小升初数学专项训练

精选优质文档-倾情为你奉上 超越自我 巩固提高针对训练查漏补缺目录第一讲 小升初专项训练 计算篇2第二讲 小升初专项训练 几何篇（1） 8第三讲 小升初专项训练 几何篇（2） 16第四讲 小升初专项训练 行程篇（1） 23第五讲 小升初专项训练 行程篇（2） 29第六讲 小升初专项训练 找规律篇36第七讲 小升初专项训练 工程篇43第八讲 小升初专项训练 期中篇50第九讲 小升初专项训练 比例百分数篇52第十讲 小升初专项训练 数论篇（1） 58第十一讲 小升初专项训练 数论篇（2） 64第十二讲 小升初专项训练 方程篇 70第十三讲 小升初专项训练 计数方法与原理 76第十四讲 小升初专项训练 综合练习 80第十五讲 小升初专项训练 逻辑推理篇 86第十六讲 小升初专项训练 期末测试 93第一讲 小升初专项训练 计算篇一、小升初考试热点及命题方向计算是小学数学的基础，近两年的试卷又以考察分数的计算和巧算为明显趋势（分值大体在6分15分），学员应针对两方面强化练习：一 分数小数的混合计算；二 分数的化简和简便运算； 二、2012年考点预测2012年的小升初考试将继续考查分数和小数的四则运算，命题的热点在分数的拆分技巧以及换元法的运用，另外还应注意新的题型不断出现例如通过观察、归纳、总结，找出规律并计算的题型，这类题型为往往用到了等差数列的各类公式，希望同学们熟记。 三、考试常用公式公式需牢记 做题有信心！ 以下是总结的大家需要了解和掌握的常识，曾经在重要考试中用到过。1基本公式：2、 讲解练习：3、 4、 讲解练习：2007-2006=_.5、讲解练习：8-7+6-5+4-3+2-1_.6、 （成达杯考过2次，迎春杯考过1次）讲解练习：化成小数后，小数点后面第2007位上的数字为_。 化成小数后，小数点后若干位数字和为1992，问n=_。7、1+2+3+4（n-1）+n+（n-1）+4+3+2+1=n8、 讲解练习：4321(1+2+3+48+4+3+2+1)是一个数的平方，则这个数是_9、等比数列求和偶尔会考 讲解练习：2+2+22=_1、代上面公式。2、建议用“差项求和”的方法：S=2+2+22 2S=2+22+2 两式相减：S=2-2 （提醒学生不能再接着算了！）拓展：2-2=22-2=210、 讲解练习：【编者注】：更多的知识需要大家活学活用，希望大家在学习过程中要注意总结归纳，不断充实和巩固自己的知识。四、典型例题解析1 分数，小数的混合计算【例1】（）（76）2（42）1.35【来源】北京市第十届“迎春杯”决赛第一题第2题【例2】（）【来源】第五届“华杯赛”复赛第1题2 庞大数字的四则运算 【例3】（）19+199+1999+=_。 【来源】第七届华杯赛复赛第7题【例4】（）【来源】第十届小数报数学竞赛决赛填空第1题【例5】（）【来源】北京市第十届“迎春杯”决赛第二题第2题3 庞大算式的四则运算（拆分和裂项的技巧）【例6】（）【来源】第五届小数报数学竞赛初赛计算题第3题【例7】（）【来源】人大附中考试题【例8】（）【来源】人大附中考试题4 繁分数的化简【例9】（）已知 ，那么x=_.【来源】2005小学数学奥林匹克预赛A卷第3题5 改变运算顺序简化计算【例10】（）所有分母小于30并且分母是质数的真分数相加，和是_。【来源】第八届小数报数学竞赛决赛填空题第2题【例11】（）分母为1996的所有最简分数之和是_。【来源】北京市第二届“迎春杯”初赛第二第6题6 观察，找出规律并计算【例12】（）在下表中，所有数字的和为_.1 2 3 502 3 4.513 4.50 51 52 99 【来源】 2005年我爱数学夏令营活动试题【例13】如果1=1! 12=2! 123=3! 12399100=100!那么1!+2!+3!+100!的个位数字是_【来源】 北京市第四届“迎春杯”决赛第二题第8题7 换元法的运用【例14】（）【来源】（我爱数学夏令营活动试题）8 其他常考题型【例15】（）小刚进行加法珠算练习，用123，当数到某个数时，和是1000。在验算时发现重复加了一个数，这个数是。【来源】北京市第十一九届“迎春杯”刊赛第22题【拓展】小明把自己的书页码相加，从1开始加到最后一页，总共为1050，不过他发现他重复加了一页，请问是页。【例16】（）某学生将乘以一个数a时，把误看成1.23，使乘积比正确结果减少0.3。则正确结果应该是_。【来源】北京市第一届“迎春杯”决赛第一题第9题【附加题】（）是三个最简真分数，如果这三个分数的分子都加上c，则三个分数的和为6，求这三个真分数。【来源】第三届“从小爱数学”邀请赛第2题小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）分数，小数的混合计算。