随机过程分析实用教案

2.1 2.1 随机(su j)(su j)过程的概念 随机过程随机过程(guchng)的定义的定义 例例2.1 设有设有n台性能完全相同的雷达接收机，它们工作的条件也完全相同，图台性能完全相同的雷达接收机，它们工作的条件也完全相同，图21是运用是运用n台示波器记录的各接收机输出的噪声电压。它们是台示波器记录的各接收机输出的噪声电压。它们是n条噪声电压条噪声电压时间的函数。从中可看出，在相同条件下，雷达接收机输出的噪声波形是时间的函数。从中可看出，在相同条件下，雷达接收机输出的噪声波形是不相同的。不相同的。第1页/共136页第一页，共136页。图2-1-1 噪声电压(diny)的输出波形第2页/共136页第二页，共136页。 定义定义1 1 设随机试验设随机试验E E的样本空间为的样本空间为 ，如果对于，如果对于(duy)(duy)每一个样本每一个样本 ，总可以，总可以依某种规则确定一时间依某种规则确定一时间t t的函数的函数 (T (T是时间是时间t t的变化范围的变化范围 ) ) 与之对应。于是，与之对应。于是，对于对于(duy)(duy)所有的所有的 来说，就得到一族时间来说，就得到一族时间t t的函数，称此族时间的函数为随机过的函数，称此族时间的函数为随机过程（也称随机信号）程（也称随机信号）X X，而族中的每一个函数称为该随机过程的样本函数。，而族中的每一个函数称为该随机过程的样本函数。注：随机过程是样本函数(hnsh)的集合 。 xS Sx TttxSx第3页/共136页第三页，共136页。图2-1-2 随机(su j)过程是样本函数的集合第4页/共136页第四页，共136页。 定义定义2 2 如果对于如果对于(duy)(duy)每一固定的每一固定的 ， 都是随机变量，则称都是随机变量，则称 是是随机过程。随机过程。 注：样本函数注：样本函数 随机变量。随机变量。 Tti itX tX第5页/共136页第五页，共136页。图2-1-3 随机过程(guchng)是随机变量的集合第6页/共136页第六页，共136页。 因此，随机过程(guchng)有两种基本的表示方式： 1、样本函数集合表示(定义1) 2、随机变量集合表示(定义2),.2 , 1,ixtXxtXi确定样本函数集合随机过程,.2 , 1,ixtXxtXi随机变量集合随机过程第7页/共136页第七页，共136页。 具有以下四种含义：1、若 和 都是变量，则随机过程是一族时间函数，即随机信号；2、若 是变量，而 是固定值，则随机过程是一个确定(qudng)的时间函数，即样本函数；3、若 是固定的，而 是变量，则随机过程是一个随机变量，即样本随机变量；4、若 和 都是固定值，则随机变量是一个确定(qudng)值，即样本值。 tXtxtxtxtx第8页/共136页第八页，共136页。、随机(su j)过程的分类第9页/共136页第九页，共136页。2.2 2.2 随机过程的统计(tngj)(tngj)特征随机过程的统计特征主要有：1、概率分布：概率密度函数，概率分布函数；2、数字特征：数学期望(qwng)，均方值，方差，自相关函数，自协方差函数；3、特征函数：第10页/共136页第十页，共136页。统计特征也可分为：1、幅值域描述: 数学期望、方均值、方差(fn ch)、概率密度函数等；2、时间域描述: 自相关函数、互相关函数；3、频率域描述: 自功率谱密度函数、互功率谱密度函数；4、变换域描述：特征函数。第11页/共136页第十一页，共136页。、随机过程的概率分布 随机过程 ，在每一固定(gdng)时刻 ， 和 都是随机变量。 随机事件： ， 发生概率： ， tXTtt21, 1tX 2tX 11xtX 2211,xtXxtX 11xtXP 2211,xtXxtXP第12页/共136页第十二页，共136页。1、一维分布函数 与 和 都有直接的关系，是 和 的二元函数，记为： 被称为随机过程(guchng)的一维分布函数。2、一维概率密度函数 如果存在二元函数 ，使 成立,则称 为随机过程(guchng)的一维概率密度函数, 是 和 的二元函数，且满足 11xtXP1x1t1x1t 11111;xtXPtxF111;txF111;txf1111111;1dtftxFx111;txf1x1t1111111;xtxFtxf第13页/共136页第十三页，共136页。 注：一维概率分布描述了随机过程在各个孤立时刻的统计特性。3、二维分布函数 与 ， ， 和 都有直接的关系，是 ， 和 的四元函数，记为： 被称为(chn wi)随机过程的二维分布函数。4、二维概率密度函数如果存在四元函数 ，使 2211,xtXxtXP1x1t2x2t1x1t2x2t 221121212,;,xtXxtXPttxxF21212,;,ttxxF21212,;,ttxxf21212122121212,;,;,ddttfttxxFxx 第14页/共136页第十四页，共136页。 成立,则称 为随机过程的二维概率密度函数(hnsh)，是 ，和 的四元函数(hnsh)，且满足 注：1、二维概率分布反映了随机过程在不同时刻的状态之间的统计特性； 2、随机过程的二维概率分布与多维随机变量的二维概率分布所描述的物理概念是不相同的。随机过程的二维概率分布描述随机过程在不同时刻的状态之间的关系，二维随机变量的二维概率分布则描述不同变量之间的关系。21212,;,ttxxf1x1t2x2t212121221212,;,;,xxttxxFttxxf第15页/共136页第十五页，共136页。5、n维分布函数和概率密度函数例2.2 讨论贝努里随机过程(guchng) 的一、二维概率特性。 