数学专业毕业论文多元函数极值解法的研究

毕业论文多元函数极值解法的研究摘 要：科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,但是有些问题用初等的方法去解决，有时显得麻烦，有时根本无法解决。鉴于此，本文从一下几方面作了介绍：二元函数极值的定义及存在条件、二元函数极值的一阶偏导判别法；条件极值的求解方法及应用；n元函数极值的定义及存在条件及存在问题、n元函数的累次极值、向量法求解一类多元函数极值。通过以上方法的介绍，旨在为以后的学习和实际工作带给一定的方便。关键词：多元函数；极值；充要条件 ；方向导数；偏导数；矩阵；驻点； Abstract：There exist a great many problems of extreme value to solve in scientific production activity, some of them, can be worked out using elementary methods,while other problems either can be solved with great difficulty, or can not be solved. In view of this ,this paper were presented to several aspects: the definition and existence conditions of the extreme value of the dual function, the one order partial derivatives criterion of the extreme value of the dual function, the solution to extreme value problem With conditions and its application, the definition of the extreme values of function with n variables and its existence conditions, n-varible function repeat extreme,the solution to a kind of extreme value problem of multi-function, using vector through the introductions of above methods,it is designed to bring some convenience to our study and work.Key words: multi-varible function; extreme;Necessary and sufficient conditionDirectional derivative; first partial derivative; Matrix; critical point; 1 绪论1.1研究多元函数极值的意义科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,目前最有效的方法是应用微分法求极值.函数的极值一直是数学研究的重要内容之一，由于它的应用广泛，加之函数本身变化纷繁，所以人们对其方法的研究较多，像不等式法，导数法，从矩阵的角度解决函数极值，利用拉格朗日乘数法解决函数的极值等等。这些理论的提出并得到应用，与诸多数学家在这方面的努力是分不开的，他们给出了许多好的解决函数极值的方法，且将诸理论与实际有机的结合起来，这不仅为科研打下了良好的基础，也为诸多领域的实际工作提供了便捷，如在经济，管理，金融，科研等方面提供了便捷的方法，使得许多问题很便利的得以解决。