参见例1，22）庞大数字的四则运算。 参见例3，4，53）庞大算式的四则运算。（拆分和裂项的技巧）参见例6，7，84）繁分数的化简。参见例95）改变运算顺序简化计算。参见例10，116）观察，找出规律并计算。参见例12，137）换元法的运用。参见例148）其他常考题型。参见例15，16作业题 （注：作业题-例题类型对照表，供参考）题1类型1；题2类型2；题3类型4；题4类型6； 题5类型3 ；题6类型7；题7类型81、（）【来源】北京市第八届“迎春杯”决赛第一题第2题2、（）【来源】北京市第十一届“迎春杯”刊赛第24题3、（）将右式写成分数4（）有A、B两组数，每组数都按一定的规律排列着，并且每组都各有25个数。A组数中前几个是这样排列的1、6、11、16、21、；B组数中最后几个是这样排列的、105、110、115、120、125。那么，A、B这两组数中所有数的和是。【来源】第五届小数报数学竞赛初赛填空题第1题5、【来源】南京市第三“兴趣杯”少年数学邀请赛决赛D卷第1题6、（）7、（）有一串数它的前1996个数的和是多少？【来源】北京市第十三届“迎春杯”初赛第三题第2题名校真题 测试卷1 （计算篇）时间：15分钟 满分5分 姓名_ 测试成绩_1 （06年人大附中考题）=_2 （06年清华附中考题）计算：3914848=_3 （06年西城实验考题）一串分数：其中的第2000个分数是 _ 4 （06年三帆中学考题）六年三班有40名同学，每人都向希望工程捐了款.其中有一名同学捐了2.80元。但是统计数字时把这个数字搞错了，结果计算出的全班平均每人捐款数比实际平均每人捐款数高了0.63元。统计数字时把这个数字当成了 _元. 5 (06年首师附中考题)=_第二讲 小升初专项训练 几何篇（一）一、小升初考试热点及命题方向几何问题是小升初考试的重要内容，分值一般在12-14分（包含1道大题和2道左右的小题）。尤其重要的就是平面图形中的面积计算，几何从内容方面，可以简单的分为直线形面积（三角形四边形为主），圆的面积以及二者的综合。其中直线形面积近年来考的比较多，值得我们重点学习。从解题方法上来看，有割补法，代数法等，有的题目还会用到有关包含与排除的知识。二、2012年考点预测2012年的小升初考试将继续以大题形式考查几何，命题的热点在于等积变换和燕尾定理在求解三角形面积里的运用同时还需要重点关注在长方形和平行四边形框架内运用边长比等于相似比的定理，请老师重点补充沙漏原理的讲解。三、典型例题解析1 等积变换在三角形中的运用首先我们来讨论一下和三角形面积有关的问题，大家都知道，三角形的面积=1/2底高因此我们有【结论1】等底的三角形面积之比等于对应高的比【结论2】等高的三角形面积之比等于对应底的比这2个结论看起来很显然，可大家小看它们，在许多和三角形面积比有关的题目中它们都能发挥巨大的作用，因为它们把三角形的面积比转化为了线段的比，我们来看下面的例题。【例1】（）如图，四边形ABCD中，AC和BD相交于O点，三角形ADO的面积=5，三角形DOC的面积=4，三角形AOB的面积=15，求三角形BOC的面积是多少？【练习】如下图，某公园的外轮廓是四边形ABCD，被对角线AC、BD分成四个部分，AOB面积为1平方千米，BOC面积为2平方千米，COD的面积为3平方千米，公园陆地的面积是6.92平方千米，求人工湖的面积是多少平方千米？【例2】（）将下图中的三角形纸片沿虚线折叠得到右图，其中的粗实线图形面积与原三角形面积之比为2:3。已知右图中3个阴影的三角形面积之和为1，那么重叠部分的面积为多少？燕尾定理在三角形中的运用 下面我们再介绍一个非常有用的结论:【燕尾定理】:在三角形ABC中，AD,BE,CF相交于同一点O,那么SABO:SACO=BD:DC 【例3】（）在ABC中=2:1, =1:3，求=?【例4】（）三角形ABC中，C是直角，已知AC2，CD2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？ 5 平行线定理在三角形中的运用（热点）下面我们再来看一个重要定理：平行线的相关定理：（即利用求面积来间接求出线段的比例关系）同学们应该对下图所示的图形非常熟悉了相交线段AD和AE被平行线段BC和DE所截，得到的三角形ABC和ADE形状完全相似所谓“形状完全相似”的含义是：两个三角形的对应角相等，对应边成比例体现在右图中， 就是AB：AD=BC：DE=AC：CE=三角形ABC的高：三角形ADE的高这种关系称为“相似”，同学们上了中学将会深入学习相似三角形对应边的比例关系在解几何问题的时候非常有用，要多加练习在实际运用的时候，相似的三角形往往作为图形的一部分，有时还要经过翻转、平移等变化（如右下图），往往不易看出相似关系如（右下图）AB平行于DE，有比例式AB：DE=AC：CE=BC：CD，三角形ABC与三角形DEC也是相似三角形下图形状要牢记并且要熟练掌握比例式 【例5】（）如图所示，BD，CF将长方形ABCD分成4块，DEF的面积是4 cm，CED的面积是6cm。