数字信号处理2

第 次课摘 要授课题目（章、节）第2章 离散信号与离散系统 2.1 离散信号（序列）与离散系统时域分析教学主要内容及重点难点：主要内容：从时域和频域两个角度对离散信号及系统进行讨论重点难点：Z变换及傅里叶变换内 容2.1 离散信号（序列）与离散系统时域分析2.1.1离散信号的产生及运算1. 离散信号的产生n 对连续时间信号在时间上进行等间隔采样就得到离散信号，即X(t)| 图2-1 离散信号x(n)由连续时间信号x(t)在时间上进行等间隔采样产生n 一个连续正弦时间信号经等时间间隔采样后得到的正弦离散信号 第 页可以看出，离散信号的特点是在一些离散的时间点上才有定义的信号，这意谓着离散信号在时间上是不连续的，但其幅值没有要求，采样多大就取多大，其值可以连续，也可以不连续。 离散信号也称离散序列，简称为序列，序列可以理解为顺序排列的一组数值。 2序列的表示方法 任意序列可用图形、表达式或一组数据来表示。例如某序列可用如下方式表达：1）用图形方式表示序列 x(n) 如图所示，图中横坐标为自变量n，纵坐标为序列值x(n)。2）用表达式表示序列 x(n) : X(n)=nu(n)-u(n-5) 3）用数组方式表示序列 x(n): X(n)=0,1,2,3,43常用的基本序列（1）单位采样序列 n 在离散信号与系统的研究中，单位采样序列有两个极为重要的作用:1）作用于离散系统产生系统的零状态响应称为单位采样响应，用 表示。是描述系统特性的最重要的函数2）任意的序列都可以用的移位和加权求和来表示。第 页例2-1 将如图所示的任意离散序列x(n)表示成移位和加权求和的形式 直接用移位和加权求和的形式写出 （2）单位阶跃序列 可以用表示（3）矩型序列以N=5为例 第 页 (4) 正弦序列对连续信号进行抽样，抽样的间隔时间为T，得到 因为 等于采样频率的倒数，即 ，所以字母 表示 连续信号的频率字母 表示 离散信号的频率，称为数字域频率，简称数字频率字母 为 采样频率所以 可以理解为正弦序列的数字频率 是正弦信号的频率与抽样频率 的比值。第 页正弦序列周期 周期序列是指满足 N为周期 取 ，用 替换式中的字母 得到 若 为周期序列，即满足 式成立，则要满足上式，必须保证 K取整数，从而得到周期 因为K为整数，N必须为正整数，因而有如下三种情况可决定正弦序列的周期性及求周期值 Nn 1）若 为整数，当k取1时，则序列的周期为 n 2）若 为有理数，则可找到一个正整数k，使 为整数，序列的周期为n 3）若 为无理数，找不到正整数k，使得为整数，所以序列周期N不存在例2-2 判断sin(n/5)是否为周期序列 解： 2/=2/(1/5)=10是无理数 不存在正整数的值使得2k/的值为正整数 所以sin(n/5)不是周期函数例2-3 判断sin(4n/5)是否为周期序列解：2/=2/(4/5)=5/2， 为有理数 所以为周期函数 取k=2时，N=2k/=(5/2)2=5 所以周期为5（5）复指数序列x(n) 可以展开为 由欧拉公式第一项 表示序列的幅值，第二项表示序列的相位。第 页字母表示数字频率。当，复指数序列即为在单位圆上的等间隔点； 当，复指数序列即为实数指数序列。（6）实指数序列序列的图形与实数的取值有很大关系当 时，序列随时间呈现递增的趋势，称为发散序列当 时，序列随着时间呈现递减的趋势，称为收敛序列4序列的运算（1）序列相加、相减序列相加、相减是将相同n值的对应项相加、相减，不同n值的项不能进行相加或相减。（2）序列相乘序列相乘也是将相同n值的对应项相乘，不同n值的项不能进行相乘。举例：两序列和，相加得到，相减得到，相乘得到（3）序列移位 移位是指在时间上将序列延时或者提前m个时间点，在图形上表示为在时间轴上的右移或者左移m个点。例2-4 画出 的图形解：第 页（3）序列移位 移位是指在时间上将序列延时或者提前m个时间点，在图形上表示为在时间轴上的右移或者左移m个点。