2018年高考数学 专题8.1 空间几何体试题 文.doc

专题8.1 空间几何体【三年高考】1. 【2017课标II，文6】如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实线画出的是某几何体的三视图，该几何体由一平面将一圆柱截去一部分后所得，则该几何体的体积为A. B. C. D. 【答案】B【解析】由题意，该几何体是由高为6的圆柱截取一半后的图形加上高为4的圆柱，故其体积为，故选B.2. 【2017课标3，文9】已知圆柱的高为1，它的两个底面的圆周在直径为2的同一个球的球面上，则该圆柱的体积为（ ）ABC D【答案】B【解析】如果，画出圆柱的轴截面，所以，那么圆柱的体积是，故选B.3. 【2017天津，文11】已知一个正方形的所有顶点在一个球面上，若这个正方体的表面积为18，则这个球的体积为 .【答案】 【解析】设正方体边长为 ，则 ，外接球直径为. 4. 【2017课标1，文16】已知三棱锥S-ABC的所有顶点都在球O的球面上，SC是球O的直径若平面SCA平面SCB，SA=AC，SB=BC，三棱锥S-ABC的体积为9，则球O的表面积为_【答案】5. 【2017江苏，6】 如图,在圆柱内有一个球,该球与圆柱的上、下面及母线均相切.记圆柱的体积为,球的体积为,则的值是 .OO1O2(第6题) 【答案】 【解析】设球半径为，则故答案为6【2016高考新课标1卷】如图,某几何体的三视图是三个半径相等的圆及每个圆中两条相互垂直的半径.若该几何体的体积是,则它的表面积是（ ）（A） （B） （C） （D）【答案】A【解析】该几何体直观图如图所示：是一个球被切掉左上角的,设球的半径为,则,解得,所以它的表面积是的球面面积和三个扇形面积之和故选A7. 2016高考新课标文数在封闭的直三棱柱内有一个体积为的球，若，则的最大值是（ ）（A）4 （B） （C）6 （D） 【答案】B【解析】要使球的体积最大，必须球的半径最大由题意知球的与直三棱柱的上下底面都相切时，球的半径取得最大值，此时球的体积为，故选B82016高考新课标文数如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗实现画出的是某多面体的三视图，则该多面体的表面积为（ ）（A） （B） （C）90 （D）81【答案】B【解析】由三视图该几何体是以侧视图为底面的斜四棱柱，所以该几何体的表面积，故选B9【2016高考山东文数】一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示.则该几何体的体积为（ ）（A）（B） （C）（D）【答案】C【解析】由已知，半球的直径为，正四棱锥的底面边长为1，高为1，所以其体积为，选C.10. 【2015高考新课标1，文6】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有委米依垣内角，下周八尺，高五尺，问：积及为米几何？”其意思为：“在屋内墙角处堆放米（如图，米堆为一个圆锥的四分之一），米堆底部的弧长为8尺，米堆的高为5尺，米堆的体积和堆放的米各为多少？”已知1斛米的体积约为1.62立方尺，圆周率约为3，估算出堆放的米有（ ）（A）斛 （B）斛 （C）斛 （D）斛【答案】B【解析】设圆锥底面半径为r，则，所以，所以米堆的体积为=，故堆放的米约为1.6222，故选B.11. 【2015高考四川，文14】在三棱住ABCA1B1C1中，BAC90，其正视图和侧视图都是边长为1的正方形，俯视图是直角边长为1的等腰直角三角形，设点M，N，P分别是AB，BC，B1C1的中点，则三棱锥PA1MN的体积是_.【答案】【解析】由题意，三棱柱是底面为直角边长为1的等腰直角三角形，高为1的直三棱柱，底面积为如图，因为AA1PN，故AA1面PMN，故三棱锥PA1MN与三棱锥PAMN体积相等，三棱锥PAMN的底面积是三棱锥底面积的，高为1故三棱锥PA1MN的体积为12.【2015高考湖南，文18】如图4，直三棱柱的底面是边长为2的正三角形，分别是的中点。（I）证明：平面平面；（II）若直线与平面所成的角为，求三棱锥的体积。【解析】（I）如图，因为三棱柱是直三棱柱，所以，又是正三角形 的边的中点，所以，因此平面，而平面，所以平面平面.（II）设的中点为，连接，因为是正三角形，所以，又三棱柱是直三棱柱，所以，因此平面，于是直线与平面所成的角，由题设知，所以，在中，所以，故三棱锥的体积。【2017考试大纲】空间几何体(1)认识柱、锥、台、球及其简单组合体的结构特征,并能运用这些特征描述现实生活中简单物体的结构.(2)能画出简单空间图形(长方体、球、圆柱、圆锥、棱柱等的简易组合)的三视图,能识别上述三视图所表示的立体模型,会用斜二侧法画出它们的直观图.