问：四边形ABEF的面积是多少平方厘米？【例6】（）如右图，单位正方形ABCD，M为AD边上的中点，求图中的阴影部分面积。【例7】（）如图，正方形ABCD的面积是120平方厘米，E是AB的中点，F是BC的中点，四边形BGHF的面积是_平方厘米。【解】：解：延长EB到K，使BK=CD。6 利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系【例8】（）如图，正方形ABCD的边长是4厘米，CG=3厘米，矩形DEFG的长DG为5厘米，求它的宽DE等于多少厘米？【例9】（）如下图所示，四边形ABCD与DEFG都是平行四边形，证明它们的面积相等。5 差不变原理的运用【例10】（）左下图所示的ABCD的边BC长10cm，直角三角形BCE的直角边EC长8cm，已知两块阴影部分的面积和比EFG的面积大10cm2，求CF的长。【例11】（）如图，ABCG是47的长方形，DEFG是210的长方形，那么，三角形BCM的面积与三角形DCM的面积之差是多少？ 拓 展：如图,已知圆的直径为20,S1-S2=12,求BD的长度? 6 其他常考题型【例12】（）下图中，五角星的五个顶角的度数和是多少？【例13】用同样大小的22个小纸片摆成下图所示的图形，已知小纸片的长是18厘米，求图中阴影部分的面积和。小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）等积变换在三角形中的运用。参见例1，22）燕尾定理在三角形中的运用。 参见例3，43）平行线定理在三角形中的运用。参见例5，6，74）利用“中间桥梁”联系两块图形的面积关系。参见例8，95）差不变原理的运用。参见例10，116）其他常考题型。参见例12，13作业题（注：作业题-例题类型对照表，供参考）题1，2类型1；题3，4类型5；题5，6类型6； 1、（）如右图所示，已知三角形ABC面积为1，延长AB至D，使BD=AB；延长BC至E，使CE=2BC；延长CA至F，使AF=3AC，求三角形DEF的面积。2、（）右图是一块长方形耕地，它由四个小长方形拼合而成，其中三个小长方形的面积分别为15、18、30公顷，问图中阴影部分的面积是多少？3、正方形ABFD的面积为100平方厘米，直角三角形ABC的面积，比直角三角形（CDE的面积大30平方厘米，求DE的长是多少？4、（）如下图，已知D是BC的中点，E是CD的中点，F是AC的中点，且的面积比的面积大6平方厘米。 5、（）长方形ABCD的面积为36平方厘米，E、F、G分别为边AB、BC、CD的中点，H为AD边上的任一点。求图中阴影部分的面积是多少？7、（）如图，甲、乙两图形都是正方形，它们的边长分别是10厘米和12厘米，求阴影部分的面积。名校真题 测试卷2 （几何篇一）时间：15分钟 满分5分 姓名_ 测试成绩_1 （06年清华附中考题）如图，在三角形ABC中，D为BC的中点，E为AB上的一点，且BE=AB,已知四边形EDCA的面积是35，求三角形ABC的面积. 2 （06年西城实验考题）四个完全一样的直角三角形和一个小正方形拼成一个大正方(如图)如果小正方形面积是1平方米，大正方形面积是5平方米，那麽直角三角形中，最短的直角边长度是_米. 3 （05年101中学考题）一块三角形草坪前，工人王师傅正在用剪草机剪草坪一看到小灵通，王师傅热情地招呼，说：“小灵通，听说你很会动脑筋，我也想问问你，这块草坪我把它分成东、西、南、北四部分(如图)修剪西部、东部、南部各需10分钟，16分钟，20分钟请你想一想修剪北部需要多少分钟？ 4 （05年三帆中学考题）右图中AB=3厘米，CD=12厘米，ED=8厘米，AF=7厘米.四边形ABDE的面积是 平方厘米 5 (06年北大附中考题)三角形ABC中，C是直角，已知AC2，CD2,CB=3,AM=BM，那么三角形AMN（阴影部分）的面积为多少？ 第三讲 小升初专项训练 几何篇（二）一、小升初考试热点及命题方向圆和立体几何近两年虽然不是考试热点，但在小升初考试中也会时常露面。因为立体图形考察学生的空间想象能力，可以反映学生的本身潜能；而另一方面，初中很多知识点都是建立在空间问题上，所以可以说学校考察立体也是为初中选拔知识链接性好的学生。