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第第2 2讲空间点、线、面的位置关系讲空间点、线、面的位置关系考情分析考情分析总纲目录考点一 空间线面位置关系的判断考点二 空间平行、垂直关系的证明考点三 空间几何图形的翻折问题考点一 空间线面位置关系的判断空间线面位置关系判断的常用方法(1)根据空间线面平行、垂直关系的判定定理和性质定理解决;(2)必要时可以借助空间几何模型,如从长方体、四面体等模型中观察线面位置关系,并结合有关定理来进行判断.典型例题典型例题(1)(2017课标全国,6,5分)如图,在下列四个正方体中,A,B为正方体的两个顶点,M,N,Q为所在棱的中点,则在这四个正方体中,直线AB与平面MNQ不平行的是()(2)(2017课标全国,10,5分)在正方体ABCD-A1B1C1D1中,E为棱CD的中点,则()A.A1EDC1B.A1EBDC.A1EBC1D.A1EAC答案答案(1)A(2)C解析解析(1)B选项中,ABMQ,且AB 平面MNQ,MQ平面MNQ,则AB平面MNQ;C选项中,ABMQ,且AB 平面MNQ,MQ平面MNQ,则AB平面MNQ;D选项中,ABNQ,且AB 平面MNQ,NQ平面MNQ,则AB平面MNQ.故选A.(2)A1B1平面BCC1B1,BC1平面BCC1B1,A1B1BC1,又BC1B1C,且B1CA1B1=B1,BC1平面A1B1CD,又A1E平面A1B1CD,BC1A1E.故选C.判断空间线面位置关系应注意的问题解决空间点、线、面位置关系的判断题,主要是根据平面的基本性质、空间位置关系的各种情况,以及空间线面垂直、平行关系的判定定理和性质定理进行判断,必要时可以利用正方体、长方体、棱锥等几何模型辅助判断,同时要注意平面几何中的结论不能引用到立体几何中.方法归纳方法归纳跟踪集训跟踪集训1.(2017广东五校协作体第一次诊断考试)设m,n是两条不同的直线,是两个不同的平面,下列命题中正确的是()A.若,m,n,则mnB.若m,mn,n,则C.若mn,m,n,则D.若,m,n,则mn答案答案B若,m,n,则m与n相交、平行或异面,故A错误;若mn,m,n,则与有可能相交但不垂直,故C错误;若,m,n,则mn或m,n异面,故D错误.故选B.2.(2017四川成都第二次诊断性检测)已知m,n是空间中两条不同的直线,是两个不同的平面,且m,n,有下列命题:若,则mn;若,则m;若=l,且ml,nl,则;若=l,且ml,mn,则,其中真命题的个数是()A.0B.1C.2D.3答案答案B若,则mn或m,n异面,故不正确;若,根据平面与平面平行的性质,可得m,故正确;直线m,n同时垂直于公共棱,不能推出两个平面垂直,故不正确;若=l,且ml,mn,l与n相交则,若ln,则,不一定垂直.故选B.考点二 空间平行、垂直关系的证明1.直线、平面平行的判定及其性质(1)线面平行的判断定理:a ,b,aba.(2)线面平行的性质定理:a,a,=bab.(3)面面平行的判断定理:a,b,ab=P,a,b.(4)面面平行的性质定理:,=a,=bab.2.直线、平面垂直的判定及其性质(1)线面垂直的判定定理:m,n,mn=P,lm,lnl.(2)线面垂直的性质定理:a,bab.(3)面面垂直的判定定理:a,a.(4)面面垂直的性质定理:,=l,a,ala.典型例题典型例题(2017北京,18,14分)如图,在三棱锥P-ABC中,PAAB,PABC,ABBC,PA=AB=BC=2,D为线段AC的中点,E为线段PC上一点.(1)求证:PABD;(2)求证:平面BDE平面PAC;(3)当PA平面BDE时,求三棱锥E-BCD的体积.解析解析(1)证明:因为PAAB,PABC,ABBC=B,所以PA平面ABC.又因为BD平面ABC,所以PABD.(2)证明:因为AB=BC,D为AC中点,所以BDAC.由(1)知,PABD,PAAC=A,所以BD平面PAC.所以平面BDE平面PAC.(3)因为PA平面BDE,平面PAC平面BDE=DE,所以PADE.因为D为AC的中点,所以DE=PA=1,BD=DC=.由(1)知,PA平面ABC,所以DE平面ABC.所以三棱锥E-BCD的体积V=BDDCDE=.1221613线面平行及线面垂直的证明方法(1)要证线面平行,主要有两个途径:一是证已知直线与平面内的某直线平行;二是证过已知直线的平面与已知平面平行.在这里转化思想在平行关系上起着重要的作用,在寻找平行关系上,利用中位线、平行四边形等是非常常见的手段.(2)要证线面垂直,关键是在这个平面内能找出两条相交直线和已知直线垂直,即线线垂直线面垂直.结合图形还要注意一些隐含的垂直关系,如等腰三角形的三线合一、菱形的对角线以及经计算得出的垂直关系等.方法归纳方法归纳跟踪集训跟踪集训1.(2017江苏,15,14分)如图,在三棱锥A-BCD中,ABAD,BCBD,平面ABD平面BCD,点E,F(E与A,D不重合)分别在棱AD,BD上,且EFAD.求证:(1)EF平面ABC;(2)ADAC.证明证明(1)在平面ABD内,因为ABAD,EFAD,所以EFAB.又因为EF 平面ABC,AB平面ABC,所以EF平面ABC.(2)因为平面ABD平面BCD,平面ABD平面BCD=BD,BC平面BCD,BCBD,所以BC平面ABD.