正方体定义9 有一个面是多边形(这个面称为底面)，其余各面是一个有公共顶点的三角形的多面体叫棱锥底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面的中心的棱锥叫正棱锥定理13 (凸多面体的欧拉定理)设多面体的顶点数为V，棱数为E，面数为F，则V+F-E=2定义10 空间中到一个定点的距离等于定长的点的轨迹是一个球面球面所围成的几何体叫做球定长叫做球的半径，定点叫做球心 定理14 如果球心到平面的距离d小于半径R，那么平面与球相交所得的截面是圆面，圆心与球心的连线与截面垂直设截面半径为r，则d2+r2R2过球心的截面圆周叫做球大圆经过球面两点的球大圆夹在两点间劣弧的长度叫两点间球面距离定义11 (经度和纬度)用平行于赤道平面的平面去截地球所得到的截面四周叫做纬线纬线上任意一点与球心的连线与赤道平面所成的角叫做这点的纬度用经过南极和北极的平面去截地球所得到的截面半圆周(以两极为端点)叫做经线，经线所在的平面与本初子午线所在的半平面所成的二面角叫做经度，根据位置不同又分东经和西经定理15 (祖 原理)夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任意平面所截，如果截得的两个截面的面积总相等，那么这两个几何体的体积相等.定理16 (三面角定理)从空间一点出发的不在同一个平面内的三条射线共组成三个角其中任意两个角之和大于另一个，三个角之和小于3600定理17 （面积公式）若一个球的半径为R，则它的表面积为S球面=4R2。若一个圆锥的母线长为l，底面半径为r，则它的侧面积S侧=rl.定理18 （体积公式）半径为R的球的体积为V球=；若棱柱（或圆柱）的底面积为s，高h，则它的体积为V=sh；若棱锥（或圆锥）的底面积为s，高为h，则它的体积为V=定理19 如图12-1所示，四面体ABCD中，记BDC=，ADC=，ADB=，BAC=A，ABC=B，ACB=C。DH平面ABC于H。（1）射影定理：SABDcos=SABH，其中二面角DABH为。（2）正弦定理：（3）余弦定理：cos=coscos+sinsincosA.cosA=-cosBcosC+sinBsinCcos.（4）四面体的体积公式DHSABC=（其中d是a1, a之间的距离，是它们的夹角）SABDSACDsin(其中为二面角BADC的平面角)。二、方法与例题1公理的应用。例1 直线a,b,c都与直线d相交，且a/b,c/b，求证：a,b,c,d共面。证明 设d与a,b,c分别交于A,B,C,因为b与d相交，两者确定一个平面，设为a.又因为a/b，所以两者也确定一个平面，记为。因为A，所以A，因为Bb，所以B，所以d.又过b,d的平面是唯一的，所以，是同一个平面，所以a.同理c.即a,b,c,d共面。例2 长方体有一个截面是正六边形是它为正方体的什么条件？解 充要条件。先证充分性，设图12-2中PQRSTK是长方体ABCD-A1B1C1D1的正六边形截面，延长PQ，SR设交点为O，因为直线SR平面CC1D1D，又O直线SR，所以O平面CC1D1D，又因为直线PQ平面A1B1C1D1，又O直线PQ，所以O平面A1B1C1D1。所以O直线C1D1，由正六边形性质知，ORQ=OQR=600，所以ORQ为正三角形，因为CD/C1D1，所以=1。所以R是CC1中点，同理Q是B1C1的中点，又ORC1OQC1，所以C1R=C1Q，所以CC1=C1B1，同理CD=CC1，所以该长方体为正方体。充分性得证。必要性留给读者自己证明。2异面直线的相关问题。例3 正方体的12条棱互为异面直线的有多少对？解 每条棱与另外的四条棱成异面直线，重复计数一共有异面直线124=48对，而每一对异面直线被计算两次，因此一共有24对。例4 见图12-3，正方体，ABCDA1B1C1D1棱长为1，求面对角线A1C1与AB1所成的角。解 连结AC，B1C，因为A1AB1BC1C，所以A1AC1C，所以A1ACC1为平行四边形，所以A1C1AC。所以AC与AB1所成的角即为A1C1与AB1所成的角，由正方体的性质AB1=B1C=AC，所以B1AC=600。所以A1C1与AB1所成角为600。3平行与垂直的论证。例5 A，B，C，D是空间四点，且四边形ABCD四个角都是直角，求证：四边形ABCD是矩形。证明 若ABCD是平行四边形，则它是矩形；若ABCD不共面，设过A，B，C的平面为，过D作DD1于D1，见图12-4，连结AD1，CD1，因为ABAD1，又因为DD1平面，又AB，所以DD1AB，所以AB平面ADD1，所以ABAD1。