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2.1 随机变量及其分布一、随机变量的概念例：袋中有3只黑球，2只白球，从中任意取出3只球，观察取出的3只球中的黑球的个数我们将3只黑球分别记作1，2，3号，2只白球分别记作4，5号，则该试验的样本空间为我们记取出的黑球数为，则的可能取值为1，2，3因此，是一个变量但是，取什么值依赖于试验结果，即的取值带有随机性，所以，我们称为随机变量的取值情况可由下表给出：样本点黑球数X样本点黑球数X（1，2，3）3（1，4，5）1（1，2，4）2（2，3，4）2（1，2，5）2（2，3，5）2（1，3，4）2（2，4，5）1（1，3，5）2（3，4，5）1由上表可以看出，该随机试验的每一个结果都对应着变量的一个确定的取值，因此变量是样本空间上的函数：我们定义了随机变量后，就可以用随机变量的取值情况来刻画随机事件例如表示取出2个黑球这一事件；表示至少取出2个黑球这一事件，等等定义2.1 定义在概率空间上，取值为实数的函数 称为上的一个随机变量随机变量的取值由样本点决定，反过来，取某一特定值的那些样本点的全体构成的一个子集，即同样，设为实数集的一个子区间，使得的值落在中的那些样本点全体也是的一个子集为了研究随机变量的统计规律，我们均假设这些子集是随机事件，也假设这些事件的可数并、交及补都是事件，并称这些事件为随机变量生成的事件注意：在同一个样本空间上可以定义不同的随机变量如：掷一枚骰子，我们定义了随机变量表示出现的点数我们还可以定义其它的随机变量，例如我们可以定义：，等等二、离散型随机变量的概率分布定义2.2 设是定义在概率空间上的一个随机变量，如果的全部可能取值只有有限个或可数无穷多个，则称是一个离散型随机变量要掌握一个离散型随机变量的统计规律，必须且只需知道的所有可能取的值以及取每一个可能值的概率定义2.3 设是离散型随机变量，其全部可能取值为，记 ，则称为的概率分布有时也将记为，用下列表格形式来表示，并称之为的概率分布表：离散型随机变量的概率分布必然满足下列性质：（1），；（2）特别地，对任意，有一般地，若是一个区间，则 分析、讲解教材例题，并适当补充下列例、习题：1（概全学P.61）一袋中有5个球，编号为1，2，3，4，5现从中一次取3个球，以表示取出的3个球中的最小号码，试求的概率分布分析：的可能取值为3，2，1，则的概率分布为1230.60.30.12（概典高P.50）设随机变量的概率分布为： ，则 1 分析：本题是求概率分布中所含的未知参数，这往往利用概率分布的性质：非负、累计和为1所以有3（概浙高P.40）设一汽车在开往目的地的道路上需经过四盏信号灯，每盏信号灯以1/2的概率允许或禁止汽车通过以表示汽车首次停下时，它已通过的信号灯的盏数，求的概率分布（分布律）(信号灯的工作是相互独立的).分析：以表示每组信号灯禁止汽车通过的概率，有的概率分布为：01234以代入，得012340.50.250.1250.06250.06254（概浙PPT）设离散型随机变量的分布律为012345求，分析：，小结：直接求离散型随机变量的概率分布，通常要借助于古典概型、加法公式、乘法公式、独立性等事件的概率计算公式试验的条件不同，如有放回抽取与无放回抽取方式不同，相应的随机变量的概率分布就不同求出的概率分布，可用来验证其正确性，也可利用它来确定分布律中的待定系数三、分布函数离散型随机变量的概率分布为离散型随机变量的统计规律提供了一目了然的描述然而对那些取值非可数的随机变量，如果同离散型随机变量一样，通过罗列取每一个值及其相应的概率来描述它们会遇到不可克服的困难其一，这类随机变量的非可数个取值无法一一列举出来；其二，取连续值的随机变量，它取某个特定值的概率往往是0不过，对连续值的随机变量，我们往往关心的是它的取值落在一定的范围（比如区间或区间的并）的概率，而不关心它取某个特定值的概率因此，对这类随机变量，我们希望能够对其取值落于任何一个区间上的概率给出描述分析、讲解教材例2.40xxX定义2.4 