例2-4 画出 的图形解：已知 则 第 页（4）翻转 序列的翻转是将原序列 沿纵轴对折得到的新序列 例2-5 令 则 （5）扩张和压缩扩张是在纵轴上将序列的时间轴伸展为原序列的倍，压缩是在纵轴上将序列的时间轴压缩为原序列的 对于序列，其扩张为n 例2-6 已知序列如图所示，求 和 第 页（6）序列的卷积设有两个序列和，它们的卷积运算为 记为 卷积的求法有图解法、解析法、表格阵法（仅适用两个有限时宽序列）等 1) 图解法求卷积例2-7 用图解法求两个序列与的卷积 两个序列卷积的主要运算是序列的翻转、移位、相乘、相加等过程，这类卷积称为序列的线性卷积。设两序列的长度为N和M，线性卷积后的序列长度为（N+M-1）。 第 页2)解析法求卷积例2-8 两个序列 ， 用解析法求与的卷积解:可以证明序列有如下性质： 利用这两个性质，序列的卷积可用解析法求解 = 3）用表格阵法求两个序列的卷积适用于有限长度序列并且序列较短的情况 例2-9 用表格阵法求两个序列与的卷积 解： 将序列依顺序从左至右列在表中的横行上，将序列依顺序从上至下列在表中的纵列，将横行与纵列上的元素对应相乘，结果记到交叉的位置上就可以列出表格的形式 卷积运算满足如下性质：1）交换律 2）分配律 第 页3）结合律 4）与的卷积2.1.2线性时不变离散系统 时域离散系统模型 表示系统运算函数，为输入序列，为输出序列，输入与输出的关系可写为 1.线性系统 设离散系统 ，为输入序列，为输出序列，输出与输入的关系为当输入为时，输出为当输入为时，输出为当输入为时若输出 满足这样关系的系统称为线性系统例2-10 判断系统的线性性解：判定系统的线性性可以分四步来完成：（1）找出系统差分方程 （2）分别输入、，求出系统对应输出 、第 页（3）当输入为 时，求输出 （4）判断 是否等于，如果相等，则满足线性系统的定义条件，为线性系统，否则为非线性系统 非线性系统 2.时不变系统 时不变系统是指系统的输出与输入信号加于系统的时刻无关，也就是同一个信号在任意时刻加入系统，所产生的输出都相同。 令系统输出 与输入之间的关系为，若输入信号延时后，系统的输出满足 ，则系统为时不变系统，否则为时变系统。 例2-11 判断为时变还是时不变系统解：判断系统为时变系统还是时不变系统也可以分四步来考虑：（1）找出系统差分方程 （2）求出 的值 （3）用 替换中的所有 （4）判断 与 是否相等，若相等则为时不变系统 时变系统 3.因果系统 因果系统是指输出变化不领先于输入变化的系统，若用系统的单位采样响应 的特性来反映系统的因果性，可以证明线性、时不变的系统为因果系统的充分第 页必要条件为系统响应仅取决于该时刻及该时刻之前的激励，与该时刻之后的激励无关4.稳定系统 稳定系统是指当输入为有界的信号时，输出也是有界值的系统。可以证明线性、时不变系统为稳定系统的充分必要条件为 既满足因果条件，又满足稳定条件的系统称为因果稳定系统。 例2-12 已知某系统输入序列与输出序列的关系为 ，判断系统的线性、时变、因果、稳定特性。解：（1）线性性的判断 已知系统差分方程 分别输入、，对应系统输出为 当输入 时，对应的系统输出为 由上面计算判断 所以该系统满足线性系统的条件。（2）时不变性的判断已知系统函数 仅当输入 延时时的输出 第 页系统输出 延时的值 由上述计算可以看出 所以该系统是时变系统（3）因果性判断 由因果性的定义，从系统差分方程可以看出， 时刻的输出仅跟该时刻之前的值有关，与该时刻之后的输入无关，所以系统为因果系统。（4）稳定性判断 由稳定性的定义，输入有界，输出有界，从系统差分方程看出，当输入序列有界时，输出的值可能对应着无穷大，所以该系统不满足稳定系统的条件，因此为非稳定系统。2.1.3 线性时不变离散系统输入与输出的关系 因为任意序列 可以表示为 移位加权和的形式，即则由线性时不变系统的线性和时不变性质可得系统输入输出关系为：系统输入 系统输出 第 页2.1.4 用差分方程描述离散线性时不变系统1.差分方程建立举例 一般线性常系数差分方程的通式为 为输入序列， 为待求输出序列，这种由输入与输出的移序信号所组成的代数形式关系式就称为差分方程，N是差分方程的阶数 令 2差分方程的求解 求解系统的差分方程主要有三种方法，递推法、经典解法和变换域法，本节仅讨论递推法 所谓递推法就是把已求出的解逐次递推代入求下一个解例2-13 已知某离散线性时不变系统的差分方程为，且 ，初始条件为 当时， ，求输出序列 解：采用递推法求解差分方程第 页当时: 当 时: 当 时: 当 时: .