二、2012年考点预测2012年的小升初考试如果考察圆与立体几何，不会难度太大，只需掌握我们本讲中所介绍的几类基本题型，就可成功在握。考试热点将会出现在诸如水位问题和三维视图问题等题型。三、典型例题解析1 与圆和扇形有关的题型【例1】（）如下图，等腰直角三角形ABC的腰为10厘米；以A为圆心，EF为圆弧，组成扇形AEF；阴影部分甲与乙的面积相等。求扇形所在的圆面积。【例2】（）草场上有一个长20米、宽10米的关闭着的羊圈，在羊圈的一角用长30米的绳子拴着一只羊（见左下图）。问：这只羊能够活动的范围有多大？【例3】（）在右图中，两个四分之一圆弧的半径分别是2和4，求两个阴影部分的面积差。【例4】（）如图，ABCD是正方形，且FA=AD=DE=1，求阴影部分的面积。（取3）【例5】（）如下图，AB与CD是两条垂直的直径，圆O的半径为15厘米，与立体几何有关的题型 小学阶段，我们除了学习平面图形外，还认识了一些简单的立体图形，如长方体、正方体（立方体）、直圆柱体，直圆锥体、球体等，并且知道了它们的体积、表面积的计算公式，归纳如下。见下图。在数学竞赛中，有许多几何趣题，解答这些趣题的关键在于精巧的构思和恰当的设计，把形象思维和抽象思维结合起来。2 求不规则立体图形的表面积与体积【例6】（）用棱长是1厘米的正方块拼成如下图所示的立体图形，问该图形的表面积是多少平方厘米？【例7】（）在边长为4厘米的正方体木块的每个面中心打一个边与正方体的边平行的洞洞口是边长为1厘米的正方形，洞深1厘米（如下图）求挖洞后木块的表面积和体积【例8】（）如图是一个边长为2厘米的正方体。在正方体的上面的正中向下挖一个边长为1厘米的正方体小洞；接着在小洞的底面正中再向下挖一个边长为1/2厘米的小洞；第三个小洞的挖法与前两个相同，边长为1/4厘米。那么最后得到的立体图形的表面积是多少平方厘米？ 3 水位问题【例9】（）一个酒精瓶，它的瓶身呈圆柱形（不包括瓶颈），如下图已知它的容积为26.4立方厘米当瓶子正放时，瓶内的酒精的液面高为6厘米瓶子倒放时，空余部分的高为2厘米问：瓶内酒精的体积是多少立方厘米？合多少升？【例10】（）一个高为30厘米，底面为边长是10厘米的正方形的长方体水桶，其中装有容积的水，现在向桶中投入边长为2厘米2厘米3厘米的长方体石块，问需要投入多少块这种石块才能使水面恰与桶高相齐？4 计数问题【例11】（）右图是由22个小正方体组成的立体图形，其中共有多少个大大小小的正方体？由两个小正方体组成的长方体有多少个？【例12】有甲、乙、丙3种大小的正方体，棱长比是1：2：3。如果用这三种正方体拼成尽量小的一个正方体，且每种都至少用一个，则最少需要这三种正方体共多少？5 三维视图的问题【例13】现有一个棱长为1cm的正方体，一个长宽为1cm高为2cm的长方体，三个长宽为1cm高为3cm的长方体。下列图形是把这五个图形合并成某一立体图形时，从上面、前面、侧面所看到的图形。试利用下面三个图形把合并成的立体图形（如例）的样子画出来，并求出其表面积。例：6 其他常考题型【例14】（）有两种不同形状的纸板，一种是正方形的，另一种是长方形的，正方形纸板的总数与长方形纸板的总数之比是12.用这些纸板做成一些竖式和横式的无盖纸盒.正好将纸板用完.问在所做的纸盒中，竖式纸盒的总数与横式纸盒的总数之比是多少？【例15】左下图是一个正方体，四边形APQC表示用平面截正方体的截面。请在右下方的展开图中画出四边形APQC的四条边。小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）与圆和扇形有关的题型。参见例1，2，3，4，52）求不规则立体图形的表面积与体积。参见例6，7，83）水位问题。参见例9，104）计数问题。参见例11，125）三维视图的问题。参见例136）其他常考题型。参见例14，15作业题 （注：作业题-例题类型对照表，供参考）题1，2，3，4类型1；题5类型4；题6，7类型2；题8类型61、（）如下图，求阴影部分的面积，其中OABC是正方形.2、（）如下图所示，求阴影面积，图中是一个正六边形，面积为1040平方厘米，空白部分是6个半径为10厘米的小扇形。3、（）如右图，将直径AB为3的半圆绕A逆时针旋转60，此时AB到达AC的位置，求阴影部分的面积（取=3）.4、（）如下图，两个半径相等的圆相交，两圆的圆心相距正好等于半径，AB弦约等于17厘米，半径为10厘米，求阴影部分的面积。5、（）2100个边长为1米的正方体堆成一个实心的长方体.它的高是10米，长、宽都是大于10（米）的整数，问长方体长宽之和是几米？6、（）有一个正方体，边长是5.