多元函数涉及到的量比较多，在求解某类形式上比较复杂的函数的极值问题比较困难，所以在本文中也介绍了利用向量方法求解一类多元函数极值的方法。所起到的效果还是很理想的。但是该方法所使用的范围比较的窄，只适合于某类函数极值的求解，所以具有很大的局限性，但是作为一种求多元函数极值的方法，我们很有必要关注它。同时我们在解题的过程当中常常会遇到一些具有某些条件限制的多元函数极值的求解，在解这种条件极值的问题时当然我们不能不考虑其限制条件，那么我们什么时候、什么地方、如何用这些限制条件就成了我们所关心的问题。就以上问题，在本文中给出了几种求条件极值方法。旨在能为求条件极值提供一些可寻的方法。因为在解题的过程中合理的选择一种好的方法，就等于成功了一半，同时可以大大减少解题的时间，对拓展解题的思路是很有帮助的。不等式的证明是数学的学习过程中我们经常遇到，其证明具有很强的技巧性,方法灵活多变,同时对综合能力和分析能力的要求都很高。目前有多种形式的方法来证明不等式.但在本文中给出了应用多元函数条件极值的解法来证明不等式的方法,即在不等式证明中,适当变换目标函数和相应的限制条件,结合实际问题的提法来证明不等式。在本文中就以用拉格朗日乘数法来证明不等式的方法以举例的形式略作了介绍。由上述，我们对多元函数极值的求解方法做一个比较全面的了解是相当重要的。1.2回顾一元函数极值我们先来讨论函数的极值，且总假定在上是连续的。若对于一点，存在的某一邻域（，使对于此邻域中的任意点，都有，则称在有一极大值，称为极大值点，同样我们可以定义函数的极小值。若在上述的中等号不成立，我们就称为是严格极大值.同样可以定义严格极小值。定理1（极值的必要条件） 若是的极值，那么只可能是的零点或的不可导点。定理2(极值判别法之一)设在和（可导，那么若在内，而在内，则为极小值点。若在内，而在内，则为极大值点。定理3（极值判别法之二）设，若，则是极大值。若，则是极小值。2二元函数极值2.1二元函数极值的定义及存在条件科学生产实际中,存在着很多极值问题需要去解决.有些问题可以用初等的方法可以解决,目前最有效的方法是应用微分法求极值。2.1.1 二元函数极值的定义定义1：设，函数:DR,点D,如果存在一个邻域,使得(p)() (p) ()对一切成立,那么称为的一个(严格)极小值点,而()称为函数的一个(严格)极小值。同样定义(严格)极大值点和(严格)极大值.极小值和极大值统称极值。2.1.2 二元函数取得极值的条件定理1（必要条件）设函数在点具有偏导数，且在点处有极值，则它在点的偏导数必然为零；证明： 不妨设在点处有极大值，则对于的某邻域任意都有 故当时，有说明一元函数在处有最大值，必有；类似地可证。D中使的一切内点称为函数的驻点，由上面的定理知道，极值点一定是驻点，但是驻点未必是极值点。例如,在上考察函数f(x,y)=xy,这时 =y, =x,所以(0,0)是的唯一驻点,由于,而在原点的任何一个邻域内,既有使取正值的点(第一,三象限的点),也有使取负值的点(第二,四象限内的点),可见原点不是极值点,这说明:函数没有极值点。定理2（充分条件）设函数在点的某邻域内连续，有一阶及二阶连续偏导数，又，令,则在点处是否取得极值的条件如下：时具有极值，当时有极大值，当A0时有极小值；时没有极值； 时可能有极值，也可能没有极值，还需另作讨论； 例 1 ：求函数 的极值。 解：令 在驻点，有 ， 。 而，故在点取得极小值，。 2.2二元函数极值的一阶偏导判定方法对二元函数极值的判定，不仅可以借助于二阶导数进行判定，还可以借助于使用范围更广泛的一阶导数进行判定。2.2.1 判别方法首先给出一个引理如下：引理：设函数在区间上有定义，在连续，在可导，若，则在取得极小值。若，则在取得极大值。证明：可以利用下述中值定理，即 容易得到结论。 根据上述思想，我们可以得到判别方法如下：定理1：设二元函数在凸区域D上有定义，在上连续，点，在上可导：若 ，则在取得极小值。