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9.6双曲线基础知识自主学习课时作业题型分类深度剖析内容索引基础知识基础知识自主学习自主学习1.双曲线定义双曲线定义平面内与两个定点F1，F2的 等于常数(小于|F1F2|)的点的轨迹叫做双曲线.这两个定点叫做 ，两焦点间的距离叫做.集合PM|MF1|MF2|2a，|F1F2|2c，其中a，c为常数且a0，c0.(1)当 时，P点的轨迹是双曲线；(2)当 时，P点的轨迹是两条射线；(3)当 时，P点不存在.知识梳理距离的差的绝对值双曲线的焦点双曲线的焦距2a|F1F2|2.双曲线的标准方程和几何性质双曲线的标准方程和几何性质标准方程 (a0，b0) (a0，b0)图形性质范围 对称性对称轴： 对称中心：xa或xa，yRxR，ya或ya坐标轴原点性质顶点A1(a,0)，A2(a,0)A1(0，a)，A2(0，a)渐近线离心率e，e ，其中c实虚轴线段A1A2叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2| ；线段B1B2叫做双曲线的虚轴，它的长|B1B2| ；a叫做双曲线的实半轴长，b叫做双曲线的虚半轴长a、b、c的关系c2 (ca0，cb0)(1，)2a2ba2b2巧设双曲线方程知识拓展知识拓展判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)(1)平面内到点F1(0,4)，F2(0，4)距离之差的绝对值等于8的点的轨迹是双曲线.()(2)方程 (mn0)表示焦点在x轴上的双曲线.()思考辨析思考辨析 1.(教材改编)若双曲线 (a0，b0)的焦点到其渐近线的距离等于实轴长，则该双曲线的离心率为考点自测答案解析由题意得b2a，又a2b2c2，5a2c2. 2.等轴双曲线C的中心在原点，焦点在x轴上，C与抛物线y216x的准线交于A，B两点，|AB|4 ，则C的实轴长为答案解析抛物线y216x的准线为x4，a2，2a4.C的实轴长为4. 3.(2015安徽)下列双曲线中，焦点在y轴上且渐近线方程为y2x的是答案解析由双曲线性质知A、B项双曲线焦点在x轴上，不合题意；C、D项双曲线焦点均在y轴上，但D项渐近线为y x，只有C符合，故选C.答案解析答案解析双曲线的一个顶点坐标为(2,0)，题型分类题型分类深度剖析深度剖析例例1已知圆C1：(x3)2y21和圆C2：(x3)2y29，动圆M同时与圆C1及圆C2相外切，则动圆圆心M的轨迹方程为_.题型一双曲线的定义及标准方程题型一双曲线的定义及标准方程命题点命题点1利用定义求轨迹方程利用定义求轨迹方程答 案解析几何画板展示几何画板展示如图所示，设动圆M与圆C1及圆C2分别外切于A和B.根据两圆外切的条件，得|MC1|AC1|MA|，|MC2|BC2|MB|，因为|MA|MB|，所以|MC1|AC1|MC2|BC2|，即|MC2|MC1|BC2|AC1|2，所以点M到两定点C1、C2的距离的差是常数且小于|C1C2|6.又根据双曲线的定义，得动点M的轨迹为双曲线的左支(点M与C2的距离大，与C1的距离小)，其中a1，c3，则b28.命题点命题点2利用待定系数法求双曲线方程利用待定系数法求双曲线方程解答设双曲线的标准方程为b6，c10，a8.(2)焦距为26，且经过点M(0,12)；解答双曲线经过点M(0,12)，M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在y轴上，且a12.又2c26，c13，b2c2a225.设双曲线方程为mx2ny21(mn0).解答命题点命题点3利用定义解决焦点三角形问题利用定义解决焦点三角形问题例例3已知F1，F2为双曲线C：x2y22的左，右焦点，点P在C上，|PF1|2|PF2|，则cos F1PF2_.答案解析由双曲线的定义有|PF1|PF2|引申引申探究探究1.本例中将条件“|PF1|2|PF2|”改为“F1PF260”，则F1PF2的面积是多少？解答不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2 ，在F1PF2中，由余弦定理，得12F PFs不妨设点P在双曲线的右支上，则|PF1|PF2|2a2 ，解答所以在F1PF2中，有|PF1|2|PF2|2|F1F2|2，即|PF1|2|PF2|216，所以|PF1|PF2|4，12F PFs思维升华(1)利用双曲线的定义判定平面内动点与两定点的轨迹是否为双曲线，进而根据要求可求出双曲线方程；(2)在“焦点三角形”中，常利用正弦定理、余弦定理，经常结合|PF1|PF2|2a，运用平方的方法，建立与|PF1|PF2|的联系.