(3)会用平行投影与中心投影两种方法画出简单空间图形的三视图与直观图,了解空间图形的不同表示形式.(4)会画某些建筑物的视图与直观图(在不影响图形特征的基础上,尺寸、线条等不作严格要求).【三年高考命题回顾】纵观前三年各地高考试题, 几何体的三视图是高考的热点，题型多为选择题、填空题，难度中、低档主要考查几何体的三视图，以及由三视图构成的几何体，在考查三视图的同时，又考查了学生的空间想象能力及运算与推理能力对简单几何体的考查，主要考查简单几何体的概念、求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.【2018年高考复习建议与高考命题预测】由前三年的高考命题形式可以看出 ,要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，会等体积转化求解问题，会把立体问题转化为平面问题求解，会运用“割补法”等求解.球的组合体问题是高考必考内容之一，每年都涉及，试题难度在中等，有时在压轴题的位置，从整体上来看，试题难度理科比文科要大，主要考查学生的画图能力，空间想象能力，运算能力及逻辑推理能力，空间几何体的表面积、体积等问题是高考的热点，题型既有选择题、填空题，又有解答题，难度为中、低档客观题主要考查由三视图得出几何体的直观图，求其表面积、体积或由几何体的表面积、体积得出某些量；主观题考查较全面，考查线、面位置关系，及表面积、体积公式，无论是何种题型都考查学生的空间想象能力预测2018年高考题中，对组合体的考查，以球的组合体为主，考查组合体的体积与表面积有关的问题对三视图的考查，以空间几何体的三视图为主要考查点，重点考查学生读图、识图能力以及空间想象能力对空间几何体的面积与体积的考查，以空间几何体的面积、体积为主要考查点，重点考查学生的空间想象能力、运算能力及逻辑推理能力复习建议：三视图在近几年的高考题都有体现，多面体画图、分析图，用自己的语言描述图，提高借助图形分析问题的能力，培养空间观念，注重三视图与直观图的相互转化及等积转化的思想.因此，三视图的内容应重点训练.与几何体的侧面积和体积有关的计算问题，根据基本概念和公式来计算，要重视方程的思想和割补法、等积转换法的运用 【2018年高考考点定位】高考对空间几何体的考查，主要考查简单几何体的概念、求多面体、旋转体的面积和体积问题，也有已知面积或体积求某些元素的量或元素间的位置关系问题.即使考查空间线面的位置关系问题，也常以几何体为依托.因而要熟练掌握多面体与旋转体的概念、性质以及它们的求积公式.同时也要学会运用等价转化思想，会把组合体求积问题转化为基本几何体的求积问题，以选择、填空题的形式考查，有时也会在解答题中出现.【考点1】空间几何体【备考知识梳理】1柱、锥、台、球的结构特征（1）柱：棱柱：一般的，有两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，由这些面所围成的几何体叫做棱柱；棱柱中两个互相平行的面叫做棱柱的底面，简称为底；其余各面叫做棱柱的侧面；相邻侧面的公共边叫做棱柱的侧棱；侧面与底面的公共顶点叫做棱柱的顶点.底面是三角形、四边形、五边形的棱柱分别叫做三棱柱、四棱柱、五棱柱圆柱：以矩形的一边所在的直线为旋转轴，其余边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆柱；旋转轴叫做圆柱的轴；垂直于轴的边旋转而成的曲面叫做圆柱的侧面；无论旋转到什么位置，不垂直于轴的边都叫做圆柱侧面的母线. 棱柱与圆柱统称为柱体；（2）锥：棱锥：一般的有一个面是多边形，其余各面都是有一个公共顶点的三角形，由这些面所围成的几何体叫做棱锥；这个多边形面叫做棱锥的底面或底；有公共顶点的各个三角形面叫做棱锥的侧面；各侧面的公共顶点叫做棱锥的顶点；相邻侧面的公共边叫做棱锥的侧棱.底面是三角锥、四边锥、五边锥的棱柱分别叫做三棱锥、四棱锥、五棱锥圆锥：以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴，其余两边旋转形成的曲面所围成的几何体叫做圆锥；旋转轴为圆锥的轴；垂直于轴的边旋转形成的面叫做圆锥的底面；斜边旋转形成的曲面叫做圆锥的侧面.棱锥与圆锥统称为锥体（3）台：棱台：用一个平行于底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分叫做棱台；原棱锥的底面和截面分别叫做棱台的下底面和上底面；棱台也有侧面、侧棱、顶点.圆台：用一个平行于底面的平面去截圆锥，底面和截面之间的部分叫做圆台；原圆锥的底面和截面分别叫做圆台的下底面和上底面；圆台也有侧面、母线、轴圆台和棱台统称为台体.