若 ，则在取得极大值。证明：，引入辅助函数： 其中。由条件知在上满足拉格朗日中值定理的条件，于是存在，使得，即注意到D为凸区域，从而.由条件可知：，由的任意性以及极值的定义，可知，函数在取得极小值。同以上证明方法可以得到，在条件下，函数在取得极大值。结论证毕。考虑到条件，的结构，若记， 引入中的内积则可将定理写成更简洁的形式。2.2.2 推广在引入上述记号后，我们可以将问题推广到n维情形：定理2：设为凸区域，若，在连续，在可导，若，则函数在处取得极小值。若，则函数在处取得极大值。证明同定理1，此处不再赘述。2.2.3 应用 与一元函数相同，由于二元函数极值的一阶偏导数准则比利用二阶偏导的判别法要求的条件弱，从而一阶偏导数判别准则的应用更为广泛。 例1：试研究函数在原点（0，0）是否达到极值。 解：由于 在原点处无定义，不能利用二阶判别法 。可利用定理1，因为 成立，从而，可知在原点（0，0）处可以取得极大值 例2：求函数的极值。解：容易知道的稳定点为，因此在点处取得极小值，又因为出处存在偏导数，故是的唯一极值点。3 条件极值3.1 求条件极值的常用解法我们在解题的过程当中常常会遇到一些具有某些条件限制的多元函数极值的求解，在本节我们以例析的形式给出其一些常用解题方法。3.1.1 运用梯度法求条件极值将梯度法用于求条件极值的问题。方程组的解,就是所求极值问题的可能极值点。实质上这种解法可以看作是将拉格朗日乘数法用梯度的形式来简写。这是因为将以上的梯度形式按各分量写开，就是拉格朗日乘数法的形式。例1：试求个正数,其和为定值的条件下,什么时候乘积最大,并证明证明:本题的实质是求在条件下的最大值问题。根据本文定理,列出下列方程组,求解可能的极值点。进一步求解得容易得到,根据题意,则是唯一的极大值点,也是最大值点。所以,即这一方法当然适合于二元函数和三元函数的条件极值问题。例如:求在条件下的极值, 只要列出方程组再求出相应的,则其中是可能的极值点.3.1.2利用二次方程判别式的符号求某些条件极值例2：若,试求的极值.解 因为,代入得即 这个关于的二次方程要有实数解, 必须:即 解关于的二次不等式,得: 显然,求函数的极值, 相当于求 或 的极值.由(2)得 这个关于的二次方程要有实数解,必须, 即解此关于的二次不等式,得.所以把代入(4)得,再把,代入(1),得,最后把,代入,得.所以,当,时,函数达到极大值3.同理可得,当,时,函数达到极小值-3.也可以从(3)作类似讨论得出的极大值3和极小值-3.3.1.3利用标准量代换法求函数极值求某些有多个变量的条件极值时,我们可以选取某个与这些变量有关的量作为标准量,称其余各量为比较量,然后将比较量用标准量与另外选取的辅助量表示出来,这样就将其变为研究标准量与辅助量间的关系了.如果给定条件是几个变量之和的形式,一般设这几个量的算术平均数为标准量.例3：设,求的最小值.解：取为标准量, 令,则(为任意实数),从而有 (等号当且仅当即时成立).所以的最小值为.3.1.4借助辅助系数求某些条件极值在求某些函数的条件极值的时候，可以先将所给的函数平方之，然后依靠辅助系数将平方后的函数表示成两个函数代数和的形式，并使其一为某函数的平方，而另一函数较原给函数简单（有时甚至为常数）。辅助系数选取满足下列条件：当自变量取某一相同值时，能使上述两函数都能达到极值。例4：若，试求函数的极大值。 解： 显然，当 即 （1）时，第一项取得极大值，而当，即，亦即时，第二项取得极大值。将值代入（1）得，即当时， 一般地，若试求函数的极大值。解 显然，当，即（1）时第一项取得极大值。而当时，第二项取得极大值。将值代入（1）得，即当时，。在简单情况下，不必设辅助系数也可。3.1.5利用三角代换求某些极值所谓三角代换，就是用三角函数（或三角函数式）去代替所给函数式中的变数，从而借助于三角函数运算求出极值，代换时，首先要从函数式中变数的允许值去考虑，选取哪些三角函数（或三角函数式），再从解题的需要选择适当的代换。 