高等数学方明亮31微分中值定理课件

返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-231高等数学多媒体课件牛顿（牛顿（Newton）莱布尼兹（莱布尼兹（Leibniz）返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-232第三章第三章 微分中值定理与导数的应用微分中值定理与导数的应用 第三节第三节 洛必达法则洛必达法则 第二节第二节 泰勒泰勒 ( Taylor )公式公式 第四节第四节 函数的单调性与曲线的凹凸性函数的单调性与曲线的凹凸性第五节第五节 函数的极值与最大值、最小值函数的极值与最大值、最小值第一节第一节 微分中值定理微分中值定理第六节第六节 函数图形的描绘函数图形的描绘第七节第七节 曲率曲率返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-233第一节第一节 微分中值定理微分中值定理 第三章第三章 二、微分中值定理二、微分中值定理一、函数的极值一、函数的极值三、小结与思考题三、小结与思考题（The Mean Value Theorem）罗尔中值定理罗尔中值定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-234一、函数的极值一、函数的极值（Extremums of Function）oxyab)(xfy 1x2x3x4x5x6xoxyoxy0 x0 x返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-235 注意：注意：函数的极大值、极小值与最大值、最小值的区函数的极大值、极小值与最大值、最小值的区别函数的极值是对一点的邻域来说的，是别函数的极值是对一点的邻域来说的，是局部性概念局部性概念；而最值（最大值、最小值的简称）是而最值（最大值、最小值的简称）是整体性概念整体性概念 返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-236费马引理费马引理（Fermat Lemma）,)(0有定义在x且且 )(0 xf 存在存在, )()(0 xfxf)(或0)(0 xf证证: 设设, )()(, )(0000 xfxxfxxx则则)(0 xf xxfxxfx)()(lim000)0(x)(0 xf)0(x)(0 xf000)(0 xfxyo0 x)(xfy 证毕证毕返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-237二、微分中值定理二、微分中值定理1. 罗尔（罗尔（Rolle）定理）定理)(xfy 满足满足:(1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续(2) 在区间在区间 (a , b) 内可导内可导(3) f ( a ) = f ( b ),使使( )0.fxyoab)(xfy 证证:，上连续在因,)(baxf故在故在 a , b 上取得最大值上取得最大值 M 和最小值和最小值 m .在在( a , b ) 内至少存在一点内至少存在一点返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-238若若 M = m , 则则, ,)(baxMxf因此因此( , ),a b ( )0.f若若 M m , 则则 M 和和 m 中至少有一个与端点值不等中至少有一个与端点值不等,不妨设不妨设 , )(afM 则至少存在一点则至少存在一点, ),(ba使使,)(Mf( )0.f则由费马引理得则由费马引理得 注意注意:定理条件条件不全具备定理条件条件不全具备, 结论不一定成立结论不一定成立. 例如例如,1,010,)(xxxxfx1yo返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-239 1 ,0)(xxxf 1 , 1)(xxxfx1yo1x1yo提示：提示：( )( )( )xffxf x返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-23100155 xx, 15)(5xxxf. 3) 1 (, 1)0(ff, 0)(0 xf, ) 1,0(011xxx) 1(5)(4xxf),1,0(, 0 x有且仅有一个小于有且仅有一个小于1 的的正实根正实根 .证证: 1) 存在性存在性 .则则)(xf在在 0 , 1 连续连续 , 且且由介值定理知存在由介值定理知存在, ) 1 ,0(0 x使使即方程有小于即方程有小于 1 的正根的正根.0 x2) 唯一性唯一性 .假设另有假设另有, 0)(1xf使在以)(xf10, xx为端点的区间满足罗尔定理条件为端点的区间满足罗尔定理条件 ,之间在10, xx至少存在一点至少存在一点,. 0)(f使但但矛盾矛盾, 故假设不真故假设不真!设设例例2 证明方程证明方程（补充题）（补充题）返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-23112. 