（4）球：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称为球；半圆的圆心叫做球的球心，半圆的半径叫做球的半径，半圆的直径叫做球的直径. (5)正棱柱：侧棱垂直于底面的棱柱叫做直棱柱，底面是正多边形的直棱柱叫做正棱柱反之，正棱柱的底面是正多边形，侧棱垂直于底面，侧面是矩形(6)正棱锥：底面是正多边形，顶点在底面的射影是底面正多边形的中心的棱锥叫做正棱锥特别地，各棱均相等的正三棱锥叫正四面体反过来，正棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面正多边形的中心2空间几何体的直观图（1）斜二测画法建立直角坐标系，在已知水平放置的平面图形中取互相垂直的OX，OY，建立直角坐标系；画出斜坐标系，在画直观图的纸上（平面上）画出对应的OX,OY,使=450（或1350），它们确定的平面表示水平平面； 画对应图形，在已知图形平行于X轴的线段，在直观图中画成平行于X轴，且长度保持不变；在已知图形平行于Y轴的线段，在直观图中画成平行于Y轴，且长度变为原来的一半；擦去辅助线，图画好后，要擦去X轴、Y轴及为画图添加的辅助线（虚线）.画水平放置的多边形的直观图的关键是确定多边形顶点的位置，因为多边形顶点的位置一旦确定，依次连结这些顶点就可画出多边形来，因此平面多边形水平放置时，直观图的画法可以归结为确定点的位置的画法.（2）平行投影与中心投影：平行投影的投影线是互相平行的，中心投影的投影线相交于一点.3.几种常凸多面体间的关系2.一些特殊棱柱、棱锥、棱台的概念和主要性质名称棱柱直棱柱正棱柱图形定 义有两个面互相平行，而其余每相邻两个面的交线都互相平行的多面体侧棱垂直于底面的棱柱底面是正多边形的直棱柱侧棱平行且相等平行且相等平行且相等侧面的形状平行四边形矩形全等的矩形对角面的形状平行四边形矩形矩形平行于底面的截面的形状与底面全等的多边形与底面全等的多边形与底面全等的正多边形名称棱锥正棱锥棱台正棱台图形定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形的多面体底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的射影是底面和截面之间的部分用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面和截面之间的部分由正棱锥截得的棱台侧棱相交于一点但不一定相等相交于一点且相等延长线交于一点相等且延长线交于一点侧面的形状三角形全等的等腰三角形梯形全等的等腰梯形对角面的形状三角形等腰三角形梯形等腰梯形平行于底的截面形状与底面相似的多边形与底面相似的正多边形与底面相似的多边形与底面相似的正多边形其他性质高过底面中心；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等两底中心连线即高；侧棱与底面、侧面与底面、相邻两侧面所成角都相等几种特殊四棱柱的特殊性质名称特殊性质平行六面体底面和侧面都是平行四边行；四条对角线交于一点，且被该点平分直平行六面体侧棱垂直于底面，各侧面都是矩形；四条对角线交于一点，且被该点平分长方体底面和侧面都是矩形；四条对角线相等，交于一点，且被该点平分正方体棱长都相等，各面都是正方形四条对角线相等，交于一点，且被该点平分【规律方法技巧】1. 注意特殊的四棱柱的区别：直四棱柱、正四棱柱、长方体、正方体、平行六面体、直平行六面体2. 棱台的各侧棱延长线交于一点是判断棱台的主要依据，两底面平行且是相似多边形3注意还台为锥的解题方法的运用，将台体还原为锥体可利用锥体的性质注意正棱锥中的四个直角三角形为：高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形；高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形；底面的边心距、外接圆半径及半边长组成一个直角三角形；侧棱、斜高及底边一半组成一个直角三角形4.将几何体展开为平面图形时，要注意在何处剪开，多面体要选择一条棱剪开，旋转体要沿一条母线剪开.5.常见的特殊几何体的性质（1）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱.平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体；平行六面体的任何一个面都可以作为底面；平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和.（2）长方体：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和；若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2+ cos2+cos2=1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则cos2+cos2+cos2=2.