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第第2 2节空间几何体的表面积与体积节空间几何体的表面积与体积最新考纲最新考纲了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式了解球、柱体、锥体、台体的表面积和体积的计算公式. . 考点专项突破考点专项突破知识链条完善知识链条完善经典考题研析经典考题研析知识链条完善知识链条完善 把散落的知识连起来把散落的知识连起来 【教材导读【教材导读】 1.1.圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是如何导出的圆柱、圆锥、圆台的侧面积公式是如何导出的? ?提示提示: :将其侧面展开利用平面图形面积公式求解将其侧面展开利用平面图形面积公式求解. .2.2.将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平分别得到什么将圆柱、圆锥、圆台的侧面沿任意一条母线剪开铺平分别得到什么图形图形? ?提示提示: :矩形、扇形、扇环矩形、扇形、扇环. .知识梳理知识梳理1.1.圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图及侧面积公式rl rl (r+r)l (r+r)l 2.2.空间几何体的表面积与体积公式空间几何体的表面积与体积公式4R4R2 2 Sh Sh 【拓展提升】【拓展提升】 1.1.正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球正方体的外接球、内切球及与各条棱相切的球2.2.正四面体的外接球与内切球正四面体的外接球与内切球( (正四面体可以看作是正方体的一部分正四面体可以看作是正方体的一部分) )(2)(2)内切球内切球: :球心是正方体中心球心是正方体中心; ;半径半径r= (ar= (a为正方体的棱长为正方体的棱长););2a22(3)(3)与各条棱都相切的球与各条棱都相切的球: :球心是正方体中心球心是正方体中心; ;半径半径r= a(ar= a(a为正方体的为正方体的棱长棱长) )对点自测对点自测1.1.圆柱的侧面展开图是边长为圆柱的侧面展开图是边长为66和和44的矩形的矩形, ,则圆柱的表面积为则圆柱的表面积为( ( ) )(A)6(4+3)(A)6(4+3)(B)8(3+1)(B)8(3+1)(C)6(4+3)(C)6(4+3)或或8(3+1)8(3+1)(D)6(4+1)(D)6(4+1)或或8(3+2)8(3+2)C C 解析解析: :分两种情况分两种情况: :以长为以长为66的边为高时的边为高时,4,4为圆柱底面周长为圆柱底面周长, ,则则2r=4,r=2,2r=4,r=2,所以所以S S底底=4,S=4,S侧侧=6=64=244=242 2,S,S表表=2S=2S底底+S+S侧侧=8+24=8+242 2=8(3+1);=8(3+1);以长为以长为44的边为高时的边为高时,6,6为圆柱底面周长为圆柱底面周长, ,则则2r=6,r=3.2r=6,r=3.所以所以S S底底=9,S=9,S表表=2S=2S底底+S+S侧侧=18+24=18+242 2=6(4+3).=6(4+3).故选故选C.C.2.(2.(20162016四川成都七中实验学校零诊四川成都七中实验学校零诊) )某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示, ,则该则该几何体的表面积是几何体的表面积是( ( ) )(A)24+4(A)24+4(B)16+6(B)16+6(C)24+2(C)24+2(D)16+4(D)16+4C C 解析解析: :由三视图可知该几何体是由两个半径为由三视图可知该几何体是由两个半径为1 1的半球和一个棱长为的半球和一个棱长为2 2的正方体组合而成的的正方体组合而成的, ,表面积为表面积为S=4+2S=4+22 26-2=24+2,6-2=24+2,故选故选C.C.C C 答案答案: :885. (5. (20162016海淀模拟海淀模拟) )已知某四棱锥已知某四棱锥, ,底面是边长为底面是边长为2 2的正方形的正方形, ,且俯视图且俯视图如图所示如图所示. .若该四棱锥的侧视图为直角三角形若该四棱锥的侧视图为直角三角形, ,则它的体积为则它的体积为.