拉格朗日（拉格朗日（Lagrange）中值定理）中值定理( ) (1) 在区间在区间 a , b 上连续上连续)(xfy 满足满足:(2) 在区间在区间 ( a , b ) 内可导内可导至少存在一点至少存在一点, ),(ba使使( )( )( ).f bf afbaxyoab)(xfy 思路思路: 利用利用逆向思维逆向思维找出一个满足罗尔定理条件的函数找出一个满足罗尔定理条件的函数作辅助函数作辅助函数显然显然 ,)(x在在 a , b 上连续上连续 , 在在 ( a , b ) 内可导内可导, 且且证证: 问题转化为证问题转化为证( )x)(xf( )( )f bf axba( )a由罗尔定理知至少存在一点由罗尔定理知至少存在一点, ),(ba,0)(使即定理结论成立即定理结论成立 .( ),babbfaafb)()(0)()()(abafbff证毕证毕返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2312推论推论: 若函数若函数在区间在区间 I 上满足上满足,0)( xf则则)(xf在在 I 上必为常数上必为常数.)(xf证证: 在在 I 上任取两点上任取两点, )(,2121xxxx上用拉在,21xx日中值公式日中值公式 , 得得0)()(12xfxf)(12xxf)(21xx)()(12xfxf由由 的任意性知的任意性知, 21,xx)(xf在在 I 上为常数上为常数 .) 10()(0 xxxfy,00 xxbxa令令则则拉格朗日中值定理的拉格朗日中值定理的有限增量形式有限增量形式:返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2313. 1, 1,2arccosarcsinxxx证证: 设设,arccosarcsin)(xxxf上则在) 1, 1()(xf由推论可知由推论可知Cxxxfarccosarcsin)( (常数常数) 令令 x = 0 , 得得.2C又又,2) 1(f故所证等式在定义域故所证等式在定义域 上成立上成立. 1, 1自证自证:),(x,2cotarcarctanxx211x211x0经验经验: 欲证欲证Ix时时,)(0Cxf只需证在只需证在 I 上上, 0)( xf,0Ix 且.)(00Cxf使例例3 证明等式证明等式返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2314证证: 设设( )ln(1),f tt上满足拉格朗日在则,0)(xtf中值定理条件中值定理条件,即即因为因为故故. )0()1ln(1xxxxx)0()(fxf)1ln(xxx0,11x xx1x)0()1ln(1xxxxxxxf0, )0)(因此应有因此应有例例4 证明不等式证明不等式返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-23153、柯西、柯西(Cauchy)中值定理中值定理0)()()()()()(fFaFbFafbf)(分析分析:)(xf及(1) 在闭区间 a , b 上连续(2) 在开区间 ( a , b ) 内可导(3)在开区间 ( a , b ) 内至少存在一点, ),(ba使( )( )( ).( )( )( )f bf afF bF aF满足 :)(xF0)( xF)()(aFbF)(abFba0要证)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2316)()()()()()()(xfxFaFbFafbfx)()()()()()()()(baFbFbFafaFbfa,),(,)(内可导在上连续在则babax且且, ),(ba使使, 0)(即即由罗尔定理知由罗尔定理知, 至少存在一点至少存在一点( )( )( ).( )( )( )f bf afF bF aF思考思考: 柯西定理的下述证法对吗柯西定理的下述证法对吗 ?),(, )()()(baabfafbf( )( )( )(),( , )F bF aFbaa b两个两个 不不一定相同一定相同错错! !上面两式相比即得结论上面两式相比即得结论. 证证: 作辅助函数作辅助函数返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2317解题思路：解题思路：222(3)( )( )( )af bf aababfb23322( )( )( )( )(3) aabbf bf af bf afbbaa返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2318内容小结内容小结1. 微分中值定理的条件、结论及关系微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理柯西中值定理柯西中值定理( )( )f bf a( )F xx( )( )f bf a( )F xx2. 