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第四节直线与圆、圆与圆的位置关系考纲传真1.能根据给定直线、圆的方程判断直线与圆的位置关系；能根据给定两个圆的方程判断两圆的位置关系 .2.能用直线和圆的方程解决一些简单的问题.3.初步了解用代数方法处理几何问题的思想.抓基础自主学习|知摄理1 .判断直线与圆的位置关系常用的两种方法(1)几何法：利用圆心到直线的距离 d和圆半径r的大小关系：dr?相离.(2)代数法：联立直线1与圆C的方程，消去y(或x),得一元二次方程，计算判别式A = b2- 4ac, A 0? A =0? wn_, A 0),圆 Q： (x-a2)2+(y-b2)2=r2(r20).几何法：圆心距d与1,2的关系代数法：联立两个圆的方程组成方程组的解的情况相离drd2无解外切d= r 1+ r2一组实数解相交r2 r“ dr 1+ r2两组不同的实数解内切d= | r1 r2|( r 1 r2)一组实数解内含0 d| r 1-川”心)无解学情自测1 .(思考辨析)判断下列结论的正误.(正确的打，错误的打“x”)(1) “k=1”是“直线xy+k=0与圆x2+y2=1相交”的必要不充分条件.()(2)如果两个圆的方程组成的方程组只有一组实数解，则两圆外切.()(3)如果两圆的圆心距小于两半径之和，则两圆相交. ()(4)若两圆相交，则两圆方程相减消去二次项后得到的二元一次方程是公共弦所在直线的方程.()解析依据直线与圆、圆与圆的位置关系，只有 (4)正确.答案(1)X (2) X (3) X (4) V2 .(教材改编)圆(x+2)2+y2 = 4与圆(x2)2+(y 1)2=9的位置关系为()A.内切C.外切B.相交D.相离B 两圆圆心分别为（一2,0） , （2,1）,半径分别为2和3,圆心距d = *2+ 1 =4万.32d3+2, 两圆相交.3. （2017 合肥调研）直线3x+4y=b与圆x2 + y22x 2y+1 = 0相切，则 b的值是()A. 2 或 12【导学号：66482384】B. 2 或12C. 2 或12D. 2 或 12由圆 x2+y2-2x-2y+1 = 0,知圆心（1,1）,半径为1,所以|3 x 1 + 4X 1 b|32+42=1,解得b=2或12.4.在平面直角坐标系 xOy中，直线x + 2y-3=0被圆（x2） 2+（ y+1）2= 4截得的弦长55 圆心为(2 , 1),半径 r = 2.圆心到直线的距离 d=|2+2X 1 3| 3平所以弦长为2 r2-d2=23M2_2m5. (201 6 全国卷I )设直线y = x+ 2a与圆C: x2+y2-2ay- 2=0相交于A, B两点,若AB=23,则圆C的面积为.4%圆 C： x2+ y2-2ay- 2 = 0 化为标准方程是 C： x2+ (y-a)2= a2+ 2,所以圆心 C(0 , a),半径 r =，a? + 2.| AB = 2y3,点 C到直线 y=x+2a即 x y+2a =0的距离d=|0 - a 2a| ,由勾股定理得，坐 2+ 0 : 冽)=a2+2,解得a2=2,所以 ,22.2r = 2,所以圆C的面积为兀x 2 2= 4兀.（2017 豫南九校联考）直线l： mx-y+1m= 0与圆C： x2+（y 1）2 = 5的位置关系是（）A.相交B.相切C.相离D.不确定(2)若点R1,2)在以坐标原点为圆心的圆上，则该圆在点P处的切线方程为 m(1)A (2)x+2y 5=0 (1)法一：二圆心(0,1)到直线 l 的距离 d= . 210)截直线x+ y=0所得线段的长度是A.2小，贝炯内切M与圆N: (x1)2+(y1)2=1的位置关系是()B.相交C.外切D.相离法一：由x2+ y2- 2ay=0,得两交点为(0,0) , (-a, a).乂+ y= 0 圆MB直线所得线段长度为25, .a + a 2 = 2,y2.又 a0,a =2. 圆 M的方程为 x2+y2-4y=0,即 x2+(y-2)2=4,圆心 M(0,2),半径1 = 2. 