解：贝努里随机过程(guchng)，在 时刻，独立地观察某个事件 发生与否，建立事件 的指示函数 且有概率 nXnt AA不发生时刻发生时刻AntAntxnX01,第16页/共136页第十六页，共136页。设 ，单位步函数（阶跃函数）贝努里随机过程的一维概率分布函数 一维概率密度函数 贝努里随机过程 ，对于不同的时刻 ，其随机变量(su j bin lin) 是彼此统计独立的。因此，可得 0001xxxU 1;1xpUxqUnxF 1;1xpxqnxfn nX ,.1,0 XX 22112211,xnXPxnXPxnXxnXP第17页/共136页第十七页，共136页。贝努里随机过程(guchng)的二维概率分布函数是 其中， 是二维单位阶跃函数。 那么二维概率密度函数 21,xxU1, 11, 1,;,212212121221212xxpxxxxqpxxqnnxxf 2121,xUxUxxU第18页/共136页第十八页，共136页。式中， 、随机过程的数字特征随机过程的分布函数在实际上是很难获取的，甚至是不可能的。随机过程（信号）的特征（或参数）在实际工作(gngzu)中运用得十分广泛。 (1) 正态随机过程由数学期望和相关函数详细描述。 (2) 复杂背景下目标识别、跟踪所依赖的有效依据仍然是目标在时间、空间的特征。 2121,xxxx第19页/共136页第十九页，共136页。图2-2-1 云层(yncng)背景下的飞机 第20页/共136页第二十页，共136页。 由随机过程的定义(dngy)2，可知随机过程是随机变量集合：,.2 , 1,ixtXxtXi随机变量集合随机过程第21页/共136页第二十一页，共136页。1、数学期望(均值函数(hnsh) 随机过程 在任意时刻 的取值是一随机变量 ，随机过程 的数学期望 或 ，即 数学期望 的取值与时刻 是有直接联系的，是时刻 的函数(hnsh)。它是该随机过程在各个时刻的摆动中心。 tXt tX tX tXE tX dxtxxftXE;1 tXEtt第22页/共136页第二十二页，共136页。图2-2-2 随机过程的数学(shxu)期望第23页/共136页第二十三页，共136页。2、均方值随机过程 在任意(rny)时刻 的取值是一随机变量 ，随机过程的均方值 或 ，即 均方值 的取值与时刻 是有直接联系的，是时刻 的函数。3、方差 随机过程 在任意(rny)时刻 的取值是一随机变量，称随机变量 的二阶中心矩为随机过程的方差 。 tXt tX tXE2 dxtxfxtXE;122 tXE2tt tXt tX tXD 2tXtXEtXD第24页/共136页第二十四页，共136页。图2-2-3 随机过程(guchng)的均方值、方差第25页/共136页第二十五页，共136页。方差、均方值和均值有数学关系式： 方差描述在该时刻对其数学期望的偏离程度。数学期望、均方值和均方差只能描述随机过程孤立的时间点上的统计特性(txng)。随机过程孤立的时间点上的统计特性(txng)不能反映随机过程的起伏程度。 22tXEtXEtXD第26页/共136页第二十六页，共136页。图2-2-4 随机过程(guchng)的起伏程度第27页/共136页第二十七页，共136页。图2-2-4 随机(su j)过程的起伏程度采用两时刻或更多时刻状态的相关性去描述(mio sh)随机过程的起伏程度。第28页/共136页第二十八页，共136页。4、自相关函数 设 和 分别是随机过程 在时刻 和 的状态，称它们的二阶原点混合矩为随机过程 的自相关函数，记为 自相关函数反映了随机过程 在两个不同(b tn)时刻的状态之间的相关程度。 1tX 2tX1t tX2t tX21,ttBX21212122121,;,dxdxttxxfxxttBX tX第29页/共136页第二十九页，共136页。5、自协方差函数 设 和 分别是随机过程(guchng) 在时刻 和 的状态，称它们的二阶中心混合矩为随机过程(guchng) 的自相关函数，记为 自协方差函数反映了随机过程(guchng) 在两个不同时刻的状态相对于数学均值之间的相关程度。 1tX 2tX1t tX2t tX tX21,ttCovX 221121,tXtXtXtXEttCovX第30页/共136页第三十页，共136页。 自协方差函数、自相关(xinggun)函数与数学均值有数学关系式： 自相关(xinggun)系数 在 ， 。 212121,tXEtXEttBttCovXX22112121,ttCovttCovttCovtt1,21tt21tt 1,11tt第31页/共136页第三十一页，共136页。 随机过程统计不相关 如果对于(duy)任意的 ， 都有 ，则称该随机过程在任意两个时刻是不相关的。1t2t0,21ttCovX第32页/共136页第三十二页，共136页。例2.3 若随机(su j)过程 为 式中，A为在0,1上均匀分布的随变量，求 的均值和相关函数。解 已知A的概率密度函数为则随机(su j)过程 的均值 tX tAttX tX 其它0101aafA tX 210tdaaaftAtEAtEtXEA第33页/共136页第三十三页，共136页。随机过程 的自相关(xinggun)函数 tX 211022121212131,ttdaattAtAtEtXtXEttBX第34页/共136页第三十四页，共136页。 例2.4 求随机相位正弦波 的数学期望，方差(fn ch)及自相关函数。式中， 为常数， 是在区间 上均匀分布的随机变量。 