设是一随机变量，则称函数 ，为随机变量的分布函数，记作 对于任意实数，（），有因此，若已知的分布函数，我们就知道落在任意区间上的概率，在这个意义上，分布函数完整地描述了随机变量的统计规律性一个随机变量的分布函数的性质：（1）单调性 若，则；（2），；（3）右连续性 如果一个函数满足上述三条性质，则可以证明，它一定可以作为某一随机变量的分布函数通常将满足上述三条性质的函数都称为分布函数例（概浙PPT）设随机变量的分布函数为 ，试求常数，分析：由分布函数的性质，有，解方程组得四、离散型随机变量的分布函数一个离散型随机变量的分布也可由分布函数来描述，事实上其概率分布与分布函数能够相互确定分析教材例题由例2.6可知是一个阶梯形的函数，它在的可能取值点处发生跳跃，跳跃高度等于相应点处的概率，而在两个相邻跳跃点之间分布函数值保持不变这一特征实际上是所有离散型随机变量的共同特征反过来，如果一个随机变量的分布函数是阶梯型函数，则一定是一个离散型随机变量，其概率分布可由分布函数惟一确定：的跳跃点全体构成的所有可能取值，每一跳跃点处的跳跃高度则是在相应点处的概率分析、讲解以下例、习题：1（概浙PPT）设随机变量的概率分布为：231/41/21/4求的分布函数.分析： 从而,，2（概全学P.65）设随机变量的的分布函数为，求的概率分布分析：显然分布函数是跳跃的阶梯型在间断点处就是的可能取值点，故的可能取值为，1，3，从而 ， ，这从的图形更易直观看出，即为在处的跳跃高度130.40.40.2小结：用分布函数计算某些事件的概率设是随机变量的分布函数，则（1）；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）（7）；（8）五、连续型随机变量及其概率密度定义2.5 一个随机变量称为连续型随机变量，如果存在一个非负可积函数，使得 ，并称为的概率密度函数，简称为密度函数密度函数的性质：（1），；（2）一个函数满足上述两个性质，一定可以作为某一连续型随机变量的密度函数对于一个给定的连续型随机变量，如果已知其密度函数，根据定义2.5，自然可以求得其分布函数同时，可以通过密度函数的积分来求的取值落于任意区间上的概率 由上式可知，对于连续型随机变量，对任意实数，有（证明：设的分布函数为，则由得，在上述不等式中令，并注意到为连续型随机变量，其分布函数也是连续的，即得）据此，在计算连续型随机变量落在某一区间的概率时，可以不必区分该区间是开区间或闭区间或半闭区间例如有注意：若是不可能事件，则有；反之若，并不一定意味着是不可能事件连续型随机变量函数的分布函数及其与密度函数的关系：连续型随机变量的分布函数一定是连续函数，但分布函数连续的随机变量不一定是连续型由密度函数通过积分可确定分布函数，虽然分布函数不能确定唯一的密度函数，但在几乎处处相等的意义下是唯一的，且在密度函数连续点处有由此可以利用分布函数来计算密度函数分析、讲解教材例2.8，注意讲解分布函数导数不存在点处其密度函数定义的补充并适当补充以下例、习题：1（概典高P.55）已知连续型随机变量的密度函数为，求的分布函数及分析：当时，；当时，2（概人大P.41）已知连续型随机变量有密度函数求系数及分布函数，并计算分析：，有3（概浙PPT）设连续型随机变量的分布函数为，试求的密度函数分析：作业：2.2 