微分中值定理的应用微分中值定理的应用(1) 证明恒等式证明恒等式(2) 证明不等式证明不等式(3) 证明有关中值问题的结论证明有关中值问题的结论关键关键: 利用逆向思维利用逆向思维设辅助函数设辅助函数费马引理费马引理返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2319课后练习课后练习习题习题3-1 3；5；7；8；12；14思考与练习思考与练习4412 34121. 填空题填空题1) 函数函数4)(xxf在区间在区间 1, 2 上满足拉格朗日定理上满足拉格朗日定理条件条件, 则中值则中值._2) 设设有有个根个根 , 它们分别在区间它们分别在区间153430)( xf)4, 3(, )2, 1 (, )3,2(上上., )4)(3)(2)(1()(xxxxxf方程方程返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2320,0)(Cxf且在且在),0(内可导内可导, 证明至少存证明至少存在一点在一点, ),0(使使.cot)()(ff提示提示: 由结论可知由结论可知, 只需证只需证0cos)(sin)(ff即即0sin)(xxxf验证验证)(xF在在,0上满足罗尔定理条件上满足罗尔定理条件.设设xxfxFsin)()(2. 设设返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2321)(xf可导可导, 试证在其两个零点间一定有试证在其两个零点间一定有)()(xfxf的零点的零点. 提示提示: 设设,0)()(2121xxxfxf欲证欲证:, ),(21xx使使0)()(ff只要证只要证0)()(ffee亦即亦即0 )(xxxfe作辅助函数作辅助函数( )( ) ,xF xe f x验证验证)(xF在在,21xx上满足上满足罗尔定理条件罗尔定理条件.3. 若若返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-232211lncos1lnln1lnsinlnsinee), 1(,)()() 1 ()() 1 ()(eFfFeFfef), 1(e使使.lncos1sinlncos1sin 证证: 法法1 用柯西中值定理用柯西中值定理 .( )sinln ,( )lnf xxF xx则则 f (x) , F(x) 在在 1 , e 上满足柯西中值定理条件上满足柯西中值定理条件, 令令因此因此 11lncoslncos1sin即即分析分析:4. 试证至少存在一点试证至少存在一点返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2323), 1(e使使.lncos1sin法法2 令令( )sinlnf xx则则 f (x) 在在 1 , e 上满足罗尔中值定理条件上满足罗尔中值定理条件, ), 1 ( e使使0)(fxlncos)(xf1sinx1lncos1sin 因此存在因此存在x1sin1 ln x4. 试证至少存在一点试证至少存在一点返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2324), 1(e使使.lncos1sin法法3 令令( )coslnsin1f xx则则 f (x) 在在 1 , e 上满足零点定理条件上满足零点定理条件,(1)cosln1 sin1cos0sin10 ;f由于由于4. 试证至少存在一点试证至少存在一点(e)coslnesin1cos1 sin10f故由零点定理即证！故由零点定理即证！返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2325考研真题考研真题提示：提示：返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2326法国数学家, 他是一位律师, 数学只是他的业余爱好. 他兴趣广泛, 博览群书并善于思考, 在数学上有许多重大贡献. 他特别爱好数论, 他提出的费马大定理:2,nnnnxyz当时 方程无整数解至今尚未得到普遍的证明. 他还是微积分学的先驱 ,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中 提炼出来的.费马费马(1601 1665)返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2327法国数学家.他在方程论, 解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献, 近百余年来, 数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作, 他是对分析数学 产生全面影响的数学家之一.拉格朗日拉格朗日 (1736 1813)返回返回上页上页下页下页目录目录2022-4-2328法国数学家, 他对数学的贡献主要集中在微积分学,柯 西全集共有 27 卷. 其中最重要的的是为巴黎综合学 校编写的分析教程, 无穷小分析概论, 微积分在几何上的应用 等, 有思想有创建, 响广泛而深远 .对数学的影他是经典分析的奠人之一, 他为微积分所奠定的基础推动了分析的发展. 复变函数和微分方程方面 . 一生发表论文800余篇, 著书 7 本 , 柯西柯西(1789 1857)