解 根据题意有 那么有 ttX0sin02 , 0 其它0202 1f第35页/共136页第三十五页，共136页。因为 ( 在区间(q jin) 均匀分布)所以则方差 2 , 0 212sin2sin2cos2cos1212sin2sin2cos2cos12122cos121sin00000022tEtEttEtEtEtXE 2122tXEtXEtXD第36页/共136页第三十六页，共136页。那么，自相关(xinggun)函数 20102010201020102121cos21cos2cos21sinsin,ttttttEttEtXtXEttBX第37页/共136页第三十七页，共136页。 例2.5 试证明: (1)若随机过程 加上确定(qudng)的时间函数 ，则协方差不变。(2) 若随机过程 乘以非随机过程因子 ，则协方差函数乘以积 。 证： (1) 设 ，即需证 。 因为 而中心化随机函数为 tX t tX t 21tt ttXtY2121,ttCovttCovXY 不相关与ttXttXEtEtXEttXEtYE tXtXEtXtEtXEttXtYEtYtY第38页/共136页第三十八页，共136页。所以故得证。(2)设 ，即要证因为 而中心化随机(su j)函数为 212121221121,ttCovtXtXEtYtYEtYEtYtYEtYEttCovXY ttXtZ 212121,ttttCovttCovXZ ttXEttXEtZE tXttXEtXtttXEttXttXEttXtZEtZtZ第39页/共136页第三十九页，共136页。所以(suy)故得证。 212121212211221121,ttCovtttXtXEtttXttXtEtZEtZtZEtZEttCovXZ第40页/共136页第四十页，共136页。 例2.6 求贝努里随机过程 的均值、自相关函数、协方差函数和相关系数。 解 贝努里随机过程 的均值 在不同时刻 ，信号取值独立(dl)，则有 而在同一时刻 ，信号取值不独立(dl)，即取相同的值，则有 nX nX ppqnXE1021nn 2222111011000,ppqpqnnBX21nn ppqnnBX1100,11第41页/共136页第四十一页，共136页。因此(ync)，自相关函数为贝努里随机过程 的协方差函数贝努里随机过程 的相关系数 2122121,nnpnnpnnBX nX 212122121210,covnnnnppnXEnXEnnBnnX nX21,nn21212211212101,cov,cov,cov,nnnnnnnnnnnn第42页/共136页第四十二页，共136页。图2-2-4 贝努里随机(su j)过程的均值，相关函数和自相关系数 (a)均值(b)相关与协方差函数(c)自相关系数第43页/共136页第四十三页，共136页。2.3 2.3 平稳随机(su j)(su j)过程 平稳(pngwn)随机过程的定义 严平稳(pngwn)随机过程及其性质 宽平稳(pngwn)随机过程及其性质第44页/共136页第四十四页，共136页。图2-3-1 初相角随机的正弦(zhngxin)信号 ttttatXcos第45页/共136页第四十五页，共136页。图2-3-2 幅度随机(su j)的正弦信号 第46页/共136页第四十六页，共136页。图2-3-3 频率随机(su j)的正弦信号 第47页/共136页第四十七页，共136页。图2-3-4 频率、相位和幅度(fd)随机的正弦信号 第48页/共136页第四十八页，共136页。图2-3-5 云层(yncng)背景下的飞机 第49页/共136页第四十九页，共136页。随机信号 的统计特性(如概率密度函数、相关函数)，部分或全部在观察点或观察点组的位置变化时，保持不变或变化。在随机信号理论(lln)中就称该随机信号的相应统计特性具有平稳或非平稳性。 随机信号统计平稳性有多种情况： (1)对整个观察点位置 变化的平稳性； (2)对观察点中时间位置 变化的时间平稳性； (3)对观察点空间位置 变化的平稳性； (4)对观察点中空间位置的部分坐标变化的平 稳性。 tXtzyx,tzyx,第50页/共136页第五十页，共136页。平稳随机过程(guchng)的分类第51页/共136页第五十一页，共136页。严平稳随机过程 1、定义 设有随机过程 ，若它的 维概率密度函数（或 维分布函数） 不随时间起点选择(xunz)的不同而改变，即对于任何的 和 ，过程 的 维概率密度函数 （） 则称为严(格)平稳随机过程，或称窄平稳随机过程或狭义平稳过程。 tXnnnnXtttxxxf,.,;,.,2121n tXnnnXnnXtttxxxftttxxxf,.,;,.,.,;,.,21212121第52页/共136页第五十二页，共136页。2、实际的严平稳过程 一个工作在稳定状态下的接收机输出的噪声电压 是一个严平稳过程。 噪声电压 实质上反映电子热运动的剧烈程度。电子热运动程度则取决于接收机的工作温度T；一旦接收机稳定工作，其工作温度也相对(xingdu)稳定，则噪声电压 严格平稳。 tU tU tU 平稳与否严格随机过程)(tX决定随机信号的主要物理(wl)条件不变 平稳严格随机过程)(tX第53页/共136页第五十三页，共136页。3、主要性质(xngzh)(1)、若 是严平稳随机过程，则它的一维概率密度与时间无关。 证明 令 ，则一维概率密度函数 得证。 tXt xfxftxftxf11110 ;第54页/共136页第五十四页，共136页。(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、均方值和方差都是与时间无关的常数。