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第一节 数列的极限一、数列及其简单性质二、数列的极限三、数列极限的性质第1页/共35页 . )( 为定义域的函数是以正整数集设Znf , )( | )( NnnfxxZffnn的值域将 , 增大的次序排列出来所按自变量中的元素nxn 得到的一串数： , , , ,21nxxx称为一个数列, 记为 xn .1. 定义一、数列及其简单性质 数列也称为序列第2页/共35页公式法图示法表格法 运用数轴表示运用直角坐标系表示第3页/共35页介绍几个数列xn0242nx1x2 x 例1 ,2 , , 8 , 4 , 2 :2 ) 1 (nn .2 :nnx 通项第4页/共35页xnx2x1n214121x0 x381 ,21 , ,81 ,41 ,21 :21 )2(nn.21 :nnx 通项第5页/共35页011nx212nxx,) 1( , , 1 , 1 , 1 , 1 :) 1( )3(11nn.) 1( :1nnx通项第6页/共35页xn1211M3x1xnx2x4x212 nx 0,) 1(1 , ,31 , 0 ,21 , 0 , 1 , 0 :) 1(1 )4(nnnn.) 1(1 nxnn通项：第7页/共35页1xnx3x2x1x02132431nn ,1 , ,43 ,32 ,21 :1 )5(nnnn.1 :nnxn通项第8页/共35页3. 数列的性质单调性有界性第9页/共35页则称满足若 , 21nnxxxx(1) 数列的单调性 . , nnxx记为严格单调增加则称满足若 , 21nnxxxx . , nnxx也记为单调增加数列单调减少的情形怎么定义？ 有谁来说一说.第10页/共35页则称满足若 , 21nnxxxx . , nnxx记为严格单调减小则称满足若 , 21nnxxxx . , nnxx也记为单调减小第11页/共35页严格单调增加(单调增加)严格单调减少(单调减少)单调增加(不减少的)单调减少(不增加的)统称为单调数列数列第12页/共35页回想一下前面讲过的函数的有界性的情形我学过吗 ？第13页/共35页, | )(| , I , 0 成立有时使得当若MxfxM . I )( 上有界在区间则称函数xfOxyMMMy My()I)(xfy 第14页/共35页 , , | , 0 成立使得若NnMxMn . . 是无界的否则称有界则称数列nnxx数列的有界性的定义如何定义数列无界？ 有界的数列在数轴上和在直角坐标系中的图形会是什么样子？想想：第15页/共35页| xn | 0, 不论它的值多么小,当 n 无限增大时, 数列 xn 总会从某一项开始, 以后的所有项都落在 U(0, ) 中. 0 010) 1( |0 | nnnx , 0 N（在 U(0, ) 外面只有有限项） , 时当Nn 第29页/共35页 0 010) 1(nn , 0 N , 时当Nn :010) 1(limnnn其中,是描述点 xn 与点 0 无限接近的0度量标准, 它是预先任意给定的, 与xn的极限存在与否无关. . , 本身取决于数列是否存在nxNNN , ; ,则数列无极限存在则数列有极限不存在. , , NN所有大于则其不唯一存在如果 , .有关与并且的正整数均可取作为NN , , ),( 则值越小一般说来可记为NN . 的值越大N第30页/共35页由 N 存在与否判断数列的极限是否存在. n N 描述 n .通过目标不等式来寻找 N 0 ,N = N().不等式010) 1(nn称为目标不等式.第31页/共35页.limaxnn一般地, 如果数列xn 当 n 时, 列xn 当 n 时以 a 为极限, 记为xn 可以无限地趋近某个常数 a, 则称数此时, 也称数列是收敛的.第32页/共35页例4nn21limnnn)1(1lim1limnnn001第33页/共35页若 xn 当 n 时没有极限, 则称 xn 发散.,0若,0N时,使当 Nn |axn记为 ,limaxnn或. )( naxn此时, 也称数列 xn 是收敛的. , ,时的极限当为数列则称数成立nxan数列极限的定义：第34页/共35页感谢您的观看。第35页/共35页
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