考点专项突破考点专项突破 在讲练中理解知识在讲练中理解知识 考点一考点一 空间几何体的表面积空间几何体的表面积【例【例1 1】 ( (20152015福建卷福建卷) )某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示, ,则该几何体的表面则该几何体的表面积等于积等于( () ) (1) (1)求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面求表面积问题的思路是将立体几何问题转化为平面几何问题几何问题, ,即空间图形平面化即空间图形平面化, ,这是解决立体几何的主要出发点这是解决立体几何的主要出发点. .(2)(2)求不规则几何体的表面积时求不规则几何体的表面积时, ,通常将所给几何体分割成基本的柱、通常将所给几何体分割成基本的柱、锥、台体锥、台体, ,先求这些柱、锥、台体的表面积先求这些柱、锥、台体的表面积, ,再通过求和或作差求得几再通过求和或作差求得几何体的表面积何体的表面积. .注意衔接部分的处理注意衔接部分的处理. .反思归纳反思归纳 【即时训练】【即时训练】 ( (20162016莱芜一中模拟莱芜一中模拟) )某几何体的三视图如图所示某几何体的三视图如图所示, ,则它的则它的侧面积为侧面积为( () )考点二考点二 几何体的体积几何体的体积【例【例2 2】 ( (20162016山东卷山东卷) )一个由半球和四棱锥组成的几何体一个由半球和四棱锥组成的几何体, ,其三视图其三视图如图所示如图所示. .则该几何体的体积为则该几何体的体积为( () )【即时训练】【即时训练】 (1)(1)(20162016浙江瑞安模拟浙江瑞安模拟) )已知一个空间几何体的三视图已知一个空间几何体的三视图如图所示如图所示, ,根据图中标出的尺寸根据图中标出的尺寸, ,可得这个几何体的体积是可得这个几何体的体积是( () )(A)2(A)2(B)4(B)4(C)6(C)6(D)12(D)12(2)(2)(20162016德州一中模拟德州一中模拟) )一个几何体的三视图如图所示一个几何体的三视图如图所示, ,其中俯视图与其中俯视图与侧侧( (左左) )视图均为半径是视图均为半径是2 2的圆的圆, ,则这个几何体的体积是则这个几何体的体积是( () )(A)16(A)16 (B)14(B)14(C)12(C)12 (D)8(D)8考点三考点三 与球有关的切、接问题与球有关的切、接问题答案答案: :(1)C (1)C 处理处理“切切”“”“接接”问题问题(1)“(1)“切切”的处理的处理解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体解决与球的内切问题主要是指球内切多面体与旋转体, ,解答时首先要解答时首先要找准切点找准切点, ,通过作截面来解决通过作截面来解决. .如果内切的是多面体如果内切的是多面体, ,则作截面时主要则作截面时主要抓住多面体过球心的对角面来作抓住多面体过球心的对角面来作. .(2)“(2)“接接”的处理的处理把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题把一个多面体的几个顶点放在球面上即为球的外接问题. .解决这类问解决这类问题的关键是抓住外接的特点题的关键是抓住外接的特点, ,即球心到多面体的顶点的距离等于球的即球心到多面体的顶点的距离等于球的半径半径. .反思归纳反思归纳 【即时训练】【即时训练】 ( (20162016江西九江一模江西九江一模) )已知矩形已知矩形ABCDABCD的顶点都在半径为的顶点都在半径为2 2的球的球O O的球面上的球面上, ,且且AB=3,BC= ,AB=3,BC= ,过点过点D D作作DEDE垂直于平面垂直于平面ABCD,ABCD,交球交球O O于于E,E,则棱锥则棱锥E E- -ABCDABCD的体积为的体积为.3考点四考点四 折叠与展开问题折叠与展开问题【例【例4 4】 如图如图, ,在在ABCABC中中,ABC=45,ABC=45,BAC=90,BAC=90,AD,AD是是BCBC边上的高边上的高, ,沿沿ADAD把把ABDABD折起折起, ,使使BDC=90BDC=90. .若若BD=1,BD=1,求三棱锥求三棱锥D D- -ABCABC的表面积的表面积. . (1) (1)求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择求几何体表面上两点间的最短距离的常用方法是选择恰当的母线或棱将几何体展开恰当的母线或棱将几何体展开, ,转化为求平面上两点间的最短距离转化为求平面上两点间的最短距离. .