(3)待定系数法求双曲线方程具体过程中先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的形式，然后再根据a，b，c，e及渐近线之间的关系，求出a，b的值，如果已知双曲线的渐近线方程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为 (0)，再由条件求出的值即可. 跟踪训练跟踪训练1 (1)已知F1，F2为双曲线 的左，右焦点，P(3,1)为双曲线内一点，点A在双曲线上，则|AP|AF2|的最小值为答案解析几何画板展示几何画板展示由题意知，|AP|AF2|AP|AF1|2a，要求|AP|AF2|的最小值，只需求|AP|AF1|的最小值，当A，P，F1三点共线时，取得最小值， 答案解析不妨设P为双曲线右支上一点，|PF1|r1，|PF2|r2.根据双曲线的定义，得r1r22a，题型二双曲线的几何性质题型二双曲线的几何性质 答案解析A.mn且e1e21 B.mn且e1e21C.mn且e1e21 D.mn且e1e21由题意可得m21n21，即m2n22，又m0，n0，故mn.(2)(2015山东)在平面直角坐标系xOy中，双曲线C1： (a0，b0)的渐近线与抛物线C2：x22py(p0)交于点O，A，B.若OAB的垂心为C2的焦点，则C1的离心率为_.答案解析OAB的垂心为F，AFOB，kAFkOB1，思维升华 答案解析题型三直线与双曲线的综合问题题型三直线与双曲线的综合问题例例5(2016兰州模拟)已知椭圆C1的方程为 y21，双曲线C2的左，右焦点分别是C1的左，右顶点，而C2的左，右顶点分别是C1的左，右焦点.(1)求双曲线C2的方程；解答则a2413，c24，再由a2b2c2，得b21.解答由直线l与双曲线C2交于不同的两点，得设A(x1，y1)，B(x2，y2)，思维升华(1)研究直线与双曲线位置关系问题的通法：将直线方程代入双曲线方程，消元，得关于x或y的一元二次方程.当二次项系数等于0时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近线；当二次项系数不等于0时，用判别式来判定.(2)用“点差法”可以解决弦中点和弦斜率的关系问题，但需要检验.跟踪训练跟踪训练3若双曲线E： y21(a0)的离心率等于 ，直线ykx1与双曲线E的右支交于A，B两点.(1)求k的取值范围；解答故双曲线E的方程为x2y21.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，得(1k2)x22kx20.(*)直线与双曲线右支交于A，B两点，解析整理得28k455k2250，k2 或k2 ，x1x24 ，y1y2k(x1x2)28.点C是双曲线上一点. 直线与圆锥曲线的交点现场纠错系列现场纠错系列12(1)“点差法”解决直线与圆锥曲线的交点问题，要考虑变形的条件.(2)“判别式0”是判断直线与圆锥曲线是否有公共点的通用方法.错解展示现场纠错纠错心得典例典例已知双曲线x2 1，过点P(1,1)能否作一条直线l，与双曲线交于A，B两点，且点P是线段AB的中点？返回解解设点A(x1，y1)，B(x2，y2)在双曲线上，且线段AB的中点为(x0，y0)，若直线l的斜率不存在，显然不符合题意.设经过点P的直线l的方程为y1k(x1)，即ykx1k.得(2k2)x22k(1k)x(1k)220(2k20).当k2时，方程可化为2x24x30.162480，解得m2n3m2，由双曲线性质，知c2(m2n)(3m2n)4m2(其中c是半焦距)，焦距2c22|m|4，解得|m|1，1ne4，e(e33e31)0，e(e1)2(e2)1，e(1,2)，故选B.123456789101112137.(2016北京)已知双曲线 (a0，b0)的一条渐近线为2xy0，一个焦点为( ，0)，则a_；b_.1234567891011121312由2xy0，得y2x，解得a1，b2.答案解析123456789101112138.