随机变量的数字特征前面讨论了随机变量的分布函数，我们看到分布函数能够完整地描述随机变量的统计特性但在一些实际问题中，不需要去全面考察随机变量的变化情况，而只需知道随机变量的某些特征，因而并不需要求出它的分布函数例如，在评定某一地区粮食产量的水平时，在许多场合只要知道该地区的平均产量；又如在研究水稻品种优劣时，时常是关心稻穗的平均稻谷粒数；再如检查一批棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，又需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度，平均长度较大、偏离程度较小，质量就较好从上面的例子看到，与随机变量有关的某些数据，虽然不能完整地描述随机变量，但能描述随机变量在某些方面的重要特征这些数字特征在理论和实践上都具有重要的意义本节主要介绍随机变量的常用数字特征：数学期望、方差数学期望主要反映随机变量取值的平均水平引例：某班有个人，其中考试有个人得分为（），求平均成绩解：平均成绩为，若用表示成绩，则，有一、离散型随机变量的数学期望定义2.6 若离散型随机变量的可能值为（），其概率分布为 ，则当时，称为随机变量的数学期望（简称期望），也称为的均值，记作，也可记作说明：（1）的数学期望刻画了变化的平均值；（2）由于随机变量的数学期望表示的是随机变量变化的平均值，因此，只有当级数绝对收敛时，才能保证级数的和与其级数的求和顺序无关分析、讲解例2.9并适当补充下列例、习题：1（概浙高P.110）甲、乙两人进行打靶，所得分数分别记为，它们的概率分布分别为01201200.20.80.60.30.1试评定他们的成绩的好坏分析：（这意味着如果甲进行很多次射击，所得分数的算术平均就接近于1.8），所以甲比乙强2（概解世P.71）袋内有三个1号球，一个2号球与两个3号球，从中一次取出三个球，记表示取到三个球中的最大号数计算分析：首先求的分布，是一个离散型随机变量，它可以取1，2，3共三个值，有，（或），二、连续型随机变量的数字特征由和式极限（定积分）求平均值的方法引出连续型随机变量的数学期望定义2.7 若为连续型随机变量，为其密度函数，如果 ，则称为随机变量的数学期望（简称期望），也称均值记作，也可记作 讲解教材P.44例题例（补）（概浙PPT）设随机变量的密度函数为 ，试求 分析：，这表明积分不绝对收敛，因而不存在三、随机变量函数的数学期望在实际中，我们常对某些变量的函数更感兴趣例如，在一些试验中，所关心的随机变量往往不能直接测量得到，而它却是某个能直接测量的随机变量的函数比如我们能测得圆轴截面的直径，而关心的却是截面面积设是一个随机变量，是任意实函数，则与复合成，也是一个随机变量本节主要讨论如何由的分布求其函数的数学期望定理2.1 设是一个随机变量，是一个实函数（1）若为离散型随机变量，概率分布为 ，且，则存在，且（2）若为连续型随机变量，是其密度函数，且，则存在，且定理的重要意义在于当我们求时，不必得出的概率分布或密度函数，而只需利用的概率分布或密度函数就可以了分析、讲解教材例题，并视情况补充下列例、习题：1（概解世P.74）已知离散型随机变量的概率分布为-2-1011/61/31/31/6试计算：（1）；（2）；（3）；（4）；（5）分析：（1）；（2）；（3）；（4）；（5） 说明：从本例中看到，随机变量平方的期望与该随机变量期望的平方一般是不相等的更一般地，一个随机变量函数的期望与该随机变量期望的同一函数，往往也是不相等的，即与一般不相等2（概浙高P.117）设风速在上服从均匀分布，即具有密度函数又设飞机机翼受到的正压力是的函数：（，常数），求的数学期望分析：四、数学期望的性质（1）对任意常数，有；（2）设，为任意实数，为任意实函数，如果，均存在，则；（3）如果存在，则对任意实数，有五、随机变量的方差引例：有一批灯泡，知其平均寿命是（小时）仅由这一指标我们还不能判定这批灯泡的质量好坏事实上，有可能其中绝大部分灯泡的寿命都在9501050小时；也有可能其中约有一半是高质量的，它们的寿命大约有1300小时，另一半却是质量很差，其寿命大约只有700小时，为要评定这批灯泡质量的好坏，还需进一步考察灯泡寿命与其均值的偏离程度若偏离程度较小，表示质量比较稳定，从这个意义上讲我们认为质量较好前面也曾提到在检验棉花的质量时，既要注意纤维的平均长度，还需要注意纤维长度与平均长度的偏离程度由此可见，研究随机变量与其均值的偏离程度是十分必要的那么，用怎样的量去度量这个偏离程度呢？