证明(zhngmng)： 根据题意有 tX XmdxxxfdxtxxftXE11; 212122;XdxxfxdxtxfxtXE 21212;XXXdxxfmxdxtxfmxtXD第55页/共136页第五十五页，共136页。(2)、若 是严平稳随机过程，则它的均值、均方值和方差都是与时间无关的常数(chngsh)。证明： 根据题意有严平稳随机过程的所有样本曲线都是在同一水平直线周围随机地波动。 tX XmdxxxfdxtxxftXE11; 212122;XdxxfxdxtxfxtXE 21212;XXXdxxfmxdxtxfmxtXD第56页/共136页第五十六页，共136页。图2-3-6 严平稳随机(su j)过程第57页/共136页第五十七页，共136页。(3) 严平稳随机过程 的二维概率密度函数只与两个时刻 和 的时间间隔有关(yugun)，而与时间起点无关。 证明： 令 ，则随机过程的二维概率密度函数 式中， 。1t2t1t, 0 ;, 0 ;,;,;,212122122121221212xxfttxxfttxxfttxxf12tt tX第58页/共136页第五十八页，共136页。(4) 严平稳随机过程 的自相关函数和协方差函数只与两个时刻 和 的时间间隔有关，而与时间起点(qdin)无关。 证明： 根据题意，则随机过程的自相关函数 式中， 。1t2t12tt tX XXBdxdxxxfxxdxdxttxxfxxttB 212122121212122121;,;, 2212121,XXXXXXmBtEtEttBttCov第59页/共136页第五十九页，共136页。 例2.7 设有随机过程 任意时刻的随机变量是高斯的，有概率密度函数 若其任意观察时刻组的随机变量是相互(xingh)独立的，试判断 是否为严平稳过程。 解：在任意n个时刻 ，随机过程的n个随机变量是相互(xingh)独立的，即 tX tX22221;axetxfnttt,.,21 naxnnnnetxftxftxftttxxxf2222211212121;.;,.,;,.,第60页/共136页第六十页，共136页。 显然， 的任意n阶概率密度函数对观察点时刻组 是平稳的。所以 是严平稳随机(su j)过程。 tXnttt,.,21 tX第61页/共136页第六十一页，共136页。 例2.8 设有随机过程 ，式中A是高斯随机变量， 为确定的时间函数。试判断 是否为严平稳过程。 解：已知A的概率密度函数 在固定的时刻， 为常数(chngsh)。 是随机变量A的线性变化，仍为高斯分布。当 变化时， 的数学期望 和方差 均与时间有关。因此，一维概率密度函数也与时间有关， 不是严平稳过程。 tAYtX tX tY 22221maAeaf tY tXt tX tmy ty22 tX第62页/共136页第六十二页，共136页。宽平稳随机过程研究随机过程的概率密度函数的统计特性是很困难的；随机过程一、二阶矩函数在一定程度上描述了随机过程的一些重要特性。 (1) 噪声电压是一平稳过程 ，那么一、二阶矩函数，就是噪声平均功率的直流分量、交流分量、总平均功率等参数。 (2) 正态随机过程由数学(shxu)期望和相关函数详细描述。 tX第63页/共136页第六十三页，共136页。1 定义 若随机过程 满足(mnz) 则称 为宽平稳随机过程或广义平稳过程。 tX XXXBtXtXEttBtXEmtXE21212,常数 tX第64页/共136页第六十四页，共136页。2、主要性质随机信号的严格平稳性与广义(gungy)平稳性之间有关系 严格平稳 广义(gungy)平稳 随机过程 随机过程(2) 广义(gungy)平稳随机过程的相关函数卷积共轭的，即 证明 必然(brn)是不一定(ydng)是 XXBB XXBtXtXEtXtXEB第65页/共136页第六十五页，共136页。(3)随机过程的协方差函数(hnsh)和相关系数也是平稳的，即 2212121,XXXXXXmBtEtEttBttCov 0,21CovCovttXX第66页/共136页第六十六页，共136页。 例2-9 判断以下三个随机过程是否平稳？ 式中， 是常数(chngsh)， 是相互独立的随机变量。随机过程 在上 均匀分布。 tAtXtAtXtatXcoscoscos, a,A2 , 0相位(xingwi)振幅(zhnf)振幅、相位、频率第67页/共136页第六十七页，共136页。 解：(1)当幅度为常数， 在 上均匀分布时， 数学期望和自相关函数分别为 因此，X(t) 为广义平稳过程。 (2) 当幅度为随机变量，相位为常数时，那么每个样本(yngbn)函数的幅度都是随机变量A的一个可能取值，但它们同时到达零点或最大，均值和方差随时间变化。因此它是一个非平稳随机过程。 200cosdtatXE2 , 0cos2coscos,2atataEttRX第68页/共136页第六十八页，共136页。(3) 当幅度、相位和频率都为随机变量时，每个样本函数的幅度、相位和频率都可能不同。由于 相互独立(dl)，且 在上 均匀分布。 X(t)的数学期望为 是与时间无关的常数。 X(t)的自相关函数为 0coscostEAEtAEtXE,A2 , 0cos21cos22cos21coscos,22EAEEtEAEtAtAEttBX第69页/共136页第六十九页，共136页。 也与时间(shjin)起点无关，只与时间(shjin)差有关的函数，是广义平稳随机过程。第70页/共136页第七十页，共136页。 