例 1 若 ，试求函数的极值。 解：令 （为参数，）则合于条件，故，此处 当时，此时（n为正整数），所以因此当，时函数达到极大值，类似的可得，当，时函数达到极小值。3.2拉格朗日乘数法在讨论极值问题时，往往会遇到这样一种情形，那就是函数的自变量要受到某些条件的限制，例如，决定一给定点到一曲面的最短距离的问题，就是这种情形，我们知道点到点的距离的平方为，现在的问题，就是要求出曲面上的点使得最小。因此，问题可以归结为求函数在条件限制下的最小值问题。这类问题叫做条件极值问题，现在先来讨论以下情况：设函数具有对各个变元的连续偏导数，而这些变元之间又受到以下条件的限制： （*）其中函数和都具有对各个变元的连续偏导数，并且它们的雅可比式 我们要求函数在限制条件（*）下的极值。 先来考虑极值的必要条件。 若函数在某点达到极值，这里满足限制条件，设想从方程组（*）中将解出来，亦即 那么问题就转化为考察函数的直接极值问题，而它的必要条件为在极值点处函数的全微分为零，再由一阶微分形式的不变性，得必要条件为： 但要注意，在这里变元之间并非相互独立变化的，而是受到条件限制，因此，它们的微分之间也将满足一定的关系，这个关系只要将限制条件（*）求微分，得 这样我们就得到，若函数在某点达到条件极值，那么在这一点上应同时满足三个微分关系，。很自然的会想到这样一个办法，那就是从两个限制条件中解出两个变量，例如解出 ，代入中，称为两个变量的函数，然后用求偏导数的办法来确定函数的稳定点，后求得极值，这样虽然在理论上说得通，但实际做起来却往往较为复杂甚至是做不到的，因此，一般采用以下的方法，叫做乘数法（也叫拉格朗日乘数法） 以分别乘，式再相加，得 称为拉格朗日乘数，也称为待定乘数。由于 总能求得不全为零的 使 =0 这时，（4）式化为 由于和是相互独立的，要是上式成立，必须 可见，如果函数在某点达到条件极值，则在该点处应满足关系式，及（*）。 现在引入函数，它称为拉格朗日函数： 我们知道，函数的直接极值的必要条件为： 这正好就是方程，。从这四个方程再加上（*），可解出函数的可能条件极值点及待定乘数，这里可以看到，利用拉格朗日乘数法，就将求函数的条件极值问题化为求函数的直接极值问题，这就是说，为了找出的所有可能的极值点，首先作出拉格朗日函数，再由连同限制条件（*）解出和，这里就是使可能达到极值的点。下面进一步讨论充分条件，设从方程组 中确定了唯一一组函数，把它们代入拉格朗日函数中得: 注意到，于是 由一阶微分形式的不变性，有 从而的二阶微分有 但因为在极值点满足必要条件，所以 等式右端的，使将变量视为互相独立时函数的二阶全微分。充分性要讨论的符号，也就是要讨论的符号，这正像将所有变量视为相互独立时讨论函数的直接极值的充分条件那样，这也正是我们刚才多次提起的拉格朗日乘数法的精神所在，但是注意的是，这时在中所出现的应该受到条件，的限制。从这里可以看出，由于引进了拉格朗日函数，从而把条件极值的问题化为讨论函数的直接极值问题。一般说来，设有个变元的函数具有对各个变元的连续偏导数，又假定这些变元之间还满足m个联系方程： 这里 具有对各个变元的连续偏导数，并且它们其中某m个变元的雅可比式不等于0，可以用这样的方法来讨论函数在限制条件下的极值问题。“乘数法”所得到的点只是可能的极值点,到底是否是极值点以及其类型要依据拉格朗日函数的二阶微分的符号来判断.例 求函数在条件()下的极值.分析:通过求简单函数的极值点从而达到求复杂函数极值点的方法,是在实际解题中经常使用的.解 先求令得驻点又由 ,故为即的极大值点, 此时.3.3 拉格朗日乘数法在证明不等式中的应用 不等式证明具有很强的技巧性,方法灵活多变,是对知识的综合性灵活运用。