容易看到 能度量随机变量与其均值的偏离程度但由于上式带有绝对值，运算不方便为运算方便起见，通常是用量 来度量随机变量与其均值的偏离程度定义2.8 设为一个随机变量，其数学期望存在，则称为的离差，进一步，如果也存在，则称为随机变量的方差，记作或Var，也可记作，并称为的标准差若为离散型随机变量，其概率分布为，则 ；若为连续型随机变量，为其密度函数，则 此外，也常通过来计算方差注：方差描述了随机变量的取值与其数学期望的偏离程度，且方差的一些基本性质：设的方差存在，为任意常数，则（1）；（2）；（3），特别地分析、讲解教材例题并视情况补充下列例、习题：1（概解世P.75）设连续型随机变量的密度函数为 ，计算分析：， ，2（概浙PPT）甲、乙两人射击，所得环数分别记为，它们的概率分布分别为891089100.30.20.50.20.40.4试问哪个人的射击水平较高？分析：平均环数，从平均环数上看两人的射击水平是一样的但两人射击环数的方差分别为，由于，这表明乙的射击水平比甲稳定3.(04-05)已知随机变量，方差，求分析：，则 六、随机变量的矩与切比雪夫不等式数学期望和方差可以纳入一个更一般的概念范畴中，那就是随机变量的矩定义2.9 为一随机变量，为正整数，如果存在（即），则称为的阶原点矩，称为的阶绝对矩定理2.2 随机变量的阶矩存在，则其阶矩（）也存在推论 设为正整数，为常数，如果存在，则存在，特别地，存在定义2.10 为一随机变量，为正整数，如果存在，则称为的阶中心矩，称为的阶绝对中心矩显然，数学期望是的一阶原点矩，方差是的二阶中心矩而且，根据定理2.2及其推论知：如果，则的数学期望和方差均存在定理2.3 设是的一个非负函数，是一个随机变量，且存在，则对任意，有推论1（马尔可夫不等式）设的阶矩存在，即，则对任意有 推论2（切比雪夫（Chebyshev）不等式） 设的方差存在，则对任意有 切比雪夫不等式也可写成如下形式：这个不等到式给出了，在随机变量的分布未知的情况下事件概率的下限估计推论3 随机变量的方差为当且仅当存在一个常数，使得2.3 常用的离散型分布一、退化分布一个随机变量以概率1取某一常数，即，则称服从处的退化分布 服从退化分布的充要条件是若服从处的退化分布，则二、两点分布一个随机变量只有两个可能取值，设其分布为 ，则称服从，处参数为的两点分布易知：，特别地，如果服从，处的参数为的两点分布，即 ，通常称为服从参数为的两点分布或称服从参数为的分布，也称是参数为的伯努利随机变量此时，三、个点上的均匀分布有一类特殊的随机变量，它共有个不同的可能取值，且取每一个值的可能性相同，即有 ，则称服从个点上的均匀分布容易求得：，四、二项分布在重伯努利试验中，每次试验中事件发生的概率为（），为次试验中事件发生的次数，则的可能取值为且对每一个（），事件即为“在次试验中事件恰好发生次”，根据伯努利概型，有 ，一般地，如果一个随机变量的概率分布由上式给出，则称服从参数为，的二项分布，并记作，且记显然，当时，二项分布实际上就是参数为的分布二项分布的数学期望，讲解教材P.53例2.18补充例、习题：1（概浙PPT）一张考卷上有5道选择题，每道题列出4个可能答案，其中只有一个答案是正确的某学生靠猜测至少能答对4道题的概率是多少？