如果它的左上方截去一个边长分别是5、3、2的长方体（如下图），求它的表面积减少的百分比是多少？7、（）如下图，在棱长为3的正方体中由上到下，由左到右，由前到后，有三个底面积是1的正方形高为3的长方体的洞，求所得形体的表面积是多少？8、（）现有一张长40厘米、宽20厘米的长方形铁皮，请你用它做一只深是5厘米的长方体无盖铁皮盒（焊接处及铁皮厚度不计，容积越大越好），你做出铁皮盒容积是多少立方厘米？ 名校真题 测试卷3 （几何篇二）时间：15分钟 满分5分 姓名_ 测试成绩_1 （05年101中学考题）求下图中阴影部分的面积： 2 （06年清华附中考题）从一个长为8厘米，宽为7厘米，高为6厘米的长方体中截下一个最大的正方体，剩下的几何体的表面积是_平方厘米. 3 （06年三帆中学考试题）有一个棱长为1米的立方体，沿长、宽、高分别切二刀、三刀、四刀后，成为60个小长方体(见左下图).这60个小长方体的表面积总和是_平方米. 4 （06年西城八中考题）右上图中每个小圆的半径是1厘米，阴影部分的周长是_厘米.（3.14） 5 (05年首师附中考题)一千个体积为1立方厘米的小正方体合在一起成为一个边长为10厘米的大正方体，大正方体表面涂油漆后再分开为原来的小正方体，这些小正方体至少有一面被油漆涂过的数目是多少个？第四讲 小升初专项训练 行程篇（一）一、小升初考试热点及命题方向行程问题是历年小升初的考试重点，各学校都把行程当压轴题处理，可见学校对行程的重视程度，由于行程题本身题干就很长，模型多样，变化众多，所以对学生来说处理起来很头疼，而这也是学校考察的重点，这可以充分体现学生对题目的分析能力。二、2012年考点预测2012年的小升初考试将继续以填空和大题形式考查行程，命题的热点在于相遇和追及的综合题型，以及环形跑道上的二次相遇问题，注意这类题型多运用比例关系解题较为简捷。三、基本公式【基本公式】：路程速度时间【基本类型】 相遇问题：速度和相遇时间相遇路程； 追及问题：速度差追及时间路程差； 流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响； 顺水速度船速水速 逆水速度船速水速 静水速度（顺水速度逆水速度）2 水速（顺水速度逆水速度）2 （也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个） 其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；【复杂的行程】1、多次相遇问题；2、环形行程问题；3、运用比例、方程等解复杂的题；四、典型例题解析1 典型的相遇问题【例1】（）甲、乙两人沿400米环形跑道练习跑步，两人同时从跑道的同一地点向相反方向跑去。相遇后甲比原来速度增加2米秒，乙比原来速度减少2米秒，结果都用24秒同时回到原地。求甲原来的速度。提示：环形跑道的相遇问题。【例2】（）小红和小强同时从家里出发相向而行。小红每分走52米，小强每分走70米，二人在途中的A处相遇。若小红提前4分出发，且速度不变，小强每分走90米，则两人仍在A处相遇。小红和小强两人的家相距多少米？【例3】（）甲、乙两车分别从A、B两地同时出发相向而行，6小时后相遇在C点。如果甲车速度不变，乙车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点12千米，如果乙车速度不变，甲车每小时多行5千米，且两车还从A、B两地同时出发相向而行，则相遇地点距C点16千米。甲车原来每小时向多少千米？ （13届迎春杯决赛题）2 典型的追及问题3 【例4】（）在400米的环行跑道上，A，B两点相距100米。甲、乙两人分别从A，B两点同时出发，按逆时针方向跑步。甲甲每秒跑5米，乙每秒跑4米，每人每跑100米，都要停10秒钟。那么甲追上乙需要时间是多少秒？3 相遇与追及的综合题型【例5】（）甲、乙两车的速度分别为 52千米时和 40千米时，它们同时从甲地出发到乙地去，出发后6时，甲车遇到一辆迎面开来的卡车，1时后乙车也遇到了这辆卡车。求这辆卡车的速度。4 多次折返的行程问题【例6】（）一个圆的圆周长为1.26米，两只蚂蚁从一条直径的两端同时出发沿圆周相向爬行。这两只蚂蚁每秒钟分别爬行5.5厘米和3.5厘米，在运动过程中它们不断地调头。如果把出发算作第零次调头，那么相邻两次调头的时间间隔顺次是1秒、3秒、5秒、，即是一个由连续奇数组成的数列。问它们相遇时，已爬行的时间是多少秒？ 【例7】（）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山，他们两人的下山速度都是各自上山速度的1.5倍，而且甲比乙速度快。