我们已经接触了很多证明不等式的方法，如用已知不等式、用函数的单调性、用函数最值来证明不等式，还有分析综合法、比较法、归纳法等。根据不同的问题的提法，采用适当可行的方法，使问题能得以解决。本节以举例说明的方式给出应用多元函数条件极值的解法来解决不等式证明的思想,即在不等式证明中,适当变换目标函数和相应的限制条件,把问题转化为求多元函数极值的问题，而本文讨论的正是关于多元函数极值求解的问题，从而为该问题得以顺利解决奠定了良好的基础。例1：证明不等式,其中n1,0, 0.证明:设函数()= ,在求条件下的最小值.根据拉格朗日的乘数法,做辅助函数，则0, 即=- 0,即=- =0 由和解得，将代入解得:函数()= 存在最小值,而无最大值.所以函数在(,)处取得最小值.故【+】=,当n=1时等式成立.例2：已知为常数,在约束条件+=下, 证明: -R R证法1(应用柯西 布尼雅可夫斯基不等式) 由柯西 布尼雅可夫斯基不等式得: 令 则= = 所以 R 即 -RR 如果等号成立,则有=,令比值为k,即得 代入方程+=,得出 由此得出 =所以 （ )= 这时 因此= R =-R到此证明结束证法 2(应用拉格朗日乘数法)作(x)= +=+2；=+2y；=+2z；解方程组 得=; =;=； z=; 记=,故驻点有两个,即 (,),(,)对应值为 因为 = =2d+2d+2 +0 =2(d+ d+ d)所以当= 时, 0,( , )=R是最大值;而当= 时,0,(-,-,-)=-R是最小值.4. n元函数极值4.1准备知识首先我们引入正定矩阵及相关概念:定义1：n个变量的二次齐次函数，其中,=1,2,.n是数域P上的元素,称为数域P上的一个二次型.现将改写成矩阵形式:,其中,为二次型矩阵,因为,所以二次型均为对称矩阵,矩阵的秩称为二次型的秩.定理1：实二次型是正定的充要条件是秩，且的一切顺序主子式大于0.定理2：实二次型是负定的充要条件是秩，且的一切偶数级顺序主子式大于0,而一切奇数级顺序主子式小于0.定理3：实二次型()= AX是半正定的充要条件是秩,且一切主子式都非负。定理4：实二次型()= AX是半负定的充要条件是秩,且一切主子式都非负。偶数级顺序主子式大于零，而一切奇数级顺序主子式非正.定理5：实对称矩阵为不定的充要条件是指下列两种情况至少有一个成立.有一个偶数级主子式为负数; 有两个奇数级主子式,其中一个为正数,一个为负数.证明:充分性:当条件或有一个成立时,由定理1和定理2可知非负定,非正定,由定理3知它是非半正定,由定理4知它非负定,因此只能为不定的.必要性:设是不定的,若条件不成立,即A的一切偶数级主子式都大于等于零,当为满秩矩阵时,由定理1知中必有一个奇数级主子式为负数,由定理2知中必有一个奇数级主子式为正数,条件成立;当为降秩矩阵时,由定理3知秩中至少有一个奇数级主子式小于零,由定理4秩中至少有一个奇数级主子式大于零,条件成立.定义2：设是n阶对称矩阵，是的函数，若在的某邻域G内恒有,但是不恒为零，称矩阵是处局部半正定（局部半负定）。若在处既不是局部半正定，也不是局部半负定，则称矩阵在处局部不定。定义3：有3阶连续的偏导数,，如果在处的一阶偏导数全为0，则称为的一个稳定点。定义4：设元函数在的某个邻域内有一阶、二阶连续偏导数。 记, 称为函数在点处的梯度。定义5：满足的点称为函数的驻点。定义6：称为函数在点处的黑塞矩阵。显然是由的个二阶偏导数构成的阶实对称矩阵。定义7：设，如果点，并且存在使得,那么称为的一个内点，点集的全体内点之集合记作，称之为的内部，如果，那么称为中的开集。定义8： 设，是中的一个开集族。如果，我们称开集族覆盖了，或者称是的一个开覆盖。定义9：设，若能从的任一个开覆盖中选出有限个开集，它们仍能组成的开覆盖，那么称为一紧致集。定义10：对于任何向量，定义，称为范数。4.2 n元函数极值定义及存在条件元函数极值问题是一个重点,也是一个难点.