因为AD平面ABD,所以BCAD.又ABAD,BCAB=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以AD平面ABC.又因为AC平面ABC,所以ADAC.2.(2017河北石家庄质量检测(一)如图,四棱锥P-ABCD中,PA底面ABCD,底面ABCD为梯形,ADBC,CDBC,AD=2,AB=BC=3,PA=4,M为AD的中点,N为PC上一点,且PC=3PN.(1)求证:MN平面PAB;(2)求点M到平面PAN的距离.解析解析(1)证明:在平面PBC内作NHBC交PB于点H,连接AH,在PBC中,NHBC,且NH=BC=1,M为AD的中点,AM=AD=1.又ADBC,NHAM且NH=AM,四边形AMNH为平行四边形,MNAH,又AH平面PAB,MN 平面PAB,MN平面PAB.1312(2)连接AC,MC,PM,平面PAN即为平面PAC,设点M到平面PAC的距离为h.由题意可得CD=2,AC=2,SPAC=PAAC=4,SAMC=AMCD=,由VM-PAC=VP-AMC,23123122得SPACh=SAMCPA,即4h=4,h=,点M到平面PAN的距离为.1313326363考点三 空间几何图形的翻折问题平面图形折叠问题的求解方法(1)解决与折叠有关的问题的关键是弄清折叠前后的变化量和不变量,一般情况下,线段的长度是不变量,而位置关系往往会发生变化,抓住不变量是解决问题的突破口.(2)在解决问题时,要综合考虑折叠前后的图形,既要分析折叠后的图形,也要分析折叠前的图形.典型例题典型例题(2016课标全国,19,12分)如图,菱形ABCD的对角线AC与BD交于点O,点E,F分别在AD,CD上,AE=CF,EF交BD于点H.将DEF沿EF折到DEF的位置.(1)证明:ACHD;(2)若AB=5,AC=6,AE=,OD=2,求五棱锥D-ABCFE的体积.542解析解析(1)证明:由已知得ACBD,AD=CD.又由AE=CF得=,故ACEF.由此得EFHD,EFHD,所以ACHD.AEADCFCD(2)由EFAC得=.由AB=5,AC=6得DO=BO=4.所以OH=1,DH=DH=3.于是OD2+OH2=(2)2+12=9=DH2,故ODOH.由(1)知ACHD,又ACBD,BDHD=H,所以AC平面BHD,于是ACOD.又由ODOH,ACOH=O,所以OD平面ABC.又由=得EF=.五边形ABCFE的面积S=68-3=.所以五棱锥D-ABCFE的体积V=2=.OHDOAEAD1422ABAO2EFACDHDO9212129269413694223 22方法归纳方法归纳立体几何中的翻折问题通常有一定的难度,在解题时,要注意翻折过程中哪些量发生了变化,哪些量没有发生变化,在本题中,原菱形ABCD的性质(即对角线互相垂直)要充分利用,还要通过计算,借助勾股定理的逆定理证明垂直,这就要求必须弄清翻折前后线段之间的关系,这也是破解此题的关键.跟踪集训跟踪集训如图1,在直角梯形ABCD中,ADC=90,CDAB,AD=CD=AB=2,点E为AC中点,将ADC沿AC折起,使平面ADC平面ABC,得到几何体D-ABC,如图2所示.(1)在CD上找一点F,使AD平面EFB;12(2)求点C到平面ABD的距离.1.解析(1)如图,取CD的中点F,连接EF,BF,在ACD中,E、F分别为AC,CD的中点,EF为ACD的中位线,ADEF,EF平面EFB,AD 平面EFB,AD平面EFB.(2)设点C到平面ABD的距离为h,平面ADC平面ABC,且BCAC(AC=2,BC=2,AB=4=),BC平面ADC,BCAD,又ADCD,CDBC=C,AD平面BCD,ADBD,又AD=CD=AB=2,BD=2,SABD=ADBD=2.三棱锥B-ACD的高BC=2,2222ACBC12224231232SACD=ADCD=2,又VC-ABD=VB-ADC,即2h=22,解得h=.即点C到平面ABD的距离为.121331322 632 63(2)求三棱锥P-MAC的体积. (2017陕西宝鸡质量检测(一)如图,在四棱锥A-PCBM中,四边形PCBM是直角梯形,PCB=90,PMBC,PM=1,BC=2,且AC=1,ACB=120,ABPC,AM=2.(1)求证:平面PAC平面ABC;随堂检测随堂检测解析解析(1)证明:由PCB=90得PCCB.又ABPC,ABBC=B,AB平面ABC,BC平面ABC,所以PC平面ABC.又PC平面PAC,所以平面PAC平面ABC.(2)在平面PCBM内,过点M作MNBC于点N,连接AN,则CN=PM=1,又PMBC,所以四边形PMNC为平行四边形,所以PCMN且PC=MN,由(1)得PC平面ABC,所以MN平面ABC,在ACN中,AN2=AC2+CN2-2ACCNcos120=3,即AN=.又AM=2,所以在RtAMN中,MN=1,所以PC=MN=1.在平面ABC内,过点A作AHBC交BC的延长线于点H,则AH平面PMC,因为AC=CN=1,ACB=120,所以ANC=30.所以在RtAHN中,AH=AN=,31232而SPMC=11=,所以VP-MAC=VA-PMC=.1212131232312
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