分析：每答一道题相当于做一次Bernoulli试验，则答5道题相当于做5重Bernoulli试验设为该学生靠猜测能答对的题数，则， 2（概全学P.64）设某机器加工一种产品的次品率为0.1，检验员每天检验4次，每次随机地抽取5件产品进行检验，如果发现次品多于1件，就要调整机器，求一天中调整机器次数的概率分布分析：检验员每次抽取5件检查，其次品数服从二项分布，即而当时就去调整机器因此每次检验其结果只有两种可能：调整机器或不调整机器每天检验4次，就相当于是作4次伯努利试验若设调整机器次数为随机变量，则也应服从二项分布，其 ，随机变量，其概率分布为，五、几何分布在独立重复试验中，事件发生的概率为，设为直到发生为止所进行的试验次数，显然的可能取值是全体正整数，由定理1.4（P.28）知其分布为 ，由于是一个几何数列（或称等比数列），因而将以上式为概率分布的随机变量称为服从参数为的几何分布有， 1（概浙PPT）对同一目标进行射击，设每次射击时的命中率为0.64，射击进行到击中目标时为止，设为所需射击次数试求随机变量的概率分布，并求至少进行2次射击才能击中目标的概率分析：的取值为，由独立性得的概率分布，2.(概谢高P.66)一个人要开门，他共有把钥匙，其中仅有一把是能打开此门的，现随机地从中取出一把钥匙来试开门，在试开时每一把钥匙均已的概率被取用问此人直到第次试开门时方才成功的概率是多少？分析：令=“试开门成功”，则每次试开门是的伯努利试验，由几何分布，得所求概率为几何分布有一个有趣的性质，若的分布律为，则对任意两个正整数，有（证明见例2.19）可以这样来解释上式的意义：若在前次伯努利试验中事件没有发生（），那么在随后的次伯努利试验中事件不发生的概率与它的最初的前次伯努利试验中事件不发生的概率相等意即，对随后的记忆来说，不成功的信息是被“忘记”了在这个意义上称几何分布具有“无记忆”性六、超几何分布例（概人大P.84）若一班有学生20名，其中有3名女同学，从班上任选4名去参观，求被选到的女同学人数这一随机变量的分布律解：可以取0，1，2，3这四个值有，概率分布为01230.49120.42110.08420.0035定义：设个元素分为两类，有个属于第一类，个属于第二类（）从中按不重复抽样取个，令表示这个中第一（或二）类元素的个数，则的分布称为超几何分布其概率分布为 ，利用组合有性质可以验证有，二项分布现超几何分布之间的关系：当时，且，则对任意给定的和，有可见，对于超几何分布，当很大而相对于是比较小时，可以用二项分布公式近似计算，其中七、泊松（Poisson）分布如果一个随机变量的概率分布为 ，其中为参数，则称服从参数为的泊松分布，记作有，泊松分布常见于所谓稠密性的问题中如一段时间内，电话用用户对电话台的呼唤次数、候车的旅客数、原子放射粒子数、织机上断头的次数、零件铸造表面上一定大小的面积内砂眼的个数等等例 服从泊松分布，查表求，解：泊松分布的参数就是它的期望值，故，查表得，例（概典高P.57）设随机变量服从参数为的泊松分布，则下列条件中导出参数的条件是（ C ）（A）；（B）；（C）；（D）解：因对泊松分布，有，故（A）、（B）均不正确由于，易知当时，二项分布与泊松分布之间的近似关系：定理2.4（泊松定理）在重伯努利试验中，事件在每次试验中发生的概率为（注意这与试验的次数有关），如果时，（为常数），则对任意给定的，有 由此可知，当二项分布的参数很大，而很小时，可以将它用参数为的泊松分布来近似泊松分布的方便之处在于有现成折分布表可查，免去复杂的计算注意：在采用泊松分布时，的值不能太大，因为当过大时，因子就会很小，这会估计值勤都接近0分析、讲解教材例题，并视情况补充下列例、习题：1（概浙高P.45）设有80台同类型的设备，各台工作是相互独立的，发生故障的概率都是0.01，且一台设备的故障能由一个人处理.考虑两种配备维修工人的方法： 其一，由4人维护，每人负责20台； 其二，由3人,共同维护80台.试比较这两种方法在设备发生故障时不能及时维修的概率的大小.