基本不等式均值不等式实用教案

预习：（1）弄清概念：算术平均数，几何(j h)平均数 （2）两个非负数a、b的算术平均数与几何(j h)平均数之间具有怎样的大小关系呢？ （3）如何证明基本不等式 教学目标： 推导并掌握两个非负数的算术平均数不小于它们的几何(j h)平均数这个重要定理；了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。 教学重点： 推导并掌握两个非负数的算术平均数不小于它们的几何(j h)平均数这个重要定理；了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。第1页/共19页第一页，共20页。ICM2002会标(hu bio)赵爽：弦图第2页/共19页第二页，共20页。ADBCEFGHab22ab猜想出不等式： 一般地，对于任意实数a、b，有当且仅当a=b时，等号成立。222abab新授：ABCDE(FGH)ab第3页/共19页第三页，共20页。 如果如果a，bR， 那么那么a2+b22ab（当且仅当（当且仅当a=b时，等号成立）时，等号成立）证明：证明：(不等式证明的基本不等式证明的基本(jbn)方法方法 比较法（作差、作商比较法（作差、作商法）法）)1指出指出(zh ch)定理适用范围：定理适用范围： Rba,2强调强调(qing dio)取取“=”的条件：的条件： ba 定理定理1（重要不等式）：（重要不等式）：第4页/共19页第四页，共20页。2适用的范围适用的范围(fnwi)：a, b 为非负数为非负数. 注意：注意：1语言语言(yyn)表述：两个表述：两个非负数的算术平均数不小于它们的非负数的算术平均数不小于它们的几何平均数。几何平均数。称称2ab为为a，b的算术平均数，的算术平均数，称称ab的几何平均数。的几何平均数。为为a，b（当且仅当（当且仅当a=b时，等式成立）时，等式成立） 如果如果a, b都是非负数都是非负数，那么，那么abba2定理(dngl)2（基本不等式）：3.取“=”的条件：ba 第5页/共19页第五页，共20页。2ab把把看做两个看做两个正数正数a，b的等差中项，的等差中项，ab看做看做正数正数a，b的等比中项，的等比中项，那么那么(n me)上面不等式可以叙上面不等式可以叙述为：述为： 两个两个(lin )正数的等差中项不小于它正数的等差中项不小于它们的等比中项。们的等比中项。 还有没有其它的证明方法证明上面还有没有其它的证明方法证明上面(shng min)的基本不等式呢的基本不等式呢?第6页/共19页第六页，共20页。abba22)()(2122baba0)(212ba时，取等号即当且仅当baba,证法(zhn f)1：比较法（作差、作商法(shn f)）第7页/共19页第七页，共20页。证法证法(zhn f)2：几何直观解：几何直观解释释令正数令正数a，b为两条线段的长，用几何作图的方为两条线段的长，用几何作图的方法，作出长度为法，作出长度为 和和 的两条线段，然的两条线段，然后后(rnhu)比较这两条线段的长。比较这两条线段的长。2abab具体具体(jt)作图如作图如下：下：（1）作线段）作线段AB=a+b，使，使AD=a，DB=b,（2）以）以AB为直径作半圆为直径作半圆O；（3）过）过D点作点作CDAB于于D，交半圆于点，交半圆于点C第8页/共19页第八页，共20页。（4）连接）连接(linji)AC，BC，CA，则，则2abOCCDab当当ab时，时，OCCD，即，即2abab当当a=b时，时，OC=CD，即，即2abab第9页/共19页第九页，共20页。例1、已知x,y都是正数(zhngsh)，求证：（1） （2）2yxxy证明(zhngmng)（2）22yxyxxyxy当且仅当x=y时，等号成立(chngl)。因为x,y都是正数21xx第10页/共19页第十页，共20页。注意(zh y)运用算术平均数与几何平均数的大小关系证明不等式，关键是揭示已知条件与目标不等式的运算结构(jigu)特征，找出差异，并将其与基本不等式的运算结构(jigu)进行类比，选择相应的基本不等式化异为同转化证明 .第11页/共19页第十一页，共20页。证明(zhngmng):例2 a,b都是正数，abbaab2求证：时，等号成立）当且仅当式知均为正数，由基本不等baabababbaabba(222,第12页/共19页第十二页，共20页。练习(linx)1的大小均为非负数数，试比较设2,)2(,222bababa时，等号成立当且仅当为正数，推广：babababa22,22第13页/共19页第十三页，共20页。第14页/共19页第十四页，共20页。NoImage( ,)2a baba b R222 ( ,)ababab R一、知识点：重要不等式:基本不等式:二、思想(sxing)方法与技巧：数形结合思想(sxing)，化归思想(sxing)等第15页/共19页第十五页，共20页。阅读(yud)周报第7期第一版预习3.2节基本(jbn)不等式的应用作业本上1.已知, ,a b cR 求证： 222abcabbcca2.abcaccbbacba8)()(,都是正数，求证：已知第16页/共19页第十六页，共20页。1.已知, ,a b cR 求证： 222abcabbcca证： 以上(yshng)三式相加： 222abcabbcca 当且仅当a=b=c时等号成立(chngl)第17页/共19页第十七页，共20页。证明(zhngmng):当且仅当a=b=c时等号成立(chngl)2abcaccbbacba8)()(,都是正数，求证：已知第18页/共19页第十八页，共20页。谢谢您的观看(gunkn)！第19页/共19页第十九页，共20页。NoImage内容(nirng)总结预习：（1）弄清概念：算术平均数，几何平均数。了解均值不等式在证明不等式中的简单应用。猜想出不等式： 一般地，对于任意实数a、b，有。如果a，bR，。2适用的范围：a, b 为非负数.。看做正数(zhngsh)a，b的等比中项，。两个正数(zhngsh)的等差中项不小于它们的等比中项。（3）过D点作CDAB于D，交半圆于点C。（4）连接AC，BC，CA，则。当ab时，OCCD，即。运用算术平均数与几何平均数的大。例2 a,b都是正数(zhngsh)，第二十页，共20页。