当时：根据初始条件和递推结果可得到本例题解的表达式为若将上述系统的初始条件改为 ，及当 时，求解同一个差分方程 当时: 当时:当时:当时:.当 时： 根据初始条件和递推结果可得到本例题解的表达式为表明，对于不同的初始条件，即使差分方程相同，系统的输出也是不同的。 若将上述系统的初始条件改为： 再解本差分方程 交换差分方程的次序第 页n 当 时: n 当时: n 当时: n 当时: n .n .n 当 时: n 将用代替，得到 n 从上式可以看出，同样的系统差分方程，若初始条件向的方向递推，则该系统是因果系统，若向的方向递推，则该系统为非因果系统。 第 页第 次课摘 要授课题目（章、节）2.2离散信号（序列）与离散系统的频域分析教学主要内容及重点难点：主要内容：本节讨论离散信号与离散系统的频域分析和频域处理的理论与方法。其主要内容是：Z变换和傅里叶变换， Z变换在离散信号与离散系统中所起的作用相当于拉氏变换在连续信号与连续系统中所起的作用。重点难点：Z变换及其反变换的运算及性质内 容2.2.1序列的Z变换及Z反变换1. Z变换的定义序列的Z变换定义为 记为 其中z为复变量，写成复数的形式为 ， 为数字域频率 若n的取值范围为 时，这样的Z变换称为双边Z变换若n的取值范围为 ，这样的变换称为单边Z变换 单边Z变换 Z变换的正变换（ZT） 序列Z变换是复变量z的幂级数，序列 是幂级数的系数。对于因果序列，双边Z变换等于单边Z变换。 Z变换的反变换是已知Z变换的表达式和收敛域，求序列的过程，其定义为 Z变换的反变换（IZT）曲线积分路径是在收敛域范围内一条包含坐标圆点的逆时针闭合曲线 第 页2. Z变换的收敛域 由序列Z变换的定义可以看出Z变换是复变量 的幂级数，要使Z变换有意义，需要使复变量z的取值保证幂级数收敛。 在复平面上使幂级数收敛的所有z的取值，称为Z变换的收敛域，而级数收敛的判断方法一般有根值法和比值法，可以用这些方法求出Z变换的收敛域。 根值法：对于一正项级数， ，若 的n次根的极限为R，则对该级数收敛的判断为 比值法：对于一正项级数， ，若 与 之比，当时极限为R，则对该级数收敛的判断为由级数收敛的理论可知，任意序列Z变换存在的充分条件是级数满足绝对可和，即 由此条件求解得到的z变量的取值范围也为Z变换的收敛域，在复平面上一般收敛域用环状表示。即 例2-14 求序列 的Z变换及收敛域 第 页 解： 由级数收敛判断的比值法知，当 ，即 时，级数收敛，则该序列的Z变换和收敛域为 例2-15 求序列 的Z变换及收敛域 解： 第 页Z变换是关于z的负幂项级数，其相当于，要满足收敛，z不能取0，取其它的z值都能保证幂级数收敛，所以该情况下收敛域为 。3）若 Z变换是关于z的正幂项级数，相当于 ，要满足收敛，z不能取无穷大，取其它的z值都能保证幂级数收敛，所以该情况下收敛域为 。 例2-16 求序列的Z变换及收敛域 解： 因为、的取值范围为：，因此收敛域为。需要说明的是式中似乎存在使分母为零的点，但经化简可以得到 分子与分母的项能够抵消，即零点与极点可以抵消，所以极点只有 ，收敛不能包含 。 （2）为右边序列 若序列满足即序列在范围内有非零值，称为右边序列。该类序列的Z变换为 右边序列Z变换收敛域的求取，根据的位置，可分如下两种情况：第 页1）若 其中第一项 为有限长序列，收敛域为 ，第二项 为因果序列，是关于z的负幂项级数 利用式根值法，级数收敛需满足的条件为 即 可解得 其收敛域为 ，为收敛半径。 将两项的收敛域求交集，可求得右边序列Z变换的收敛域为 ，是复平面半径为 圆的外侧，但不包含无穷大点，如图所示。 2）若 由前面所述，其收敛域为即收敛域包含无穷大点 例2-17 求序列 的Z变换及收敛域第 页解：由根值法可求收敛域满足 即 ，是以 为半径的圆外。（3）为左边序列 若序列满足即序列在范围内有非零值，称为左边序列。 