在讲完有关二次型正定,负定,不定等内容后,没有具体讲授他们的用途.本文将这部分内容与多元函数极值问题有机结合起来,从而弥补了这一缺陷,同时也丰富了多元函数极值问题. 定义1：设，函数,点,如果存在一个球,使得 ()对一切成立,那么称为的一个(严格)极小值点,那么称为函数的一个(严格)极小值同样定义(严格)极大值点和(严格)极大值.极小值和极大值统称极值.4.2.1极值存在的必要条件定理1：设函数在点处存在一阶偏导数，且为该函数的极值点，则。证明：设，考察单变量的函数，如果在取得极值，那么这个单变量函数必在上取得同样性质的极值。因此这正是 ，即在引述n元函数极值存在的充分条件之前，我们先简要的引述n元函数在点处的Taylor公式。由于我们通常应用Taylor公式的时候，特别重要的是Taylor公式的前三项，因此我们现在把它们具体写出来。即 （*）利用我们黑赛矩阵的定义我们可以将（*）写成。 其中4.2.2极值存在的充分条件定理2：设函数在点的某个邻域内具有一阶、二阶连续偏导数，则 当为正定矩阵时,为的极小值； 当为负定矩阵时,为的极大值； 当为不定矩阵时,不是的极值；证明：.由于是的一个驻点，由Taylor公式可得：，其中，把上式改写为： 由条件知，二次型对任意的恒为正值，特别地，在单位球上，连续函数取到最小值，最小值之所以能取到，是因单位球是以紧致集。因此，对任意的，我们有： 另一方面，由于的一切二阶偏导数在处连续，对总可以取，使时， 于是于是，当时， 这正说明时的一个严格极小值点。证明类似，此处不再赘述。因为 因为时不定方阵，故存在，使得 在中分别取 为就得： 由和可知，只要取充分小，就有这正好说明不是的极值点。例1：求三元函数的极值。解先求驻点，由 得所以驻点为。再求(Hessian)黑塞矩阵因为所以，可知是正定的，所以在点取得极小值：.当然，此题也可用初等方法求得极小值，结果一样。以上我们介绍了多元函数极值存在的必要条件和充分条件, 下面我们引述函数极值存在的充分必要条件。4.2.3极值存在的充要条件定理3：设函数在稳定点的某邻域内存在二阶连续偏导数，则是的极大值点，当且仅当在处局部半负定；是的极小值点，当且仅当在处局部半正定；不是的极值点，当且仅当在处局部不定；在证明定理之前我们先看一个引理。引理： 设A是n阶对称矩阵，是的函数，当 时， ，则当时，是高于的无穷小量。证明： 因为当我们用代替中的项时，被放大，且不再有形如的项，而且剩下如下的平方项。 于是因为当时，所以， 是高于的无穷小量，即是比高阶的无穷小量。下面我们就定理3给出其证明如下：证明：由泰勒公式（其中是实数，且。 因为是的稳定点，所以由泰勒公式得因为在的某邻域内存在二阶连续偏导数，所以，其中A是n阶对称矩阵，是的函数，当时，于是由引理知，当则当时，是高于的无穷小量，所以，在的一个充分小的邻域内，的右边的符号完全由决定。，当且仅当；，当且仅当；符号不定，当且仅当符号不定。因而有是的极大值点，当且仅当在处局部半负定；是的极小值点，当且仅当在处局部半正定；不是的极值点，当且仅当在处局部不定；至此证毕。4.3多元函数的累次极值将多元函数极值转化为若干次一元函数极值去处理，这就是多元函数的累次极值。我们先讨论二元函数的情况。定理1：设在区域D：内连续，且存在曲线，对；在点附近， ；则在点取得极大值（极小值），其中。 证明：仅证极大值情形，极小值情形相仿可证。 由存在，当时，有 又有，所以当，时，。从而 在点取得极大值，其中。推论1：设在区域D：内连续，且存在曲线，对，在点附近， 则在点取得极大值（极小值），其中 由一元函数极值的充分条件，即得：推论2：设在区域D：内有连续的一阶和二阶偏导数，且 存在曲线，及令存在，使得，及则在点取得极大值（极小值），其中。推论3：设在区域D：内有连续的一阶和二阶偏导数，且 存在曲线，及 令存在，使得，则在点取得极大值（极小值），。