两人出发后1小时，甲与乙在离山顶600米处相遇，当乙到达山顶时，甲恰好到半山腰。那么甲回到出发点共用多少小时？6 流水行船问题关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响； 顺水速度船速水速 逆水速度船速水速 静水速度（顺水速度逆水速度）2 水速（顺水速度逆水速度）2 必须熟练运用：水速顺度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个量求另外2个量【例8】（）一艘轮船顺流航行120千米，逆流航行80千米共用16时；顺流航行60千米，逆流航行120千米也用16时。求水流的速度。【例9】（）某河有相距45千米的上下两港，每天定时有甲乙两船速相同的客轮分别从两港同时出发相向而行，这天甲船从上港出发掉下一物，此物浮于水面顺水漂下，4分钟后与甲船相距1千米，预计乙船出发后几小时可与此物相遇。【例10】（）江上有甲、乙两码头，相距15千米，甲码头在乙码头的上游，一艘货船和一艘游船同时从甲码头和乙码头出发向下游行驶，5小时后货船追上游船。又行驶了1小时，货船上有一物品落入江中（该物品可以浮在水面上），6分钟后货船上的人发现了，便掉转船头去找，找到时恰好又和游船相遇。则游船在静水中的速度为每小时多少千米？【例11】（）一只小船从甲地到乙地往返一次共用2时，回来时顺水，比去时每时多行驶8千米，因此第2时比第1时多行驶6千米。求甲、乙两地的距离。小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）典型的相遇问题。参见例1，2，32）典型的追及问题。参见例43）相遇与追及的综合题型。参见例54）多次折返的行程问题。参见例65）上山下山的行程问题。参见例76）流水行船问题。参见例8，9，10，11作业题（注：作业题-例题类型对照表，供参考）题1，6，7类型1；题2，4，5类型3；题3，8类型2； 1、（）甲、乙、丙三人行路，甲每分钟走60米，乙每分钟走67.5米，丙每分钟走75米，甲乙从东镇去西镇，丙从西镇去东镇，三人同时出发，丙与乙相遇后，又经过2分钟与甲相遇，求东西两镇间的路程有多少米？2、（）在环形跑道上，两人都按顺时针方向跑时，每12分钟相遇一次，如果两人速度不变，其中一人改成按逆时针方向跑，每隔4分钟相遇一次,问两人各跑一圈需要几分钟？3、（）晶晶每天早上步行上学，如果每分钟走60米，则要迟到5分钟，如果每分钟走75米，则可提前2分钟到校.求晶晶到校的路程？（盈亏问题）4、（）小马虎上学忘了带书包，爸爸发现后立即骑车去追，把书包交给他后立即返回家。小马虎接到书包后又走了10分钟到达学校，这时爸爸也正好到家。如果爸爸的速度是小马虎速度的4倍，那么小马虎从家到学校共用多少时间？5、（）某人沿公路前进，迎面来了一辆汽车，他问司机：“后面有骑自行车的人吗？”司机回答：“10分钟前我超过一个骑自行车的人。”这人继续走了10分钟，遇到了这个骑自行车的人。如果自行车的速度是人步行速度的3倍，那么，汽车速度是人步行速度的多少倍？ 7倍6、（）甲、乙同时从 A， B两地相向走来。甲每时走 5千米，两人相遇后，乙再走10千米到A地，甲再走1.6时到B地。乙每时走多少千米？4千米。7、（）甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，它们相遇时距A，B两地中心处8千米，已知甲车速度是乙车的1.2倍，求A，B两地的距离。8、（）甲、乙、丙三辆车同时从A地出发到B地去，出发后6分甲车超过了一名长跑运动员，2分后乙车也超过去了，又过了2分丙车也超了过去。已知甲车每分走1000米，乙车每分走800米，丙车每分钟走多少米？680米。提示：先求长跑运动员的速度。名校真题 测试卷4 （行程篇一）时间：15分钟 满分5分 姓名_ 测试成绩_1 （06年清华附中考题）大货车和小轿车从同一地点出发沿同一公路行驶，大货车先走1.5小时，小轿车出发后4小时后追上了大货车.如果小轿车每小时多行5千米，那么出发后3小时就追上了大货车.问：小轿车实际上每小时行多少千米？ 2 （06年西城实验考题）小强骑自行车从家到学校去，平常只用20分钟。由于途中有2千米正在修路，只好推车步行，步行速度只有骑车的1/3，结果用了36分钟才到学校。小强家到学校有多少千米? 3 （05年101中学考题）小灵通和爷爷同时从这里出发回家，小灵通步行回去，爷爷在前的路程中乘车，车速是小灵通步行速度的10倍其余路程爷爷走回去，爷爷步行的速度只有小灵通步行速度的一半，您猜一猜咱们爷孙俩谁先到家？ 