例2-10 广义平稳过程 通过乘法调制器得到随机信号 ， 是确定常数(chngsh)，是在 均匀分布的随机相位， 与 统计独立的，试问 是否广义平稳。 tX tY0, tX tY乘法调制器t0cos tX tY图 2-3-8 调制器输出信号特性第71页/共136页第七十一页，共136页。解：调制器输出 为 其均值为因为(yn wi) 在 上均匀分布，固有所以 tY ttXtY0cos tEtXEttXEtYE00coscos,0cos21cos00dttE 0tYE第72页/共136页第七十二页，共136页。输出函数 的自相关函数表示为 Y(t) 的均值和自相关函数对观察时间是平稳(pngwn)的，因此Y(t)是广义平稳(pngwn)的。 tY 0000000000cos2122coscos21coscoscoscoscoscos,XXBtEtXtXEttEtXtXEtttXtXEttXttXEttB第73页/共136页第七十三页，共136页。例2-11 设随机(su j)过程式中， 为常数； 为随机(su j)变量，其特征函数为 试证：当且仅当 时， 过程为平稳过程。证明：根据题意，过程X(t)的均值为而 ttX0cos ujEuEeEuMjusincos0 02, 01MM tX tEtEttEtEtXEtmx00000sinsincoscossinsincoscoscos 0sincos1jEEM第74页/共136页第七十四页，共136页。有 所以(suy) 过程X(t)的相关函数为因为有所以(suy)本题得证。0sin, 0cosEE 0tmx 0000000,coscos1coscos22211coscos 2cos2sin 2sin222XBt tE X tX tEttEtEtEt 02sin2cos2jEEM02sin, 02cosEE0cos21,ttBX第75页/共136页第七十五页，共136页。2.4 2.4 随机过程(guchng)(guchng)的各态历经性对于(duy)随机过程，在做各类统计平均时，理论上需要无穷多个样本函数。 使得测试工作(集合平均)变得十分困难： (1)实际生产、生活中难以提供如此多的样本函数。 (2)如果减少样本函数的数量，而统计特征的精度就会受到影响。 txNtXENii11 211211,txtxNttBiNiiX第76页/共136页第七十六页，共136页。 平稳随机过程概念的引入，使得统计特性的测试可以选在方便测试时刻上进行，且测试时刻的移动不影响该统计特性。 借助平稳随机过程统计特性与计时起点无关的特点，能否找到一种简化( jinhu)的方法来代替原有的统计方法。 tXEtXE XXBttB11,第77页/共136页第七十七页，共136页。(a)(b)图2-4-1 两种平稳随机(su j)过程 一个样本没有经历随机(su j)过程的整个状态。 任何(rnh) 一个样本经历随机过程的整个状态。第78页/共136页第七十八页，共136页。 辛钦证明：在具备一定的条件(tiojin)下，对平稳过程 的一个样本函数取时间平均 (观察时间足够长) ，从概率意义上趋近于此过程的统计(集合)均值 ，即 例如：处于稳态工作的n台雷达接收机，其噪声电压X(t)的统计平均与一台雷达接收机 的时间平均x(t) 。 txtXE dttxTtxTTT21lim tXE tX第79页/共136页第七十九页，共136页。niitXntXE11 dttxTtxTTT21lim2-4-2 雷达接收机的统计平均(pngjn)和时间平均(pngjn)第80页/共136页第八十页，共136页。 tXtXntXtXEinii11 dttxtxTtxtxTTT21lim2-4-3 雷达(lid)接收机的自相关函数和时间自相关函数第81页/共136页第八十一页，共136页。各态历经过程的定义1、各态历经过程的前提条件：随机过程是平稳过程。2、各态历经过程分为严(或狭义)各态历经过程和宽(或广义)各态历经过程。3、严各态历经过程 定义 如果一个随机过程X(t)，它的各种时间(shjin)平均(时间(shjin)足够长)，依概率1收敛于相应的集合平均，则称此随机过程X(t)为严(或狭义)各态历经过程，该随机过程X(t)具有严(或狭义)各态历经性。第82页/共136页第八十二页，共136页。4、宽(或广义)各态历经随机过程 (1)、随机过程的时间平均 对随机过程X(t) 中任意一条(y tio)样本函数 x(t) 沿整个时间轴的积分： 分别称为X(t)的时间均值和时间自相关函数。 dttxTtxTTT21lim dttxtxTtxtxT21lim第83页/共136页第八十三页，共136页。(2)、如 依概率1成立，则称随机过程 的均值具有( jyu)各态历经性。 xmtxtXE tX第84页/共136页第八十四页，共136页。(2)、如 依概率1成立，则称随机过程 的均值具有各态历经性。(3)、如 依概率1成立，则称随机过程 的自相关(xinggun)函数具有各态历经性。 当 时，如该式也成立，则称随机过程 的均方值具有各态历经性 xmtxtXE tXtXEtxtx0 tX tX tX第85页/共136页第八十五页，共136页。(2)、如 依概率1成立(chngl)，则称随机过程 的均值具有各态历经性。(3)、如 依概率1成立(chngl)，则称随机过程 的自相关函数具有各态历经性。 当 时，如该式也成立(chngl)，则称随机过程 的均方值具有各态历经性(4)、若 的均值和自相关函数具有各态历经性，则称 是宽(或广义)各态历经过程。 xmtxtXE tXtXEtxtx0 tX tX tX tX tX第86页/共136页第八十六页，共136页。