（3）正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等；正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形； 若正棱锥的侧面与底面所成的角为，则.（4）正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.设正四面体的棱长为，则高为，斜高为，对棱间的距离为，体积为. 正四面体与其截面:如图所示点E为PA的中点，连接EB和EC.点F为BC中点，连接EF.则截面EBCPA, EBC面PAB, EBC面PAC. EF为相对棱的公垂线，其长度为相对棱的距离；正四面体可补形为正方体，如图所示，四面体B-ACD即为正四面体.各个棱为正方体的面对角线.正方体的棱长是正四面体棱长的.利用这个补形为解题带来很大的方便.6. 几何体中计算问题的方法与技巧：在正棱锥中，正棱锥的高、侧面等腰三角形的斜高与侧棱构成两个直角三角形，有关计算往往与两者相关；正四棱台中要掌握对角面与侧面两个等腰梯形中关于上底、下底及梯形高的计算，另外，要能将正三棱台、正四棱台的高与其斜高，侧棱在合适的平面图形中联系起来；研究圆柱、圆锥、圆台等问题，主要方法是研究其轴截面，各元素之间的关系，数量都可以在轴截面中得到；多面体及旋转体的侧面展开图是将立体几何问题转化为平面几何问题处理的重要手段【考点针对训练】1. 【江苏省南京市南京师范大学附属中学2017届高三考前模拟】已知正四棱锥的底面边长为，高为，则该四棱锥的侧面积是_ 【答案】【解析】四棱锥的侧面积是 2【福建省泉州市2017届高三高考考前适应性模拟】如图所示,图中阴影部分绕旋转一周所形成的几何体的体积为_【答案】【解析】由题知旋转一周后形成的几何体是一圆台去掉一个半球，其中圆台的体积为，半球的体积，则所求体积为故本题答案为【考点2】空间几何体的三视图【备考知识梳理】空间几何体的三视图三视图是观测者从不同位置观察同一个几何体，画出的空间几何体的图形.他具体包括：（1）正视图：物体前后方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和长度；（2）侧视图：物体左右方向投影所得到的投影图；它能反映物体的高度和宽度；（3）俯视图：物体上下方向投影所得到的投影图；它能反映物体的长度和宽度.2.三视图画法规则高平齐：主视图与左视图的高要保持平齐长对正：主视图与俯视图的长应对正宽相等：俯视图与左视图的宽度应相等【规律方法技巧】1.解决三视图问题的技巧：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”也就是说正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”2.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图3.解答三视图题目时：(1)可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确；(2)视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚；(3)视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等4从能力上来看，三视图着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：会画图根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；会识图根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；会析图对图形进行必要的分解、组合；会用图对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力.【考点针对训练】1. 【2017届广西南宁市高三一模】已知某几何体的三视图如图，则该几何体的体积是（ ）A. B. C. D. 【答案】C【解析】由三视图可知，该几何体是一个三棱柱，其底面是底边长为，腰长为的等腰三角形，三棱柱的高为，故该几何体的体积是 ，故选C.2. 【宁夏石嘴山市2017届高三三模】如图1所示，是一个棱长为2的正方体被削去一个角后所得到的几何体的直观图，其中， ，若此几何体的俯视图如图2所示，则可以作为其正视图的是（ ）【答案】A【解析】由题意，根据该几何体的直观图和俯视图知，其正视图的长应为底面正方形的对角线长，宽应为正方体的棱长，故排除B，D，而在三视图中看不见的棱用虚线表示，故排除A，所以正确答案为C.