4 （06年三帆中学考题）客车和货车同时从甲、乙两城之间的中点向相反的方向相反的方向行驶，3小时后，客车到达甲城，货车离乙城还有30千米已知货车的速度是客车的，甲、乙两城相距多少千米？ 5 (02年人大附中考题)小明跑步速度是步行速度的3倍，他每天从家到学校都是步行。有一天由于晚出发10分钟，他不得不跑步行了一半路程，另一半路程步行，这样与平时到达学校的时间一样。那么小明每天步行上学需要时间多少分钟？ 第五讲 小升初专项训练 行程篇（二）一、小升初考试热点及命题方向多次相遇的行程问题是近两年来各个重点中学非常喜爱的出题角度，这类题型往往需要学生结合六年级所学习的比例知识和分数百分数来分析题干条件，在刚刚结束的06年小升初选拔考试中，诸如人大附中，首师附中，西城四中，东城二中和五中都涉及了这一类题型，希望同学们扎实掌握。二、2012年考点预测在上一章节我们已经说过，环形跑道上的二次相遇问题是今年考试的热点，注意这类题型多运用比例关系解题较为简捷，当然也不排除继续考察直线型的二次相遇问题，这是06年考试题型的重点，希望同学们认真掌握。超过二次的多次相遇问题出题概率很低。三、基本公式【基本公式】：路程速度时间【基本类型】 相遇问题：速度和相遇时间相遇路程； 追及问题：速度差追及时间路程差； 流水问题：关键是抓住水速对追及和相遇的时间不产生影响； 顺水速度船速水速 逆水速度船速水速 静水速度（顺水速度逆水速度）2 水速（顺水速度逆水速度）2 （也就是顺水速度、逆水速度、船速、水速4个量中只要有2个就可求另外2个） 其他问题：利用相应知识解决，比如和差分倍和盈亏；【复杂的行程】1、多次相遇问题；2、环形行程问题；3、运用比例、方程等解复杂的题；公式需牢记 做题有信心！ 四、典型例题解析1 直线型的多次相遇问题如果甲乙从A，B两点出发，甲乙第n次迎面相遇时，路程和为全长的2n-1倍，而此时甲走的路程也是第一次相遇时甲走的路程的2n-1倍（乙也是如此）。总结：若两人走的一个全程中甲走1份M米，则两人走3个全程中甲就走3份M米。请自己总结追及，以及从同一起点出发的情况。【例1】（）湖中有A，B两岛，甲、乙二人都要在两岛间游一个来回。两人分别从A，B两岛同时出发，他们第一次相遇时距A岛700米，第二次相遇时距B岛400米。问：两岛相距多远？【例2】（）甲、乙二人分别从A、B两地同时相向而行，乙的速度是甲的,二人相遇后继续行进，甲到B地、乙到A地后立即返回。已知二人第二次相遇的地点距第一次相遇的地点是20千米，那么，A、B两地相距千米。【来源】北京市第一届“迎春杯”初赛第二题第5题【练习】甲、乙两车同时从A，B两地相向而行，在距B地54千米处相遇。他们各自到达对方车站后立即返回原地，途中又在距A地42千米处相遇。求两次相遇地点的距离。【例3】（）甲、乙两车分别从A、B两地出发，在A、B之间不断往返行驶，已知甲车的速度是每小时15千米，乙车的速度是每小时35千米，并且甲、乙两车第三次相遇（这里特指面对面的相遇）的地点与第四次相遇的地点恰好相距100千米，那么，A、B两地之间的距离等于_ 千米。【来源】1993年小学数学奥林匹克初赛A卷第12题【例4】（）有一路电车的起点站和终点站分别是甲站和乙站。每隔5分钟有一辆电车从甲站出发开往乙站，全程要走15分钟。有一个人从乙站出发沿电车路线骑车前往甲站。他出发的时候，恰好有一辆电车到达乙站。在路上他又遇到了10辆迎面开来的电车，才到达甲站。这时候，恰好又有一辆电车从甲站开出。问他从乙站到甲站用了多少分钟?【来源】第一届“华杯赛”初赛第16题 2 环形跑道的多次相遇问题 【例5】（）在一圆形跑道上，甲从A点、乙从B点同时出发反向而行，6分后两人相遇，再过4分甲到达B点，又过8分两人再次相遇。甲、乙环行一周各需要多少分？【分析】20分，30分。 。【例6】（）如右图，A，B是圆的直径的两端，甲在A点，乙在B点同时出发反向而行，两人在C点第一次相遇，在D点第二次相遇。已知C离A有80米，D离B有60米，求这个圆的周长。 【例7】（）甲、乙两名同学在周长为300米圆形跑道上从同一地点同时背向练习跑步，甲每秒钟跑3.5米，乙每秒钟跑4米，问：他们第十次相遇时，甲还需跑多少米才能回到出发点？ 【例8】（）甲、乙两名运动员在周长400米的环形跑道上进行10000米长跑比赛，两人从同一起跑线同时起跑，甲每分跑400米，乙每分跑360米，当甲比乙领先整整一圈时，两人同时加速，乙的速度比原来快，甲每分比原来多跑18米，并且都以这样的速度保持到终点。问：甲、乙两人谁先到达终点？【来源】第九届小数报数学竞赛决赛应用题第3题 【例9】（） 右图中，外圆周长40厘米，画阴影部分是个“逗号”，两只蚂蚁分别从A，B同时爬行。