又圆 N: (x-1)2+(y-1)2=1,圆心 N(1,1),半径2=1, | mn=弋 1M 2+ 2-1 2 =*.11 r=1, rd2= 3,1| MN0) ? x2+ (y- a)2= a2( a0), 圆M截直线x+y=0所得线段的长度为 2/，圆心M到直线x+y=0的距离d=j= a2-2,解得 a=2.以下同法一.规律方法1.圆与圆的位置关系取决于圆心距与两个半径的和与差的大小关系.2 .若两圆相交，则两圆的公共弦所在直线的方程可由两圆的方程作差消去x2, y2项得3 .若两圆相交，则两圆的连心线垂直平分公共弦.变式训练2 若。Q x2+y2=5与。O: (xn)2 + y2=20(me R)相交于 A B两点，且两圆在点A处的切线互相垂直，则线段 AB的长度是.4 由题意。O与。O在A处的切线互相垂直，则两切线分别过另一圆的圆心,. OA OA又. |OA = aJ5, | OA| =2邓, . | OO| =5.又A, B关于OO对称，.AB为RtOAO斗边上高的2倍.1又I OA-1OA= 2OO- AC 彳# AC= 2.xOy中，已知图 8-4-1(1)设圆N与x轴相切，与圆 M外切，且圆心 N在直线x=6上，求圆N的标准方程;(2)设平行于OA勺直线l与圆M相交于B, C两点，且BO OA求直线l的方程.解 圆M的标准方程为(x6)2+(y7)2=25,所以圆心M(6,7),半径为5. 1 分(1)由圆心N在直线x=6上，可设N(6 , y0).因为圆N与x轴相切，与圆M外切,所以0乎7,圆N的半径为V。，从而7y0=5+y0,解得y0=1. 4 分 因此，圆N的标准方程为(x6)2+(y1)2=1. 5 分(2)因为直线l / OA-4-0所以直线l的斜率为式二=2.2 0设直线l的方程为y=2x+m即 2x y+ m= 0,则圆心M到直线l的距离|2X67+m |m+ 5|d=尸=尸. 8 分55因为 BG= OA= 3+42 =2m，而 MC= d2+-2m 所以 25=+5,解得 m= 5或 m= 15.5M与圆N外切，求得圆心与半故直线l的方程为2xy+5=0或2xy15=0. 12 分规律方法1.(1)设出圆N的圆心N(6, y。，由条件圆径，从而确定圆的标准方程.(2)依据平行直线，设出直线 l的方程，根据点到直线的距离公式及勾股定理求解.2.求弦长常用的方法：弦长公式；半弦长、半径、弦心距构成直角三角形，利用 勾股定理求解(几何法).变式训练3在直角坐标系xOy中，以坐标原点O为圆心的圆与直线：x-V3y= 4相 切.(1)求圆O的方程；(2)若圆O上有两点 M N关于直线x+2y=0对称，且|MN = 23,求直线 MN勺方程.解(1)依题意，圆O的半径等于原点O到直线x43y=4的距离，4则 r = = 2.所以圆O的方程为x2+ y2= 4. 5 分(2)由题意，可设直线 MN勺方程为2xy+m= 0.| m|则圆心O到直线MN勺距离d = 2 7 分52由垂径分弦定理，得 ?+(娟)2=22,即m 士 木 10 分所以直线 MN的方程为2xy+，5=0或2xy 45=0. 12 分名师微博思想与方法1 .直线与圆的位置关系体现了圆的几何性质和代数方程的结合，解题时要抓住圆的几 何性质，重视数形结合思想方法的应用.2 .计算直线被圆截得的弦长的常用方法：(1)几何方法：运用弦心距(即圆心到直线的距离)、弦长的一半及半径构成直角三角形 计算.(2)代数方法：弦长公式 |AB = . 1 + k21 XA- Xb| =q1 + k2 L Xa+ Xb2 - 4XaXb.易错与防范1 .求圆的弦长问题，注意应用圆的性质解题，即用圆心与弦中点连线与弦垂直的性质,可以用勾股定理或斜率之积为“-1”列方程来简化运算.2 .过圆上一点作圆的切线有且只有一条；过圆外一点作圆的切线有且只有两条，若仅 求得一条，除了考虑运算过程是否正确外，还要考虑斜率不存在的情况，以防漏解.
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