(2)(2)解决折叠问题的技巧解决折叠问题的技巧解决折叠问题时解决折叠问题时, ,要分清折叠前后两图形中要分清折叠前后两图形中( (折叠前的平面图形和折叠折叠前的平面图形和折叠后的空间图形后的空间图形) )元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化元素间的位置关系和数量关系哪些发生了变化, ,哪些没哪些没有发生变化有发生变化. .反思归纳反思归纳 【即时训练】【即时训练】导学号导学号 18702310 18702310 如图如图, ,三棱锥三棱锥S S- -ABCABC中中,SA=AB=AC=2,SA=AB=AC=2,ASB=BSC=CSA=30ASB=BSC=CSA=30,M,N,M,N分别为分别为SB,SCSB,SC上的点上的点, ,则则AMNAMN周长的最周长的最小值为小值为.解析解析: :展开三棱锥的侧面展开三棱锥的侧面, ,如图所示如图所示. .因为原三棱锥中因为原三棱锥中ASB=BSC=CSA=30ASB=BSC=CSA=30,SA=AB=AC=2,SA=AB=AC=2,所以所以ASAASA是等腰直角三角形是等腰直角三角形, , 备选例题备选例题【例【例1 1】 ( (20142014全国全国卷卷) ) 如图如图, ,网格纸上正方形小格的边长为网格纸上正方形小格的边长为1(1(表表示示1 cm),1 cm),图中粗线画出的是某零件的三视图图中粗线画出的是某零件的三视图, ,该零件由一个底面半径该零件由一个底面半径为为3 cm,3 cm,高为高为6 cm6 cm的圆柱体毛坯切削得到的圆柱体毛坯切削得到, ,则切削掉部分的体积与原来则切削掉部分的体积与原来毛坯体积的比值为毛坯体积的比值为( () ) 【例【例2 2】 ( (20162016邢台摸底考试邢台摸底考试) )如图如图, ,网格纸的小正方形的边长是网格纸的小正方形的边长是1,1,在在其上用粗线画出了某多面体的三视图其上用粗线画出了某多面体的三视图, ,则这个多面体外接球的表面积为则这个多面体外接球的表面积为.解析解析: :依题意得依题意得, ,题中的几何体是一个底面是正方形题中的几何体是一个底面是正方形( (边长为边长为2)2)、一条、一条侧棱侧棱( (该侧棱长为该侧棱长为2)2)垂直于底面的四棱锥垂直于底面的四棱锥, ,可将其补成一个棱长为可将其补成一个棱长为2 2的的正方体正方体, ,因此其外接球即是该正方体的外接球因此其外接球即是该正方体的外接球, ,则则2R(R2R(R为外接球的半为外接球的半径径)=2 ,)=2 ,因此该多面体的外接球的表面积等于因此该多面体的外接球的表面积等于4R4R2 2=12.=12.答案答案: :12123体积与表面积的最值问题体积与表面积的最值问题【典例】【典例】( (20152015全国全国卷卷) )已知已知A,BA,B是球是球O O的球面上两点的球面上两点,AOB=90,AOB=90,C,C为该球面上的动点为该球面上的动点, ,若三棱锥若三棱锥O O- -ABCABC体积的最大值为体积的最大值为36,36,则球则球O O的表面积的表面积为为( () )(A)36 (B)64(A)36 (B)64 (C)144(C)144 (D)256(D)256经典考题研析经典考题研析 在经典中学习方法在经典中学习方法审题突破审题突破关键信息关键信息信息转化信息转化AOB=90AOB=90可得可得S SAOBAOB= R= R2 2三棱锥三棱锥O-ABCO-ABC体积最大值为体积最大值为3636OA,OB,OCOA,OB,OC两两垂直时两两垂直时, ,三棱锥三棱锥O-O-ABCABC体积最大体积最大解题突破解题突破: :利用利用AOB=90AOB=90得得S SAOBAOB的面积的面积, ,当当OCOC平面平面AOBAOB时时, ,三棱锥三棱锥体积最大体积最大, ,求得半径求得半径R R12命题意图命题意图: :本题主要考查三棱锥的体积公式、球的表面积公式等基础本题主要考查三棱锥的体积公式、球的表面积公式等基础知识知识, ,意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力意在考查考生的空间想象能力和运算求解能力. .
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