【考点3】空间几何体的表面积与体积【备考知识梳理】1多面体的面积和体积公式名称侧面积()全面积()体 积 ()棱柱棱柱直截面周长+2=直棱柱棱锥棱锥各侧面积之和+正棱锥棱台棱台各侧面面积之和+(+)正棱台 表中表示面积，分别表示上、下底面周长，h表斜高，h表示斜高，l表示侧棱长.2旋转体的面积和体积公式名称圆柱圆锥圆台球侧全 (即)表中、分别表示母线、高，表示圆柱、圆锥与球冠的底半径，分别表示圆台 上、下底面半径，表示半径.【规律方法技巧】1. 求体积常见方法直接法（公式法）直接根据相关的体积公式计算；转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；四面体体积变换法；利用四面体的体积性质：（）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.2. 求体积常见技巧当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利(1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素3.组合体的表面积和体积的计算方法实际问题中的几何体往往不是单纯的柱、锥、台、球，而是由柱、锥、台、球或其一部分组成的组合体，解决这类组合体的表面积或体积的基本方法就是“分解”，将组合体分解成若干部分，每部分是柱、锥、台、球或其一个部分，分别计算其体积，然后根据组合体的结构，将整个组合体的表面积或体积转化为这些“部分的表面积或体积”的和或差易错提示空间几何体的面积有侧面积和表面积之分，表面积就是全面积，是一个空间几何体中“暴露”在外的所有面的面积，在计算时要注意区分是“侧面积还是表面积”多面体的表面积就是其所有面的面积之和，旋转体的表面积除了球之外，都是其侧面积和底面面积之和对于简单的组合体的表面积，一定要注意其表面积是如何构成的，在计算时不要多算也不要少算，组合体的表面积要根据情况决定其表面积是哪些面积之和4.求解几何体体积的策略及注意问题(1)与三视图有关的体积问题关键是准确还原几何体及弄清几何体中的数量关系(2)计算柱、锥、台的体积关键是根据条件找出相应的底面积和高(3)注意求体积的一些特殊方法：分割法、补体法、转化法等，它们是解决一些不规则几何体体积计算常用的方法，应熟练掌握 (4)注意组合体的组成形式及各部分几何体的特征【考点针对训练】1. 【湖南省长沙市2017届高三临考冲刺】如图，在三棱柱中，底面是边长为的等边三角形，点在底面上的投影恰为的中点， 与平面所成的角为，则该三棱柱的体积为（ ）A. 1 B. C. 3 D. 【答案】C【解析】由题意得 ,所以三棱柱的体积为 ,选C.2. 【山西省太原市2017届高三二模】鲁班锁是中国传统的智力玩具，起源于古代汉族建筑中首创的榫卯结构，这种三维的拼插器具内部的凹凸部分（即榫卯结构）啮合，十分巧妙，外观看是严丝合缝的十字立方体，其上下、左右、 前后完全对称从外表上看，六根等长的正四棱柱体分成三组，经榫卯起来，如图3，若正四棱柱体的高为，底面正方形的边长为，现将该鲁班锁放进一个球形容器内，则该球形容器的表面积的最小值为_（容器壁的厚度忽略不计） 【答案】【考点4】球与几何体的组合体【备考知识梳理】1.组合体：由柱、锥、台、球等几何体组成的复杂的几何体叫组合体.【规律方法技巧】1. 几个与球有关的切、接常用结论(1)正方体的棱长为，球的半径为，正方体的外接球，则；正方体的内切球，则；球与正方体的各棱相切，则.(2)长方体的同一顶点的三条棱长分别为，外接球的半径为，则.(3)正四面体的外接球与内切球的半径之比为31.2.与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.3.解决与球有关的切、接问题的方法：(1)一般要过球心及多面体中的特殊点或过线作截面将空间问题转化为平面问题，从而寻找几何体各元素之间的关系(2)若球面上四点中两两垂直或三棱锥的三条侧棱两两垂直，可构造长方体或正方体确定直径解决外接问题4.求解球与多面体的组合问题时，其关键是确定球心的位置，可以根据空间几何体的对称性判断球心的位置，然后通过作出辅助线或辅助平面确定球的半径和多面体中各个几何元素的关系，达到求解解题需要的几何量的目的【考点针对训练】1. 【辽宁省锦州市2017届高三质量检测（一）】三棱锥的所有顶点都在球的球面上， 是边长为3的正三角形， 是球的直径，且，则此三棱锥的体积_【答案】【解析】由题意得 ，其中 为中心,因为 ,所以2. 【辽宁省沈阳市2017届高三八模】已知四面体的顶点都在同一个球的球面上， ， ，且， ， . 若该三棱锥的体积为，则该球的表面积为_. 