该类序列的Z变换为 左边序列Z变换收敛域的求取，根据的位置，可分如下两种情况求解：1）若 第一项是关于z的正幂项级数，即 利用根值法，级数收敛需满足的条件为 可解得 则收敛域为， 为收敛半径式中第二项为有限长序列，其收敛域为 。将两项的收敛域求交集，可得到左边序列Z变换的收敛域为 第 页为复平面半径为 圆的内侧，但不包含零点，如图所示。 2）若 Z变换仅包括上式第一项z的正幂项级数，其收敛域为，即收敛域包含零点。如图所示 例2-18 求序列的Z变换及收敛域解： 收敛域满足即 ，是以 为半径的圆内。 极点为，收敛域以极点为界，根据序列特性，可直接求出收敛域为。（4）为双边序列如果序列满足n在 范围内都有数值，称为双边序列。该类序列的Z变换为第 页以为界，将上式分为两个单边序列的和 第一项是左边序列，收敛域为，为收敛半径第二项为右边序列，其收敛域为将两项的收敛域求交集，得到双边序列Z变换的收敛域为 ，是复平面半径为圆的外侧，半径为圆的内侧，如图所示。如 ，两项的收敛域无交集，则双边序列的Z变换不收敛。 例2-19 求序列的Z变换及收敛域，。 解： 第 页收敛域满足 和 ，即 3. 典型序列的Z变换（1）单位采样序列 收敛域为Z全平面 （2）单位阶跃序列 收敛域为 （3）斜变序列该式的求解，可以对单位阶跃序列的Z变换 两边关于求导，得到等式两边同乘 ，得到上式第一项即为斜变序列 Z变换的定义，所以收敛域为上述方法是求解序列Z变换的常用方法，同样还可以计算、的Z变换。（4）指数序列第 页1）右边指数序列 收敛域为 2）左边指数序列 收敛域为3）双边指数序列 收敛域为（5）正、余弦序列 、因为单边指数序列的Z变换为 令代入上式得令 代入右边指数序列并求Z变换，得到 根据欧拉公式 可得到单边正、余弦序列的Z变换为 第 页收敛域为4. Z反变换Z反变换就是已知Z变换的表达式和收敛域，求序列的过程 曲线积分路径是在收敛域范围内一条包含坐标圆点的逆时针闭合曲线 。 被积函数为 ，通常求Z反变换不直接计算闭合曲线积分，而采用留数法、幂级数展开法、部分分式展开法。（1）留数法根据复变函数的留数定理，求的曲线积分，可改求闭合曲线内部极点的留数，即 式中有理函数 , 表示在闭合积分曲线c包围内的极点，表示极点 的留数。1）若为 在闭合曲线c内的一阶极点，留数的计算方法为： 2）若 为 在闭合曲线c内的S阶重极点，留数的计算方法为： 上式计算比较麻烦。如果分母 的阶次比分子阶次高二阶以上，且在复平面内只有有限个孤立极点，可由留数辅助定理完成闭合曲线积分。根据留数辅助定理，函数 在复平面内所有各极点(包括无穷大点)的留数的总和等于零，即 第 页其中为闭合积分曲线c内的全部极点数，为闭合积分曲线c外的全部极点数。这样就可用闭合曲线外所有点的留数来求出闭合曲线内的留数之和，得到Z的反变换,即 式中表示函数 在闭合积分曲线c外的极点， 表示极点的留数。例2-20 已知 ，求解： n的取值不同，函数的极点也不同 单极点 n重极点 单极点 综合两种情况 （2）幂级数展开法 由Z变换的定义式可以看出， 是关于Z的幂级数，幂级数的系数即为 第 页 ，可以用长除法的方式将 展开成幂级数的形式，就相当于求出了Z反变换值 。注意：要根据收敛域的不同，先判断出所求序列为左边序列或者右边序列，然后计算出变量的升幂或者降幂级数，从而整理出 。例2-23 已知，求解:由于 的收敛域是 ,为右边序列,需求Z的降幂级数。 （3）部分分式展开法计算左边序列和右边序列 Z变换的计算式为左边序列 右边序列 可以看出序列Z变换最基本的形式是 ，所以求Z反变换时，只要将的表达式展开为 项相加的形式，直接就可以写出对应序列的表达式。若展开式包括 的S阶极点，则要用留数定理法计算该极点的反变换值。 第 页例2-25 已知 ， ，求解： 由收敛域 可知，待求序列为双边序列，的两个极点为3和5，这样可以判断第一项为右边序列的Z变换值，第二项为左边序列的Z变换值，从而得到 5. 常用序列Z变换表2-1是常用序列的Z变换，在求它们的Z变换或反Z变换时可直接查表。 