同理BCCD1，所以ABCD1为矩形，所以AD1C=900，但AD1AD,CD1CD，所以AD2+CD2=AC2=，与AD2+CD2矛盾。所以ABCD是平面四边形，所以它是矩形。例6 一个四面体有两个底面上的高线相交。证明：它的另两条高线也相交。证明 见图12-5，设四面体ABCD的高线AE与BF相交于O，因为AE平面BCD，所以AECD，BF平面ACD，所以BFCD，所以CD平面ABO，所以CDAB。设四面体另两条高分别为CM，DN，连结CN，因为DN平面ABC，所以DNAB，又ABCD，所以AB平面CDN，所以ABCN。设CN交AB于P，连结PD，作PD于，因为AB平面CDN，所以AB，所以平面ABD，即为四面体的高，所以与CM重合，所以CM，DN为PCD的两条高，所以两者相交。例7 在矩形ABCD中，AD=2AB，E是AD中点，沿BE将ABE折起，并使AC=AD，见图12-6。求证：平面ABE平面BCDE。证明 取BE中点O，CD中点M，连结AO，OM，OD，OC，则OM/BC，又CDBC，所以OMCD。又因为AC=AD，所以AMCD，所以CD平面AOM，所以AOCD。又因为AB=AE，所以AOBE。因为EDBC，所以BE与CD不平行，所以BE与CD是两条相交直线。所以AO平面BC-DE。又直线AO平面ABE。所以平面ABE平面BCDE。4直线与平面成角问题。例8 见图12-7，正方形ABCD中，E，F分别是AB，CD的中点，G为BF的中点，将正方形沿EF折成1200的二面角，求AG和平面EBCF所成的角。解设边长AB=2，因为EFAD，又ADAB。所以EFAB，所以BG=，又AEEF，BEEF，所以AEB=1200。过A作AMBE于M，则AEM=600，ME=，AM=AEsin600=.由余弦定理MG2=BM2+BG2-2BMBGcosMBG= =2，所以MG=因为EFAE，EFBE，所以EF平面AEB，所以EFAM，又AMBE，所以AM平面BCE。所以AGM为AG与平面EBCF所成的角。而tanAGM=。所以AG与平面EBCF所成的角为.例9 见图12-8，OA是平面的一条斜角，AB于B，C在内，且ACOC，AOC=，AOB=，BOC=。证明：cos=coscos.证明 因为AB，ACOC，所以由三垂线定理，BCOC，所以OAcos=OB,OBcos=OC,又RtOAC中，OAcos=OC，所以OAcoscos=OAcos，所以cos=coscos.5二面角问题。例10 见图12-9，设S为平面ABC外一点，ASB=450，CSB=600，二面角ASBC为直角二面角，求ASC的余弦值。解 作CMSB于M，MNAS于N，连结CN，因为二面角ASBC为直二面角，所以平面ASB平面BSC。又CMSB，所以CM平面ASB，又MNAS，所以由三垂线定理的逆定理有CNAS，所以SCcosCSN=SN=SCcosCSMcosASB，所以cosASC=cos450cos600=。例11 见图12-10，已知直角ABC的两条直角边AC=2，BC=3，P为斜边AB上一点，沿CP将此三角形折成直二面角ACPB，当AB=时，求二面角PACB的大小。解 过P作PDAC于D，作PECP交BC于E，连结DE，因为ACPB为直二面角，即平面ACP平面CPB，所以PE平面ACP，又PDCA，所以由三垂线定理知DEAC，所以PDE为二面角PACB的平面角。设BCP=，则cosECD=coscos(900-)=sincos，由余弦定理cosACB=，所以sincos=，所以sin2=1.又02，所以=，设CP=a，则PD=a,PE=a.所以tanPDE=所以二面角PACB的大小为。6距离问题。例12 正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为a，求对角线AC与BC1的距离。解 以B为原点，建立直角坐标系如图12-11所示。设P，Q分别是BC1，CA上的点，且，各点、各向量的坐标分别为A(a,0,0),B(0,0,0),C(0,a,0)，,所以，所以aa+aa=0, aa-aa=0.所以。所以PQ为AC与BC1的公垂线段，所以两者距离为例13 如图12-12所示，在三棱维SABC中，底面是边长为的正三角形，棱SC的长为2，且垂直于底面，E，D分别是BC，AB的中点，求CD与SE间的距离。