【答案】【解析】将四面体补成长方体，则三棱锥的体积为,球的直径为 , 球的表面积为 【应试技巧点拨】1.解决三视图问题的技巧：空间几何体的数量关系也体现在三视图中，正视图和侧视图的“高平齐”，正视图和俯视图的“长对正”，侧视图和俯视图的“宽相等”也就是说正视图、侧视图的高就是空间几何体的高，正视图、俯视图中的长就是空间几何体的最大长度，侧视图、俯视图中的宽就是空间几何体的最大宽度在绘制三视图时，分界线和可见轮廓线都用实线画出，被遮挡的部分的轮廓线用虚线表示出来，即“眼见为实、不见为虚”在三视图的判断与识别中要特别注意其中的“虚线”2.要切实弄清常见几何体(圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台、球)的三视图的特征，熟练掌握三视图的投影方向及正视图原理，才能迅速破解三视图问题，由三视图画出其直观图3.解答三视图题目时：(1)可以从熟知的某一视图出发，想象出直观图，再验证其他视图是否正确；(2)视图中标注的长度在直观图中代表什么，要分辨清楚；(3)视图之间的数量关系：正俯长对正，正侧高平齐，侧俯宽相等4从能力上来看，三视图着重考查空间想象能力，即空间形体的观察分析和抽象的能力，要求是“四会”：会画图根据题设条件画出适合题意的图形或画出自己想作的辅助线(面)，作出的图形要直观、虚实分明；会识图根据题目给出的图形，想象出立体的形状和有关线面的位置关系；会析图对图形进行必要的分解、组合；会用图对图形或其某部分进行平移、翻折、旋转、展开或实行割补术；考查逻辑思维能力、运算能力和探索能力.5. 求体积常见技巧当给出的几何体比较复杂，有关的计算公式无法运用，或者虽然几何体并不复杂，但条件中的已知元素彼此离散时，我们可采用“割”、“补”的技巧，化复杂几何体为简单几何体(柱、锥、台)，或化离散为集中，给解题提供便利 (1)几何体的“分割”：几何体的分割即将已知的几何体按照结论的要求，分割成若干个易求体积的几何体，进而求之(2)几何体的“补形”：与分割一样，有时为了计算方便，可将几何体补成易求体积的几何体，如长方体、正方体等另外补台成锥是常见的解决台体侧面积与体积的方法，由台体的定义，我们在有些情况下，可以将台体补成锥体研究体积(3)有关柱、锥、台、球的面积和体积的计算，应以公式为基础，充分利用几何体中的直角三角形、直角梯形求有关的几何元素6.求体积常见方法直接法（公式法）；转移法：利用祖暅原理或等积变化，把所求的几何体转化为与它等底、等高的几何体的体积；分割法求和法：把所求几何体分割成基本几何体的体积；补形法：通过补形化归为基本几何体的体积；四面体体积变换法；利用四面体的体积性质：（）底面积相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（）高相同的两个三棱锥体积之比等于其底面积的比；（）用平行于底面的平面去截三棱锥，截得的小三棱锥与原三棱锥的体积之比等于相似比的立方.求多面体体积的常用技巧是割补法（割补成易求体积的多面体.补形：三棱锥三棱柱平行六面体；分割：三棱柱中三棱锥、四棱锥、三棱柱的体积关系是1：2：3和等积变换法(平行换点、换面)和比例(性质转换)法等.7.常见的特殊几何体的性质（1）平行六面体：底面是平行四边形的四棱柱.平行六面体直平行六面体长方体正四棱柱正方体；平行六面体的任何一个面都可以作为底面；平行六面体的对角线交于一点，并且在交点处互相平分；平行六面体的四条对角线的平方和等于各棱的平方和.（2）长方体：长方体的一条对角线的平方等于一个顶点上三条棱长的平方和；若长方体的体对角线与过同一顶点的三条棱所成的角分别为，则cos2+ cos2+cos2=1；若长方体的体对角线与过同一顶点的三侧面所成的角分别为则cos2+cos2+cos2=2.（3）正棱锥：如果一个棱锥的底面是正多边形，且顶点在底面的射影是底面的中心，这样的棱锥叫正棱锥.正棱锥的各侧棱相等，各侧面都是全等的等腰三角形，各等腰三角形底边上的高（叫侧高）也相等；正棱锥的高、斜高、斜高在底面的射影（底面的内切圆的半径）、侧棱、侧棱在底面的射影（底面的外接圆的半径）、底面的半边长可组成四个直角三角形；若正棱锥的侧面与底面所成的角为，则.（4）正四面体：侧棱与底面边长相等的正三棱锥叫做正四面体.设正四面体的棱长为，则高为，斜高为，对棱间的距离为，体积为. 正四面体与其截面:如图所示点E为PA的中点，连接EB和EC.点F为BC中点，连接EF.则截面EBCPA, EBC面PAB, EBC面PAC. EF为相对棱的公垂线，其长度为相对棱的距离；正四面体可补形为正方体，如图所示，四面体B-ACD即为正四面体.各个棱为正方体的面对角线.正方体的棱长是正四面体棱长的.