6. Z变换的基本性质（1）线性性若 则 其中 两个序列和的变换等于两个序列变换的和，收敛域是原来两个序列收敛域的公共部分，若两个序列的收敛域没有公共部分，则和的变换不存在。 （2）Z变换的时域移位特性Z变换的时域移位特性要分为双边Z变换和单边Z变换讨论。1）双边Z变换的时域移位特性若 序列移位 后，的Z变换为 2）单边Z变换的时域移位特性第 页若 ，序列移位 后， 的Z变换为 序列移位后，收敛区域不改变(3)线性加权若 则 (4)指数加权若 则 序列指数加权后收敛区间发生变化(5)初值定理若因果序列 的Z变换 ，则(6)时域卷积定理若 则 其中 序列时域卷积后，收敛区域变为原两序列收敛区域的公共部分。(7)Z域卷积定理若 则例2-27已知 ,求第 页解 7. 利用Z变换解差分方程差分方程在时域中可用递推法求解，在复频域中可利用Z变换来求解。系统差分方程的一般形式 若 反变换 称为系统的零状态解，零状态解与系统的初始状态无关，仅由输入决定 若 单边Z变换 第 页称为系统的零输入解，零输入解与系统的输入无关，仅由系统的初始状态决定例2-28 已知某离散线性时不变系统的差分方程为且 ，初始条件为当时，求输出序列 。解：对差分方程两边进行Z变换 由 因为 ，则，又由因果序列得到 收敛域为求反变换此解为零状态解，系统的零输入解为0。若将上述系统的初始条件改为 ，当 时解：对差分方程两边进行Z变换 由 代入 为n从-1开始的右边序列 收敛域 第 页2.2.2 序列的傅里叶变换(DTFT)1.序列的傅里叶变换（DTFT）定义 傅里叶正变换（DTFT） 傅里叶反变换（IDTFT）傅里叶变换存在的必要充分条件为序列 绝对可和 例2-29 设 ，求的DTFT解： 重要结论？ 2. Z变换与 DTFT的关系 即Z平面单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换 同样得到序列Z变换的反变换与傅里叶反变换的关系 第 页3序列傅里叶变换的性质（1）周期性由 得到 M为整数，由上式可以看出序列的傅里叶变换是频率的周期函数，周期为（2）线性性若序列的DTFT为 序列的DTFT为 则序列 的DTFT为 （3）时移特性若 则时移特性为 （4）频移特性若 则频移特性为 （5）对称性1）时域对称性 第 页若满足则 共轭对称序列 共轭反对称序列即实部偶对称，虚部奇对称 实部奇对称，虚部偶对称 任意序列都可以用共轭对称序列和共轭反对称序列的和来表示，即2）频域对称性 由上述推导可得出如下结果：第 页（6）时域卷积定理若 则 （7）频域卷积定理若 则 （8）帕斯维尔定理 2.2.3 离散系统的传输函数及系统函数1、离散系统的传输函数及系统函数的定义 定义为系统的传输函数，它表示了系统的频率特性 定义为系统的系统函数，它表示了系统的复频率特性 系统函数 也可用系统的差分方程求出 设系统的初始状态为零 系统零状态响应 的Z变换 与激励信号的Z变换 之比即为系统函数 第 页如果系统函数 的收敛域包含了单位圆，则传输函数 可以看成单位脉冲响应 在单位圆上的Z变换，即 2利用系统函数的收敛域分析系统的因果性和稳定性（1）系统的因果性判定离散系统为因果系统的充分必要条件为 收敛域一定在某圆的圆外区域，即 ，收敛域包含了点 因此可用系统函数 的收敛域是否包含 点来判定系统的因果性，的收敛域包含 点，该系统一定为因果系统。（2）系统的稳定性判定离散系统为稳定系统的充分必要条件为 可看出稳定系统 要求系统函数的收敛域包含单位圆 ，即系统函数的极点必须在单位圆内 综上所述，离散系统为因果系统并且稳定的条件为系统函数 的收敛区域在某圆的圆外部分，并且包括单位圆，即 ， 例2-31 已知某系统函数为 ，判断该系统的稳定性解： 第 页(a)收敛域为 (b)收敛域为 (c)收敛域为3利用系统函数的零、极点分布分析系统的频率特性 为系统函数幅度，为的零点，为 的极点系统的幅频特性函数为 相频特性函数为 (a) 零、极点位置 (b) 幅频特性例2-32 已知 ，试定性画出系统的幅频特性 第 页解： 的极点为 ，为4阶极点，零点为，即 第 页