各态历经性的实际意义1、随机过程(guchng) X(t)中任意一样本函数 x(t)代表了该随机过程(guchng)，也就是各样本函数具有完全相同的特性。图2-4-2 噪声电压的输出波形第87页/共136页第八十七页，共136页。2、采用随机过程的样本(yngbn)函数的时间平均代替随机过程的集合平均，给许多实际问题带来了极大的方便。 图2-4-3 噪声电压的输出波形niitXntXE11 dttxTtxTTT21lim第88页/共136页第八十八页，共136页。3、遍历过程X(t)的一、二阶矩函数有明确的物理(wl)意义。 若遍历过程X(t) 代表噪声电压(或电流)，则 (1)、遍历过程的时间平均是的直流分量。 2-4-4 基本交流RLC电路电流 ItitiE第89页/共136页第八十九页，共136页。 (2)、遍历过程的自相关函数代表噪声电压消耗(xioho)在单位电阻上的总平均功率。 2-4-4 基本交流RLC电路电流 2tititiEP总第90页/共136页第九十页，共136页。 (3)、遍历过程的方差代表(dibio)噪声电压消耗在单位电阻上的交流平均功率。2-4-4 基本交流RLC电路电流 22tititiEtiEP第91页/共136页第九十一页，共136页。 (4)、许多实际的信号，尤其无线电技术( jsh)领域里遇到的各种平稳的信号和噪声，都是各态历经过程。第92页/共136页第九十二页，共136页。 例2-12 讨论随机过程 的各态历经性。其中， 为常数， 是在 上均匀分布的随机变量。 解： 由例2-9知是平稳(pngwn)过程，其数学期望和自相关函数分别为 时间均值 tatX0cosa 200cosdtatXEcos2coscos,2atataEttRX 0cos21lim0TTTdttaTtx2 , 0第93页/共136页第九十三页，共136页。时间自相关函数可得：所以(suy)，随机过程具有宽遍历性。 020002002cos2cos22cos2121limcoscos21limataTttaTtxtxTTTTTT ttBtxtxtXEtxX,第94页/共136页第九十四页，共136页。 例2-13 讨论随机过程X(t)=Y的各态历经性，式中Y是方差(fn ch)不为零的随机变量。图2-4-5 例2-13中X(t)第95页/共136页第九十五页，共136页。 解：随机过程X(t)的数学期望(qwng)和自相关函数分别为时间平均时间平均是一随机变量，随Y的取值不同而变化，所以故不是各态历经过程。 常数常数2YEtXtXEYEtXE YdtYTdttxTtxTTTTTT21lim21lim txtXE第96页/共136页第九十六页，共136页。2.5 2.5 平稳随机过程的自相关函数(hnsh)(hnsh)性质 随机过程的基本特征：数学(shxu)期望和自相关函数。 平稳随机过程的数学(shxu)期望为常数，自相关函数则成为平稳随机过程。 自相关函数提供随机过程各状态之间的关联程度，还是求取随机过程功率谱以及从噪声中提取信息的工具。 常数tXE第97页/共136页第九十七页，共136页。1、实平稳随机过程X(t)的自相关函数(hnsh)是偶函数(hnsh) 证明： XXBB XXBtXtXEtXtXEB第98页/共136页第九十八页，共136页。2、平稳过程X(t)自相关函数(hnsh)的最大点在 处证明：任何正函数(hnsh)的数学期望为非负值，有展开固有 0tXtXE 02020222XXBBtXtXtXtXE XXBB00 XXBB0第99页/共136页第九十九页，共136页。 例如相位随机正弦信号 的自相关(xinggun)函数 02cos2aBX2-5-1 相位随机正弦信号的自相关函数 tatX0cos第100页/共136页第一百页，共136页。3、周期平稳过程的自相关函数(hnsh)必为周期函数(hnsh)，则它的周期与过程的周期相同，即 若平稳随机过程X(t)满足条件X(t)=X(t+T)，则称此为周期平稳随机过程，其中T为过程的周期。 证明： 得证。 XXBTB XXBtXtXETtXtXETB第101页/共136页第一百零一页，共136页。 例如相位(xingwi)随机正弦信号 的自相关函数 02cos2aBTBXX2-5-2 相位随机正弦信号的自相关函数 tatX0cos第102页/共136页第一百零二页，共136页。4、若平稳过程X(t)含有一个周期(zhuq)分量，则自相关函数 也含有一个同周期(zhuq)的周期(zhuq)分量。 XB第103页/共136页第一百零三页，共136页。4、若平稳过程X(t)含有一个周期分量，则自相关(xinggun)函数 也含有一个同周期的周期分量。 证明：设随机过程 ，式中 为在 内均匀分布的随机变量， 为平稳随机过程， 和 统计独立。显然，随机过程的自相关(xinggun)函数 XB tNtAtX0cos2 , 0 tN tN tX NXBAtNtNEttAEtNtNtNtAtNtAtAtAEtNtAtNtAEtXtXEttB02002000000cos2coscoscoscoscoscoscoscos,第104页/共136页第一百零四页，共136页。ab2-5-3 周期信号(xnho)噪声信号(xnho)第105页/共136页第一百零五页，共136页。5、对任何不含周期(zhuq)分量的非周期(zhuq)平稳过程均有证明：对于此类非周期(zhuq)平稳过程，当 增大时，随机变量之间的相关性会减弱；当的极限的情况下，两者相互独立，故有 2limXXXmBB 2limlimlimXXmtXEtXEtXtXEB第106页/共136页第一百零六页，共136页。