利用这个补形为解题带来很大的方便.8与球有关的组合体问题，一种是内切，一种是外接解题时要认真分析图形，明确切点和接点的位置，确定有关元素间的数量关系，并作出合适的截面图，如球内切于正方体，切点为正方体各个面的中心，正方体的棱长等于球的直径；球外接于正方体，正方体的顶点均在球面上，正方体的体对角线长等于球的直径球与旋转体的组合，通常作它们的轴截面进行解题，球与多面体的组合，通过多面体的一条侧棱和球心，或“切点”、“接点”作出截面图.9.注意还台为锥的解题方法的运用，将台体还原为锥体可利用锥体的性质注意正棱锥中的四个直角三角形为：高、斜高及底面边心距组成一个直角三角形；高、侧棱与底面外接圆半径组成一个直角三角形；底面的边心距、外接圆半径及半边长组成一个直角三角形；侧棱、斜高及底边一半组成一个直角三角形 1. 【福建省福州外国语学校2017届高三适应性考试（三）】一个三棱锥的三视图如图所示，则该三棱锥的表面积为（ ）AB CD 【答案】D 2. 【广西高级中学2017届高三阶段性检测】三棱锥的每个顶点都在表面积为的球的球面上，且平面，为等边三角形，则三棱锥的体积为（ ）A3BCD【答案】C【解析】因为球的表面积为，所以球半径为，设的边长为，则，由正三角形的性质可知外接圆直径，根据球的性质可得，解得，三棱锥的体积为：，故选C. 3. 【宁夏石嘴山市2017届高三三模】祖暅是南北朝时代的伟大科学家，5世纪末提出体积计算原理，即祖暅原理：“幂势既同，则积不容异”意思是：夹在两个平行平面之间的两个几何体，被平行于这两个平面的任何一个平面所截，如果截面面积都相等，那么这两个几何体的体积一定相等现有以下四个几何体：图是从圆柱中挖出一个圆锥所得的几何体；图、图、图分别是圆锥、圆台和半球，则满足祖暅原理的两个几何体为（）A. B. C. D. 【答案】C【解析】设截面与底面的距离为，则中截面内圆半径为，则截面圆环的面积为；中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；中截面圆的半径为，则截面圆的面积为；中截面圆的半径为，则截面圆的面积为，所以中截面的面积相等，故选D4. 【河南省新乡市2017届高三三模】九章算术是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有邹亮，下广三丈，茅四仗，无广；高一丈，问：积几何？”其意思为：“今有底面为矩形的屋脊状的锲体，下底面宽仗长仗；上棱长仗，高一丈，问它的体积是多少？”已知丈为尺，现将该锲体的三视图给出右图所示，齐总网格纸小正方形的边长1丈，则该锲体的体积为（ ）A. 立方尺 B. 立方尺 C. 立方尺 D. 立方尺【答案】A【解析】该契体的直观图如右图中的几何体，取的中点， 的中点为，连接，则该几何体的体积为四棱锥与三棱柱的体积之和，而三棱柱可以通过割补法得到一个高为，底面积平方丈的一个直棱柱，故该契体的体积立方丈 立方尺.故选A. 5. 【2017重庆二诊】已知棱长为的正方体内部有一圆柱，此圆柱恰好以直线为轴，则该圆柱侧面积的最大值为（ ）A. B. C. D. 【答案】D【解析】如图由正方体的对称性可知，圆柱的上底面必与过点的三个面相切，且切点分别在线段上，设线段上的切点为， 面，圆柱上底面的圆心为，半径即为记为，则， ，由知，则圆柱的高为，.应选答案D。6. 【2017四川宜宾二诊】三棱锥内接于半径为的球， 过球心，当三棱锥体积取得最大值时，三棱锥的表面积为A. B. C. D. 【答案】D7. 【辽宁省锦州市2017届高三质检（二）】已知三棱锥， ， ， 两两垂直且长度均为6，长为2的线段的一个端点在棱上运动，另一个端点在底面内运动（含边界），则的中点的轨迹与三棱锥的点所在的三个面所围成的几何体的表面积为（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】因为长为2的线段MN的一个端点M在棱OA上运动,另一个端点N在BCO内运动(含边界)，可知MN的中点P的轨迹为以O为球心，以1为半径的球体，则MN的中点P的轨迹与三棱锥的面所围成的几何体可能为该球体的.表面积为个球面和3个圆面的和：，故选B.8. 【安徽省巢湖市2017届高三最后一次模拟】已知球是正三棱锥（底面为正三角形，顶点在底面的射影为底面中心）的外接球， ， ，点在线段上，且，过点作圆的截面，则所得截面圆面积的取值范围是（ ）A. B. C. D. 【答案】B【解析】如图，设 的中心为 ，球 的半径为 ，连接，易求得 ，则 .在中，由勾股定理， ，解得 ，由 ，知 ，所以 ，当过点 的截距与 垂直时，截面圆的面积最小，此时截面圆的半径 ，此时截面圆的面积为 ；当过点 的截面过球心时，截面圆的面积最大，此时截面圆的面积为 ，故选B.9. 【河南省新乡市2017届高三第一次调研】已知一个圆锥内接于球（圆锥的底面圆周及顶点均在球面上），若球的半径，圆锥的高是底面半径的2倍，则圆锥的体积为_【答案】【解析】设圆锥底面半径为，高为.