分析：按第一种方法以记“第1人负责的20台中同一时刻发生故障的台数”，则以表示事件“第人负责的台中发生故障不能及时维修”，则知80台中发生故障而不能及时维修的概率为：（或用泊松分布近似） 按第二种方法以记80台中同一时刻发生故障的台数，此时，故80台中发生故障而不能及时维修的概率为：（或用泊松分布近似）我们发现，在后一种情况尽管任务重了（每人平均维护27台），但工作效率不仅没有降低，反而提高了3（概人大P.87）检查了100个零件上的疵点，结果如表：疵点数0123456频 数14272620733试用泊松分布公式计算疵点数的分布，并与实际检查结果比较分析：因泊松分布的参数就是它的期望值，故（讲此题的主要目的就是计算参数）计算或查表并与频率比较，列表如下：疵点数0123456频 数14272620733频 率0.140.270.260.200.070.030.03概 率0.13530.27070.27070.18040.09020.03610.01202（概学湖P.51）某地区疾病资料统计表明，因感冒而导致死亡的比例为0.2%（死因独立）现有1000人患感冒求（1）恰有4人死亡的概率；（2）死亡人数不超过2人的概率解一：设1000人中死亡人数为，可取的值为0，1，2，1000将问题看作重伯努利试验，即，则；解二：，；解三：设服从超几何分布这时，需要选取，比如取，则，而是题中给出有；对比以上三种解法2.4 常用的连续型分布一、均匀分布一个随机变量，如果其密度函数为 ，则称服从上的均匀分布，记作上均匀分布的惟一特征是密度函数在以外为0，而在上为常数在区间上服从均匀分布的随机变量，具有下述意义的等可能性，即它落在区间中任意等长度的子区间内的可能性是相同的，或者说它落在的子区间内的概率只依赖于子区间的长度而与子区间的位置无关事实上，对于任意长度的了区间，有均匀分布的分布函数，例（概谢高P.96）随机地向区间投掷一点，为其横坐标，试求关于的二次方程有实根的概率解：由题意知在上服从均匀分布，其密度函数为方程有实根的充要条件是，即，故方程有实根的概率为2（概全学P.71）设随机变量在上服从均匀分布现对进行三次独立观察，试求至少有两次观察值大于3的概率分析：已知，对进行三次独立观察，相当于3次独立重复试验“观察值大于3”即事件，求事件至少发生两次的概率设为三次独立观察中事件发生的次数显然因（，区间总长度为3，而子区间长度为2），于是所求概率为 3（概浙PPT）设公共汽车站从上午7时起每隔15分钟来一班车，如果某乘客到达此站的时间是7:00到7:30之间的均匀随机变量试求该乘客候车时间不超过5分钟的概率分析：设该乘客于7时分到达此站则，密度函数为令候车时间不超过5分钟，则二、指数分布指数分布通常用来描述对某一事件发生的等待时间，比如，乘客在公共汽车站等车的时间，灯泡的使用寿命，电话交换台收到两次呼叫的时间间隔在离散型分布中，几何分布用来描述伯努利试验中，直到某事件发生为止共进行的试验次数如果将每次试验视为经历一个单位时间，那么直到事件发生为止进行的试验次数可视为直到发生为止的等待时间（离散时间）在这个意义下，指数分布可视为离散型情形的几何分布在连续型情形下的推广定义：一个随机变量，如果其密度函数为 ，其中为参数，则称服从参数为的指数分布，记作指数分布的分布函数为，定理2.5（无记忆性）非负连续型随机变量服从指数分布的充要条件是：对任意正实数和，有例（概学湖P.103）设某地连续两次地震之间相隔年数为，它具有指数分布现在，该地区刚发生一次强地震，试求：（1）今后3年内发生强地震的概率；（2）今后35年内发生强地震的概率解：（1）；（2）三、正态分布（高斯分布）定义：一个连续型随机变量，如果其密度函数为 ，其中，为常数，且则称服从参数为和的正态分布，记作 注：高斯（Gauss，Carl