将定理1推广到n元函数上去，则有：定理2： 设在区域：内连续，且存在超曲面，对 在点取得极大值（极小值），其中其证明与定理证明相仿，故略。定理2是将n元函数极值转化为一元函数和n-1元函数的极值来处理，后者仍可继续分解，最后可化为全部的一元函数极值。而一元函数极值已有较完善的判别定理。因此，定理为n元函数的极值的求解提供了一个可取的计算方法。例1：求的极值。 解： 令 得所以对固定在处取极小值； 令 令 得所以对固定在处取得极小值； 令 令 的且所以在点处取得极大值，在点内取极小值。当时，当，由于极性的不同，u在（0，0，0，）点不取极值，（见注记1）；由定理2，u在（30，-180，-90）点取极小值，极小值为u（30，-180，-90）=-13500。 累次极值的两个注记： 注记1：在以上的定理及推论中，条件（1），（2）中的极性必须一致，即同为极大值或同为极小值，否则会出现类似鞍点的现象，从而不取极值。 注记2：设为的可能极值点，累次极值并非指沿二直线分别判断。即使判别结果是在点同极大或极小，在点也未必取极值。甚至沿任何直线方向都在点同取极大或极小，在点也未必取极值。4.4向量法求解一类复杂的多元函数极值问题多元函数涉及到的量比较多，求解这类函数的极值问题比较困难，但若利用向量方法求解，则事半功倍。命题1：若, ,则 （或，当且仅当与是同向向量（或且）时等号才成立。命题2：若,则 （或，当且仅当与是同向向量，（或且, ）是等号成立。以上两个命题的结论比较明显，下面例谈这两个命题在求解多元函数极值问题中的应用。例 1：求f(x,y)=+的最小值。 解：据命题1有 当且仅当且，即=（3，1）时，=8。例2：求三元函数的最小值解：据命题 2 当且仅当且，即（x,a,b）=(2,1)时， =。结束语 通过本文对求多元函数极值方法的论述，我们深刻的体会到学习多元函数极值的重要性。求解多元函数极值的方法很多，针对不同的题目要求，我们应该选择一种既简便易行又节省时间的方法。在本文中给出了二元函数极值的一阶偏导判别法，在求解时避免了求高阶偏导的麻烦和函数在稳定点处无定义所带来的麻烦， 还讨论了条件极值及 n元函数极值的处理方法等问题。旨在本文中所提到的方法能为今后的学习和实际工作带给一定的方便。谢 辞本次的毕业论文工作是在戴习民老师的精心指导下完成的，在论文的构思和写作过程中，感谢戴老师对我的细心指导。从老师的身上，我不仅学到了治学的严谨，学识的宽广，而且也学到了做人的道理，学习的态度，这是让我受益匪浅，也是受益终身的。所以，在此我要向戴老师表示最衷心的感谢和最深厚的敬意。同时，我想感谢我的父母，我要感谢他们对我多年的养育之恩。没有他们二十多年来的关心和支持，我无法想象自己能够顺利的完成我的大学生活。由于毕业设计的时间短，加之本人的水平有限，所以论文的错误和失误较多，而且很多理论也不完善。在此也恳请各位专家和教授给予批评与指导。最后，向所有关心和帮助过我的领导、老师和同学表示由衷感谢！参考文献1 李天胜，从一道错误的例题谈条件极值的代入法J，高等数学研究,2002(3):22。2肖翔，许伯生，运用梯度法求条件极值J，上海工程技术大学教育研究，2006(1)：35-37。3莫国良，关于用代入法求条件极值的一点注记J，高等数学研究，2004(3):42-49。4 王延源, 条件极值的六种初等解法J, 临沂师专学报, 1999(12):21-24。5李瑛华, 标准量代换法求函数极值,实战实例。6北京大学数学系几何代数教研室。高等代数M.北京：高等教育出版社，1988。7丘维声。高等代数M。北京：高等教育出版社，2002。8同济大学数学教研室。高等数学M.北京：高等教育出版社，1996。9裴礼文。数学分析中得典型问题与方法。高等教育出版社。10同济大学教研室。高等数学11张宏志。高等数学教与学参考西北工业大学出版社。12常庚哲 史济怀 数学分析教程（下册） 高等教育出版社。31