依题意有，解得，所以圆锥的体积为.10. 【陕西省西安市长安区2017届高三4月模拟】如图，在四棱锥中，底面是平行四边形,点为的中点，则面将四棱锥所分成的上下两部分的体积的比值为 【答案】【解析】设棱锥的底面的面积为，高为， ，先求三棱锥的体积， ，同理，由于三棱锥和等高，而，则，所以下半部分的体积为，上半部分的体积为，所以上下两部分体积之比为.11. 【2016年安徽安庆高三一模】一个几何体的三视图如图所示,其体积为（ ）A B C D【答案】A【解析】该几何体是一个直三棱柱截去一个小三棱锥,如图 所示,则其体积为：.故选A.12. 【2016年安徽淮北一中高三检测】算数书竹简于上世纪八十年代在湖北省江陵县张家山出土，这是我国现存最早的有系统的数学典籍，其中记载有求“囷盖”的术：置如其周，令相乘也，又以高乘之，三十六成一，该术相当于给出了由圆锥的底面周长与高，计算其体积的近似公式，它实际上是将圆锥体积公式中的圆周率近似取为3，那么近似公式，相当于将圆锥体积公式中的近似取为（ ）A B C D【答案】B【解析】，若，则，故选B13. 【2016届陕西省安康市高三第三次联考】若一个四棱锥底面为正方形, 顶点在底面的射影为正方形的中心, 且该四棱锥的体积为,当其外接球的体积最小时, 它的高为（ ）A B C D【答案】A14. 【2017届湖南师大附中高三上入学摸底】若某圆柱体的上部挖掉一个半球，下部挖掉一个圆锥后所得的几何体的三视图中的正视图和侧视图如图所示，则此几何体的表面积是A24 B248 C244 D32【答案】C【解析】几何体的表面积是圆柱的侧面积与半个球的表面积、圆锥的侧面积的和圆柱的侧面积为S122416，半球的表面积为S22228，圆锥的侧面积为S32224，所以几何体的表面积为SS1S2S3244.15. 【2016届吉林省白城一中高三下4月】已知在直角梯形中，将直角梯形沿折叠成三棱锥，当三棱锥的体积取最大值时，其外接球的体积为_.【答案】【解析】：当三棱锥的体积最大时，即点到底面的距离最大时，此时平面平面,取中点,中点,连接,所以,而,所以点是其外接球的球心，所以,故填：. 【一年原创真预测】1. 如图所示，小正方形的边长为，粗线画出的是某几何体的三视图，则该几何体的体积为( )A B C D 【答案】C【解析】由三视图可知该几何体是一个三棱锥，如图，它可以看做由一个长方体截得，且长方体的底面是边长为3的正方形，高为2，所以该几何体的体积为，故选C【入选理由】本题考查空间几何体的三视图，几何体的体积等基础知识，意在考查学生的空间想象能力和基本运算能力本题通过识图、想图、画图的角度考查了空间想象能力.而对空间图形的处理能力是空间想象力深化的标志，是高考从深层上考查空间想象能力的主要方向，故选此题.2如图，在三棱锥中，则三棱锥的外接球的表面积为（ ）A B C D 【答案】A 【解析】由余弦定理可得，如图，取的中点，连结并延长，交外接球于，连结，则，由勾股定理可得，由勾股定理可得，由直角三角形射影定理可得，可得，从而可得，故，由正弦定理得，所以外接球的表面积为，故选A【入选理由】本题主要考查球的表面积、组合体等基础知识，意在考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力，及数形结合思想、转化与化归思想这类题是高考考查球及其组合体的常考题型，有两类重要组合模型，即球的内切与球的外接而此题是外接问题,故选此题.3. 如图，在四边形中，.现沿对角线折起，使得平面平面，且三棱锥的体积为，此时点，在同一个球面上，则该球的体积是（ ）A B C D【答案】A【解析】，的外接圆半径为.由题意知，平面平面，如图，取的中点，连结，则平面，球心在上.因为三棱锥的体积为，所以，解得，球心到平面的距离为（为外接球的半径），由勾股定理可得，故所求球的体积为故选A.【入选理由】本题主要考查棱锥的体积公式，球的体积公式，组合体等基础知识，意在考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力组合体是高考考试的重点与难点,也是平常练习的重点，故选此题.4. 已知四棱锥的底面四边形的外接圆半径为，且此外接圆圆心到点距离为，则此四棱锥体积的最大值为_【答案】【解析】由题意得四棱锥的高, 底面四边形面积最大值为，因此四棱锥体积最大值为【入选理由】本题考查圆内接四边形面积的最值、棱锥体积等基础知识，意在考查基本运算能力.本题考查比较基础，难度不大，故选此题.5. 已知一个圆锥的底面半径为，侧面积是底面积的倍，则由它的两条母线所确定的截面面积的最大值为_【答案】【入选理由】本题考查圆锥侧面积、圆锥轴截面、圆锥截面面积的最大值的求法等基础知识，意在考查基本运算能力本题考查比较基础，难度不大，故选此题. - 39 -