Friedrich），数学、天文、物理、大地测量学家，德国人，1777.4.301855.2.23)正态分布的两个参数实际上分别为其数学期望（）和方差（）正态分布的密度函数的性质：（1）曲线关于对称这表明对于任意有；（2）当时取到最大值离越远，的值越小这表明对于同样长度的区间，当区间离越远，落在这个区间上的概率越小（3）曲线在处有拐点，曲线以轴为渐近线（4）若固定，而改变的值，则的图形沿轴平行移动，但不改变其形状，因此图形的位置完全由参数所决定称为位置参数（5）若固定，而改变的值，由于的最大值为，可知，当越小，图形越陡，因而落在附近的概率越大；反之，当越大，图形越平坦，这表明的取值越分散正态分布的重要性正态分布是概率论中最重要的分布，这可以由以下情形加以说明：正态分布是自然界及工程技术中最常见的分布之一，大量的随机现象都是服从或近似服从正态分布的可以证明，如果一个随机指标受到诸多因素的影响，但其中任何一个因素都不起决定性作用，则该随机指标一定服从或近似服从正态分布正态分布有许多良好的性质，这些性质是其它许多分布所不具备的正态分布可以作为许多分布的近似分布正态分布的分布函数 标准正态分布 当，时，即，称服从标准正态分布，其密度函数记作，即 标准正态分布函数有：（1），即的图形关于轴对称；（2）；（3）密度函数在达到最大值：例（概人大P.93），查标准正态分布密度函数值表有，例（概浙PPT、人大P.95）设随机变量，有,，, ；一般地，当时，当时，讲解教材例2.23一般正态分布与标准正态分布的关系定理2.6 设，为常数，且，则 推论1 如果，则证明：的分布函数为 ，令，得推论2 的充要条件是存在一个随机变量，使得推论3 设，分别为其分布函数与密度函数，是标准正态分布的分布函数和密度函数，则有 ，由上述推论得：若，则它的分布函数可写成：对于任意区间，有分析、讲解教材例2.24、2.25，并适当补充下列例、习题：1（概浙PPT）设随机变量，试求，分析： ；2（概04-05）已知随机变量，则下列随机变量中，服从分布的是（ B ）（A）；（B）；（C）；（D）分析：由推论2得出3（概全学P.69）若随机变量服从均值为2，方差为的正态分布，且，则 0.2 分析：由题设，其密度函数关于对称，已知，就有，而，故4（概全学P.70）设随机变量服从正态分布，则随的增大，概率（ C ）（A）单调增大； （B）单调减小； （C）保持不变； （D）增减不定分析：若，其概率密度函数的图形随，的不同而不同但是，当把标准化后，即，服从标准正态分布，其密度就与无关了本题所求概率为，显然该概率与无关了正态分布的应用举例*1（概陈清P.112）设测量误差，现进行100次独立测量，求误差的绝对值超过19.6的次数不小于3的概率分析：第一步：求任意一次测量中误差绝对值超过（即大于）19.6的概率因为，将标准化，即有第二步：设为100次测量中事件出现的次数，显然，即，的二项分布，分布律为（）所求概率为第三步：由于上式不好计算，但这里很大，较小，故可用泊松分布近似代替二项分布，所以2（概陈清P.115）某单位招聘155人，按考试成绩录用，共有526人报名，假设报名者的考试成绩已知90分以上的有12人，60分以下的有83人，若从高分到低分依次录取，某人成绩为78分，问此人能否被录用？分析：先求和由，又，反查标准正态分布表得 （1）同样，反查标准正态分布表得 （2）由（1），（2）式联立解出，某人成绩78分，能否被录取，关键在于录取率，已知录取率为看是否能录取，解法有两种方法一 看因为（录取率），故此人能被录取方法二 看录取分数限设被录用者的最低分数限为，则，而反查标准正态分布表得 故，此人能被录取2.5 随机变量函数的分布一、随机变量的函数我们常常遇到一些随机变量，它们的分布往往难于直接得到（如滚珠体积的测量值等），但是与它们有关系的另一些随机变量，其分布却是容易知道的（如滚珠直径的测量值）因此，要研究随机变量之间的关系，从而通过它们之间的关系，由已知的随机变量的分布求出与之有关的另一个随机变量的分布这就是本节的主要任务定义：一般地，如果存在一个函数，使得随机变量，满足 ，则称随机变量是随机变量的函数二、离散型随机变量函数的分布离散型随机变量的函数显然还是离散型随机变量设是离散型随机变量，其概率分布为或是的函数，则也是离散型随机变量，它的取值为其中如何求离散型随机变量的函数的分布函数？