分析 取BD中点F，则EF/CD，从而CD/平面SEF，要求CD与SE间的距离就转化为求点C到平面SEF间的距离。解 设此距离为h，则由体积公式计算可得SSEF=3，所以7凸多面体的欧拉公式。例14 一个凸多面体有32个面，每个面或是三角形或是五边形，对于V个顶点每个顶点均有T个三角形面和P个五边形面相交，求100P+10T+V。解 因F=32，所以32-E+V=2，所以E=V+30。因为T+P个面相交于每个顶点，每个顶点出发有T+P条棱，所以2E=V(T+P). 由此得V(T+P)=2(V+30)，即V(T+P-2)=60. 由于每个三角形面有三条棱，故三角形面有个，类似地，五边形有个，又因为每个面或者是三角形或者是五边形，所以=32，由此可得3T+5P=16，它的唯一正整数解为T=P=2，代入V(T+P-2)=60得V=30，所以100P+10T+V250。8与球有关的问题。例15 圆柱直径为4R，高为22R，问圆柱内最多能装半径为R的球多少个？解 最底层恰好能放两个球，设为球O1和球O2，两者相切，同时与圆柱相切，在球O1与球O2上放球O3与球O4，使O1O2与O3O4相垂直，且这4个球任两个相外切，同样在球O3与球O4上放球O5与球O6，直到不能再放为止。先计算过O3O4与过O1O2的两平行面与圆柱底面的截面间距离为。设共装K层，则(22-)Rh.证明 不妨设A到面BCD的高线长AH=h，AC与BD间的距离为d，作AFBD于点F，CNBD于点N，则CN/HF，在面BCD内作矩形CNFE，连AE，因为BD/CE，所以BD/平面ACE，所以BD到面ACE的距离为BD与AC间的距离d。在AEF中，AH为边EF上的高，AE边上的高FG=d，作EMAF于M，则由EC/平面ABD知，EM为点C到面ABD的距离（因EM面ABD），于是EMAH=h。在RtEMF与RtAHF中，由EMAH得EFAF。又因为AEHFEG，所以2。所以2dh.注：在前面例题中除用到教材中的公理、定理外，还用到了向量法、体积法、射影法，请读者在解题中认真总结。三、基础训练题1正三角形ABC的边长为4，到A，B，C的距离都是1的平面有_个.2空间中有四个点E，F，G，H，命题甲：E，F，G，H不共面；命题乙：直线EF和GH不相交，则甲是乙的_条件。3动点P从棱长为a的正方体的一个顶点出发，沿棱运动，每条棱至多经过一次，则点P运动的最大距离为_。4正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是面ADD1A1、面ABCD的中心，G为棱CC1中点，直线C1E，GF与AB所成的角分别是，。则+=_。5若a,b为两条异面直线，过空间一点O与a,b都平行的平面有_个。6CD是直角ABC斜边AB上的高，BD=2AD，将ACD绕CD旋转使二面角ACDB为600，则异面直线AC与BD所成的角为_。7已知PA平面ABC，AB是O的直径，C是圆周上一点且AC=AB，则二面角APCB的大小为_。8平面上有一个ABC，ABC=1050，AC=，平面两侧各有一点S，T，使得SA=SB=SC=，TA=TB=TC=5，则ST=_.9在三棱锥SABC中，SA底面ABC，二面角ASBC为直二面角，若BSC=450，SB=a，则经过A，B，C，S的球的半径为_.10空间某点到棱长为1的正四面体顶点距离之和的最小值为_.11异面直线a,b满足a/,b/,b/,a/，求证：/。12四面体SABC中，SA，SB，SC两两垂直，S0，S1，S2，S3分别表示ABC，SBC，SCA，SAB的面积，求证：13正三棱柱ABCA1B1C1中，E在棱BB1上，截面A1EC侧面AA1C1C，（1）求证：BE=EB1；（2）若AA1=A1B1，求二面角EC-A1-B1C1的平面角。四、高考水平训练题1三棱柱ABC-A1B1C1中，M为A1B1的中点，N为B1C与BC1的交点，平面AMN交B1C1于P，则=_.2.空间四边形ABCD中，AD=1，BC=，且ADBC，BD=，AC=，则AC与BD所成的角为_.3平面平面，=直线AB，点C，点D，BAC=450，BAD=600，且CDAB，则直线AB与平面ACD所成的角为_.4单位正方体ABCDA1B1C1D1中，二面角ABD1B1大小为_.5如图12-13所示，平行四边形ABCD的顶点A在二面角MN的棱MN上，点B，C，D都在上，且AB=2AD，DAN=450，BAD=600，若ABCD在半平面上射影为为菜，则二面角MN=_.6已知异面直线a,b成角为，点M，A在a上，点N，B在b上，MN为公垂线，且MN=d，MA=m，NB=n。