甲蚂蚁从A出发，沿“逗号”四周顺时针爬行，每秒爬3厘米；乙蚂蚁从B出发，沿外圆圆周顺时针爬行，每秒爬行5厘米。两只蚂蚁第一次相遇时，乙蚂蚁共爬行了多少米？ 5 钟表问题【例10】（）王叔叔有一只手表，他发现手表比家里的闹钟每小时快30秒。而闹钟却比标准时间每小时慢30秒，那么王叔叔的手表一昼夜比标准时间差秒。【来源】北京市第三届“迎春杯”决赛第一题第8题 6 与分数百分数相结合的行程问题【例11】（）一辆车从甲地开往乙地。如果车速提高20%，可以比原定时间提前一小时到达；如果以原速行驶120千米后，再将车速提高25%，则可以提前40分钟到达。那么甲乙两地相距多少千米？ 【来源】92年小学数学奥林匹克竞赛决赛试题5 其它常考的行程问题【例12】某城市东西路与南北路交汇于路口A，甲在路口A南边560米的B点，乙在路口A。甲向北，乙向东同时匀速行走。4分钟后二人距A的距离相等。再继续行走24分钟后，二人距A的距离恰又相等。问：甲、乙二人的速度各是多少？ 【来源】第六届“华杯赛”决赛第7题【例13】 （）学校组织春游，同学们下午一点出发，走了一段平坦的路，爬了一座山，然后按原路返回，下午七点回到学校。已知他们的步行速度平地为4千米时，上山为3千米时，下山为6千米时。问：他们一共走了多少路？【例14】 （）如下图所示，A至B是下坡，B至C是平路，C至D是上坡。小张和小王在上坡时步行速度是每小时4千米，平路时步行速度是每小时5千米，下坡时步行速度是每小时6千米。小张和小王分别从A和D同时出发，1小时后两人在E点相遇。已知E在BC上，并且E至C的距离是B至C距离的1/5。当小王到达A后9分钟，小张到达D。那么A至D全程长是多少千米？ 小结本讲主要接触到以下几种典型题型：1）直线型的多次相遇问题。 参见例1，2，3，42）环形跑道的多次相遇问题。 参见例5，6，7，8，93）钟表问题。 参见例104）与分数百分数相结合的行程问题。参见例115）其它常考的行程问题。 参见例12，13，14作业题 （注：作业题-例题类型对照表，供参考）题1，2类型4；题3，4，6类型5；题5追及问题，题7火车问题。1、（）客车和货车同时从甲、乙两地相向开出，客车行完全程需10时，货车行完全程需15时。两车在中途相遇后，客车又行了90千米，这时客车行完了全程的80，求甲、乙两地的距离。2、（）甲、乙两车分别从A、B两地出发，相向而行。出发时，甲、乙的速度比是5：4，相遇后，甲的速度减少20%，乙的速度增加20%，这样，当甲到达B地时，乙离A地还有10千米。那么A、B两地相距多少千米？3、（）一位少年短跑选手，顺风跑90米用了10秒钟，在同样的风速下，逆风跑70米，也用了10秒钟。问：在无风的时候，他跑100米要用多少秒？4、（）甲、乙两人同时从山脚开始爬山，到达山顶后就立即下山。他们两人下山的速度都是各自上山速度的2倍。甲到山顶时，乙距山顶还有400米；甲回到山脚时，乙刚好下到半山腰。求从山脚到山顶的距离。5、（）甲、乙、丙三辆车先后从A地开往B地，乙比丙晚出发5分，出发后45分追上丙；甲比乙晚出发15分，出发后1时追上丙。甲出发后多长时间追上乙？6、（）游乐场的溜冰滑道如下图。溜冰车上坡每分行400米，下坡每分行600米。已知从A点到B点需3.7分，从B点到A点只需2.5分。问：AC比BC长多少米？7、（）铁路旁的一条平等小路上，有一行人与一骑车人同时向南行进，行人速度为3.6千米/小时，骑车人速度为10.8千米/小时。这时，有一列火车从他们背后开过来，火车通过行人用22秒钟，通过骑车人用26秒钟。这列火车的车身总长是（386米56米781米286米308米）名校真题 测试卷5 （行程篇二）时间：15分钟 满分5分 姓名_ 测试成绩_1 （05年人大附中考题）如图，ABCD是一个边长为6米的模拟跑道，甲玩具车从A出发顺时针行进，速度是每秒5厘米，乙玩具车从CD的中点出发逆时针行进，结果两车第二次相遇恰好是在B点，求乙车每秒走多少厘米? 2 （06年清华附中考题）已知甲车速度为每小时90千米，乙车速度为每小时60千米，甲乙两车分别从A,B两地同时出发相向而行，在途径C地时乙车比甲车早到10分钟；第二天甲乙分别从B,A两地出发同时返回原来出发地，在途径C地时甲车比乙车早到1个半小时，那么AB距离时多少？ 3 （06年十一中学考题）甲、乙、丙三人步行的速度分别是：每分钟甲走90米，乙走75米，丙走60米。甲、丙从某长街的西头、乙从该长街的东头同时出发相向而行，甲、乙相遇后恰好4分钟乙、丙相遇，那麽这条长街的长度是 米. 4 （06年西城实验考题）甲乙两人在A、B两地间往返散步，甲从A、乙从B同时出发；第一次相遇点距B处60 米。当乙从A处返回时走了lO米第二次与甲相遇。A、B相距多少米?