6、平稳随机过程的自相关函数必须(bx)满足且对于所有的都成立。 0deBjX XB2-5-4 自相关函数第107页/共136页第一百零七页，共136页。(a)(b)(c)(d) XB XB XB XB2-5-5 非自相关函数第108页/共136页第一百零八页，共136页。相关系数： 2XXXXCovXDCov X10图2-6 自相关系数第109页/共136页第一百零九页，共136页。相关(xinggun)时间： 05. 00X X100图2-5-7 自相关时间相关性减弱(jinru)不相关(xinggun)第110页/共136页第一百一十页，共136页。用平稳过程的自相关函数表示数字(shz)特征：(1).数学期望(2).均方值(3).方差(4).协方差 BtX_ 0_2BtX BBtXtXtXD0_2_2 XXXBBCov2Xm2X 0XB XB0图2-5-8 随机过程数字特征第111页/共136页第一百一十一页，共136页。平稳随机过程(guchng)自相关函数的电路形式：延时积分平均电路 XB图 2-5-9 自相关仪第112页/共136页第一百一十二页，共136页。例2-14、设随机过程 的自相关函数为求的均值( jn zh)、均方值、方差和自协函数方差。解： tX 261425XB 5_BtX 290_2 BtX 425290BBtXD 614BBCovX第113页/共136页第一百一十三页，共136页。第六节 随机过程的联合(linh)概率分布 和互相关函数 讨论了单个随机(su j)过程的统计特性。 需要研究多个随机(su j)过程的统计特性。接收机输入输出信号噪声图2-6-1 接收机输入为信号与噪声第114页/共136页第一百一十四页，共136页。两个随机过程(guchng)的联合概率分布 两个随机过程(guchng) 和 的联合事件 其发生概率为 设概率密度函数分别为 和 ，定义此两个随机的 维联合分布函数为 tX tYmmYtttyyyf,.,;,.,2121nnXtttxxxf,.,;,.,2121mn mmnnmnmnXYytYytYxtXxtXPttttttyyyxxxF,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,111121212121 mmnnytYytYxtXxtX,.,;,.,1111 mmnnytYytYxtXxtXP,.,;,.,1111第115页/共136页第一百一十五页，共136页。 如果存在函数 满足： 则称为此两个随机(su j)过程的 维联合概率密度函数。nnmnXYttttttyyyxxxf,.,;,.,;,.,;,.,21212121mnxxyynnmnXYmnmnXYdvdvduduttttttvvuufttttttyyyxxxFnm.,.,;,.,;,.,;,.,.,.,;,.,;,.,;,.,112121112121212111 mnmnmnXYmnnnmnXYyyyxxxttttttyyyxxxFttttttyyyxxxf.,.,;,.,;,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,21212121212121212121mn第116页/共136页第一百一十六页，共136页。随机过程相互独立(dl)：若随机过程 和 满足或则称随机过程 和 相互独立(dl)。mmYnnXmnmnXYtttyyyFtttxxxFttttttyyyxxxF,.,;,.,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,2121212121212121mmYnnXmnmnXYtttyyyftttxxxfttttttyyyxxxf,.,;,.,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,2121212121212121 tX tY tX tY第117页/共136页第一百一十七页，共136页。联合严平稳(pngwn)随机过程若随机过程 和 的联合概率分布满足：或则称随机过程 和 是联合严平稳(pngwn)过程。 tX tYttttttttttttyyyxxxFttttttyyyxxxFmnmnXYmnmnXY,.,;,.,;,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,2121212121212121ttttttttttttyyyxxxttttttyyyxxxmnmnXYmnmnXY,.,;,.,;,.,;,.,.,;,.,;,.,;,.,2121212121212121 tX tY第118页/共136页第一百一十八页，共136页。互相关函数及其性质 设两个随机(su j)过程 和 ，在任意两个时刻 的状态分别为 ，则随机(su j)过程 和 的互相关函数定义为： tX tY tX tY21,tt 21,tYtX dxdyttyxxyftYtXEttBXYXY212121;, XYB0图2-6-2 互相关函数第119页/共136页第一百一十九页，共136页。 正交随机过程： 若两个随机过程 和 对任意(rny)两个时刻 都具有 则称随机过程 和 为正交随机过程。0,21ttBXY tX tY21,tt tX tY第120页/共136页第一百二十页，共136页。图2-6-3 随机(su j)相位的正弦和余弦正弦余弦(yxin)TTtt_11000sincos余弦第121页/共136页第一百二十一页，共136页。