第一种情形：如果两两不相同，则由 可知随机变量的分布为，或第二种情形：如果有相同的项，则把这些相同的项合并（看作是一项），并把相应的概率相加，即可得到随机变量的概率分布例、习题（概浙PPT）：1设离散型随机变量的分布律为-3-102691/2525/25215/25235/25270/252126/252随机变量，试求的分布解：由于随机变量对应于的取值为-9，-5，-3，1，9，15，这些取值两两互不相同，则有离散型随机变量的分布律为-9-5-319151/2525/25215/25235/25270/252126/252 2设随机变量具有以下的分布律，试求的分布-10120.20.30.10.4解：有可能的取值为0，1，4由对应关系有的分布为0140.10.70.23设离散型随机变量的分布律为12，试求随机变量的分布解：，故随机变量的分布为-11 简要介绍例2.27三、连续型随机变量函数的分布一般说来，连续型随机变量的函数不一定是连续型随机变量这时讨论随机变量函数的分布的目标是导出其分布函数，这里主要讨论连续型随机变量的函数还是连续型的情形解题思路：（1）先求的分布函数（2）利用的分布函数与密度函数之间的关系求的密度函数分析、讲解教材例题，并适当补充下列例、习题：1（概浙PPT）设随机变量具有概率密度：试求的概率密度分析：(1)先求的分布函数：，（2）利用可以求得： 本例用到变限的定积分的求导公式如果，则2（概浙PPT）设随机变量具有概率密度（），求的概率密度分析：（1）先求的分布函数：（a）由于，故当时；（b）当时，（2）利用及变限定积分求导公式可以求得例如，设，其概率密度为：（），则其的概率密度为此时称服从自由度为1的分布（见教材P.66例2.29）已知的分布，求的分布当为连续型随机变量时，通常分两种情况考虑：1定义法：已知的分布函数，求的分布函数可用定义做 2公式法：已知的密度函数，求的密度函数可用下面定理的结论定理 设随机变量具有概率密度（），又设函数处处可导且恒有（或恒有），则是一个连续型随机变量，其概率密度为，其中，是的反函数已知的分布函数或密度函数，求的分布函数或密度函数其关系如下：用定义求导积分用公式求导积分用定理验证前面例、习题并视情况补充以下例、习题：1（概陈清P.125）已知随机变量服从参数为的指数分布，函数，求的分布分析：因为，即知，（）方法1 先求，用定义当时，当时，由于时，只考虑时，在上，单调增加，所以，整个表达式为因为，所以 方法2 由直接求，用公式当时，；当时，由于时，只考虑，在上，单调增加，所以，整个表达式为 求，可以求积分在上，整个表达式为 2（概全学P.76）设随机变量的概率密度为，求随机变量的概率密度分析：先求分布函数所以 ，（注：本题中的其实不必具体求出来，只要写成积分形式即可，然后利用对求导即可得表达式）公式法：3（概全学P.77）设随机变量的密度函数为 求随机变量的分布函数与密度函数分析：由于不是单调函数，故用分布函数法（定义法）先求当时，；因为时，所以，对应的应小于2故当时，有而当时，必然有，所以 因此，的概率密度为 注：对于非单调函数的分布，不能直接套用公式，此时，一般应先考虑随机变量在何范围内，从而求出，而在此范围之外，取值为0或1 友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！39 / 39
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