(2016浙江)设双曲线x2 1的左，右焦点分别为F1，F2，若点P在双曲线上，且F1PF2为锐角三角形，则|PF1|PF2|的取值范围是_.答案解析如图，由已知可得a1，b ，c2，从而|F1F2|4，由对称性不妨设P在右支上，设|PF2|m，则|PF1|m2am2，由于PF1F2为锐角三角形，解得1 m3，又|PF1|PF2|2m2，12345678910111213123456789101112139.已知双曲线 (a0，b0)的左，右焦点分别为F1，F2，点P在双曲线的右支上，且|PF1|4|PF2|，则此双曲线的离心率e的最大值为_.答案解析要求e的最大值，即求cosF1PF2的最小值，由定义，知|PF1|PF2|2a.又|PF1|4|PF2|，在PF1F2中，由余弦定理，123456789101112131234567891011121310.(2015课标全国)已知F是双曲线C：x2 1的右焦点，P是C的左支上一点，A(0,6 ).当APF的周长最小时，该三角形的面积为_.答案解析设左焦点为F1，|PF|PF1|2a2，|PF|2|PF1|，APF的周长为|AF|AP|PF|AF|AP|2|PF1|，APF周长最小即为|AP|PF1|最小，1234567891011121311.中心在原点，焦点在x轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点F1，F2，且|F1F2|2 ，椭圆的长半轴与双曲线实半轴之差为4，离心率之比为37.(1)求这两曲线方程；12345678910111213解答由已知c ，设椭圆长半轴长，短半轴长分别为a，b，双曲线实半轴长，虚半轴长分别为m，n，解得a7，m3.b6，n2.12345678910111213(2)若P为这两曲线的一个交点，求cosF1PF2的值.解答不妨设F1，F2分别为左，右焦点，P是第一象限的一个交点，则|PF1|PF2|14，|PF1|PF2|6，|PF1|10，|PF2|4.又|F1F2|2 ，123456789101112131234567891011121312.(2016湖北部分重点中学第一次联考)在面积为9的ABC中， 现建立以A点为坐标原点，以BAC的平分线所在直线为x轴的平面直角坐标系，如图所示 .(1)求AB，AC所在直线的方程；解答设CAx，则由tanBACtan 2得tan 2，AC所在直线方程为y2x，AB所在直线方程为y2x.(2)求以AB，AC所在直线为渐近线且过点D的双曲线的方程；解答12345678910111213设所求双曲线的方程为4x2y2(0)，C(x1，y1)，B(x2，y2)(x10，x20).123456789101112132x1x29，代入，12345678910111213(3)过D分别作AB，AC所在直线的垂线DF，DE(E，F为垂足)，求 的值.解答123456789101112131234567891011121312345678910111213解答c2，c2a2b2，4a23a2，a21，b23，(2)设经过焦点F2的直线l的一个法向量为(m,1)，当直线l与双曲线C的右支交于不同的两点A，B时，求实数m的取值范围，并证明AB中点M在曲线3(x1)2y23上；解答12345678910111213l：m(x2)y0，得(3m2)x24m2x4m230.由0，得4m4(3m2)(4m23)0，12m293m20，即m210恒成立.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，1234567891011121312345678910111213M在曲线3(x1)2y23上.12345678910111213(3)设(2)中直线l与双曲线C的右支交于A，B两点，问是否存在实数m，使得AOB为锐角？若存在，请求出m的取值范围；若不存在，请说明理由.解答12345678910111213设A(x1，y1)，B(x2，y2)，假设存在实数m，使AOB为锐角，x1x2y1y20.y1y2(mx12m)(mx22m)m2x1x22m2(x1x2)4m2，(1m2)x1x22m2(x1x2)4m20，(1m2)(4m23)8m44m2(m23)0，与m23矛盾，不存在实数m，使得AOB为锐角.12345678910111213
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