互不相关随机过程(guchng) 若两个随机过程(guchng) 和 对任意两个时刻 都具有 则称随机过程(guchng) 和 互不相关。 tX tY21,tt 2121tYEtXEtYtXEBXY tX tY必定不一定互为独立的随机过程互不相关的随机过程图2-6-4 随机过程独立与不相关第122页/共136页第一百二十二页，共136页。互协方差函数：互协方差函数与互相(h xing)关函数的关系： dxdyttyxftYtytXtxtYtYtXtXEttCovXYXY21_22_11_22_1121,;, _2_12121,tYtXttBttCovXYXY0 XYB XYCov _2_1tYtX图2-6-5 互协方差与互相关函数第123页/共136页第一百二十三页，共136页。联合宽平稳随机过程 如果两个(lin )随机过程 和 是宽平稳随机过程，且它们的互相关函数是任意两时刻 之差 的函数，即 则称随机过程 和 为联合宽平稳随机过程。 tX tY21,tt12tt 122121,ttBtYtXEttBXYXY tY tX第124页/共136页第一百二十四页，共136页。联合(linh)平稳随机过程互相关函数性质：(1)、证明： YXXYBB YXXYBtXtYEtYtXEB XYBYXB0图2-6-6 联合平稳过程的互相关函数互相(h xing)关函数非偶、奇函数第125页/共136页第一百二十五页，共136页。(2)、 证明：设 为任意实数，则有 对于(duy)任意 的二次方程大于零，则满足判别式 002YXXYBBB 002002022222YXYXBBBtXtYtXtYEtXtYE 000004422YXXYYXXYBBBBBB第126页/共136页第一百二十六页，共136页。 XYB0 XB0 YB0图2-6-7 自相关函数(hnsh)与互相关函数(hnsh)第127页/共136页第一百二十七页，共136页。(3)、证明：由性质(2)知对于(duy)正数，有所以有 。 0021YXXYBBB 00YXXYBBB 002100YXYXBBBB 0021YXXYBBB第128页/共136页第一百二十八页，共136页。联合宽各态历经(l jn)随机过程： 如果随机过程 和 是联合平稳的，时间互相关函数 如果 和 的时间互相关函数依概率1收敛于集合的互相关函数，即 则称随机过程 和 是联合宽各态历经(l jn)随机过程。 tY tX dttytxTtytxTTT21lim tytxBXY tY tX tX tY第129页/共136页第一百二十九页，共136页。例2-15 已知平稳随机过程：式中， 都是彼此独立的随机变量，且它们的均值都为零，方差都为6。试问 和 是联合宽平稳的吗？解： 和 的互相(h xing)关函数为所以， 和 不是联合宽平稳随机过程。 tVtUtXcossin tVtWtYcossin WVU, tX tY tY tX cos32cos3coscoscoscossincoscossinsinsincossincossin,22tttVEttVttVWttUVttUWEtVtWtVtUEtYtXEttBXY tX tY第130页/共136页第一百三十页，共136页。2.7 正态随机(su j)过程 由中心极限定理知，大量相互独立的、微小的随机变量之和都近视服从正态分布。 电子系统(包括(boku)无线电)中遇到最多的过程是正态随机过程。 (1)、电阻中热噪声 (2)、半导体器件中的散弹效益噪声 (3)、海杂波 (4)、地物杂波第131页/共136页第一百三十一页，共136页。正态随机过程的概念 定义：如果(rgu)随机过程 的任意 个时刻的状态构成的 维随机向量 是正态分布，则称它为正态随机过程或高斯随机过程。 正态随机过程的概率密度函数为 式中 为 维向量 tXn22122121121,.,;,.,mxCmxCTetttxxxfnnnXmx,n _2_1ntXtXtXmnxxx21xn ntXtXtX,.,21随机(su j)向量均值(jn zh)向量第132页/共136页第一百三十二页，共136页。 为 维矩阵( j zhn)Cn nnXnXnXnnnnnntXDttCovttCovttCovttCovtXDXXEXXXXEXXXXEXXXXEXXE1212112_22_11_22_112_11,C协方差阵第133页/共136页第一百三十三页，共136页。平稳(pngwn)正态随机过程 若正态随机过程的均值和方差都是与时间无关的常数，即 ，而协方差函数仅与时间差 有关，此时均值矩阵和协方差矩阵分别为 概率分布函数则为 该正态随机过程就是平稳(pngwn)随机过程。 2,XiXitXDmtXEiktt 2121212XnXnXnXXttCovttCovttCovttCovCXXXmmmmnnXnnnXtttxxxfetttxxxfT,.,;,.,21,.,;,.,2121221221211mxCmxC第134页/共136页第一百三十四页，共136页。 当平稳正态过程在个不同时刻 的状态，是两两互不相关(xinggun)的随机变量时，则有 概率密度函数为 此时正态随机过程的随机变量是独立的。nttt,.,21 ikmtXmtXEXkXi0nnXXXmxXnimxnXnnnXtxftxftxfeetttxxxfnXXiniXinX;.;2121,.,;,.,2211212122121212平稳正态过程(guchng)不相关等价与独立第135页/共136页第一百三十五页，共136页。感谢您的观看(gunkn)！第136页/共136页第一百三十六页，共136页。