则AB的长度为_.7已知正三棱锥SABC侧棱长为4，ASB=450，过点A作截面与侧棱SB，SC分别交于M，N，则截面AMN周长的最小值为_.8l1与l2为两条异面直线，l1上两点A，B到l2的距离分别为a,b，二面角Al2B大小为，则l1与l2之间的距离为_.9在半径为R的球O上一点P引三条两两垂直的弦PA，PB，PC，则PA2+PB2+PC2=_.10过ABC的顶点向平面引垂线AA1，BB1，CC1，点A1，B1，C1，则BAC与B1A1C1的大小关系是_.11三棱锥ABCD中ACB=ADB=900，ABC=600，BAD=450，二面角ACDB为直角二面角。（1）求直线AC与平面ABD所成的角；（2）若M为BC中点，E为BD中点，求AM与CE所成的角；（3）二面角MAEB的大小。12四棱锥PABCD底面是边长为4的正方形，PD底面ABCD，PD=6，M，N分别是PB，AB的中点，（1）求二面角MDNC的大小；（2）求异面直线CD与MN的距离。13三棱锥SABC中，侧棱SA，SB，SC两两互相垂直，M为ABC的重心，D为AB中点，作与SC平行的直线DP，证明：（1）DP与SM相交；（2）设DP与SM的交点为，则为三棱锥SABC外接球球心。五、联赛一试水平训练题1现有边长分别为3，4，5的三角形两个，边长分别为4，5，的三角形四个，边长分别为，4，5的三角形六个，用上述三角形为面，可以拼成_个四面体。2一个六面体的各个面和一个正八面体的各个面都是边长为a的正三角形，这两个多面体的内切球的半径之比是一个既约分数，那么mn=_。3已知三个平面，每两个平面之间的夹角都是，且=a,，命题甲：；命题乙：a,b,c相交于一点。则甲是乙的_条件。4棱锥MABCD的底面是正方形，且MAAB，如果AMD的面积为1，则能放入这个棱锥的最大球的半径为_.5将给定的两个全等的正三棱锥的底面粘在一起，恰得到一个所有二面角都相等的六面体，并且该六面体的最短棱长为2，则最远两个顶点间距离为_。6空间三条直线a,b,c两两成异面直线，那么与a,b,c都相交的直线有_条。7一个球与正四面体的六条棱都相切，正四面体棱长为a，这个球的体积为_。8由曲线x2=4y,x2=-4y,x=4,x=-4围成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V1，满足x2+y216,x2+(y-2)24,x2+(y+2)24的点(x,y)组成的图形绕y轴旋转一周所得旋转体的体积为V2，则_。9顶点为P的圆锥的轴截面是等腰直角三角形，A是底面圆围上的点，B是底面圆内的点，O为底面圆圆心，ABOB，垂足为B，OHPB，垂足为H，且PA=4，C为PA的中点，则当三棱锥CHPC体积最大时，OB=_。10是三个互相垂直的单位向量，是过点O的一个平面，分别是A，B，C在上的射影，对任意的平面，由构成的集合为_。11设空间被分为5个不交的非空集合，证明：一定有一个平面，它至少与其中的四个集合有公共点。12在四面体ABCD中，BDC=900，D到平面ABC的垂线的垂足S是ABC的垂心，试证：(AB+BC+CA)26(AD2+BD2+CD2)，并说明等号成立时是一个什么四面体？13过正四面体ABCD的高AH作一平面，与四面体的三个侧面交于三条直线，这三条直线与四面体的底面夹角为，求tan2+tan2+tan2之值。六、联赛二试水平训练题1能否在棱长为1的正方体形状的盒子里放入三个彼此至多有一个公共点的棱长为1的正四面体？2P，Q是正四面体ABCD内任意两点，求证：3P，A，B，C，D是空间五个不同的点，APB=BPC=CPD=DPA=，这里为已知锐角，试确定APC+BPD的最大值和最小值。4空间是否存在有限点集M，使得对M中的任意两点A，B，可以在M中另取两点C，D，使直线AB和CD互相平行但不重合。5四面体ABCD的四条高AA1，BB1，CC1，DD1相交于H点（A1，B1，C1，D1分别为垂足）。三条高上的内点A2，B2，C2满足AA2：AA=BB2：B2B1=CC2：C2C1=2：1。证明：H，A2，B2，C2，D1在同一个球面上。6设平面，与四面体ABCD的外接球面分别切于点A，B，C，D。证明：如果平面与的交线与直线CD共面，则与的交线与直线AB共面。高考资源网()来源：高考资源网版权所有：高考资源网(www.k 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