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第十节变化率与导数、导数的计算考纲传真1.了解导数概念的实际背景.2.理解导数的几何意义.3.能根据导数定义求函数yC(C为常数)，yx，yx2，yx3，y，y的导数.4.能利用基本初等函数的导数公式和导数的四则运算法则求简单函数的导数，能求简单复合函数(仅限于形如f(axb)的复合函数)的导数1有关导数的基本概念(1)函数yf(x)在xx0处的导数称函数yf(x)在x0点的瞬时变化率为函数yf(x)在点x0处的导数，用f(x0)表示，记作f(x0) .(2)导数的几何意义函数f(x)在点x0处的导数f(x0)的几何意义是在曲线yf(x)上点(x0，f(x0)处的切线的斜率相应地，切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)(3)函数f(x)的导函数如果一个函数f(x)在区间(a，b)上的每一点x处都有导数，导数值记为f(x)：f(x) ，则f(x)是关于x的函数，称f(x)为f(x)的导函数，通常也简称为导数2导数公式表(其中三角函数的自变量单位是弧度)函数导函数函数导函数yc(c是常数)y0ysin xycos_xyx(是实数)yx1ycos xysin_xyax (a0，a1)yaxln_a特别地(ex)exytan xyylogax (a0，a1)y特别地(ln x)ycot xy3.导数运算法则(1)f(x)g(x)f(x)g(x)；(2)f(x)g(x)f(x)g(x)f(x)g(x)；(3)(g(x)0)；(4)复合函数yf(x)的导数为yxf(x)f(u)(x)，其中yf(u)，u(x)1(思考辨析)判断下列结论的正误(正确的打“”，错误的打“”)(1)f(x0)与(f(x0)表示的意义相同()(2)求f(x0)时，可先求f(x0)再求f(x0)()(3)曲线的切线与曲线不一定只有一个公共点()(4)若f(x)e2x，则f(x)e2x.()答案(1)(2)(3)(4)2(教材改编)有一机器人的运动方程为s(t)t2(t是时间，s是位移)，则该机器人在时刻t2时的瞬时速度为()A.B.C.D.D由题意知，机器人的速度方程为v(t)s(t)2t，故当t2时，机器人的瞬时速度为v(2)22.3(20xx天津高考)已知函数f(x)(2x1)ex，f(x)为f(x)的导函数，则f(0)的值为_3因为f(x)(2x1)ex，所以f(x)2ex(2x1)ex(2x3)ex，所以f(0)3e03.4(20xx豫北名校期末联考)曲线f(x)5ex3在点(0，2)处的切线方程为_. 【导学号：57962098】5xy20f(x)5ex，所求曲线的切线斜率kf(0)5e05，切线方程为y(2)5(x0)，即5xy20.5(20xx全国卷)已知函数f(x)ax3x1的图像在点(1，f(1)处的切线过点(2,7)，则a_.1f(x)3ax21，f(1)3a1.又f(1)a2，切线方程为y(a2)(3a1)(x1)切线过点(2,7)，7(a2)3a1，解得a1.导数的计算求下列函数的导数：(1)yexln x；(2)yx；(3)yxsincos；(4)yln(2x9)解(1)y(ex)ln xex(ln x)exln xexex.(2)yx31，y3x2.(3)yxsin x，y1cos x.(4)令u2x9，yln u，则yxyuux.因此y(2x9).规律方法1.熟记基本初等函数的导数公式及运算法则是导数计算的前提，求导之前，应利用代数、三角恒等式等变形对函数进行化简，然后求导，这样可以减少运算量提高运算速度，减少差错2如函数为根式形式，可先化为分数指数幂，再求导3.复合函数求导，应先确定复合关系，由外向内逐层求导，必要时可换元处理变式训练1(1)f(x)x(2 017ln x)，若f(x0)2 018，则x0等于() 【导学号：57962099】Ae2B1Cln 2De(2)(20xx天津高考)已知函数f(x)axln x，x(0，)，其中a为实数，f(x)为f(x)的导函数若f(1)3，则a的值为_(1)B(2)3(1)f(x)2 017ln xx2 018ln x，故由f(x0)2 018，得2 018ln x02 018，则ln x00，解得x01.(2)f(x)aa(1ln x)由于f(1)a(1ln 1)a，又f(1)3，所以a3. 导数的几何意义角度1求切线方程已知曲线f(x)x3.(1)求曲线在点P(2,4)处的切线方程；(2)求曲线过点P(2,4)的切线方程解(1)根据已知得点P(2,4)是切点且f(x)x2，在点P(2,4)处的切线的斜率为f(2)4，3分曲线在点P(2,4)处的切线方程为y44(x2)，即4xy40.5分(2)设曲线f(x)x3与过点P(2,4)的切线相切于点A，则切线的斜率为f(x0)x，切线方程为yx(xx0)，即yxxx.7分点P(2,4)在切线上，42xx，即x3x40，9分xx4x40，x(x01)4(x01)(x01)0，(x01)(x02)20，解得x01或x02，故所求的切线方程为xy20或4xy40.12分角度2求切点坐标若曲线yxln x上点P处的切线平行于直线2xy10，则点P的坐标是_ 【导学号：57962100】(e，e)由题意得yln xx1ln x，直线2xy10的斜率为2.设P(m，n)，则1ln m2，解得me，所以neln ee，即点P的坐标为(e，e)角度3求参数的值(1)已知直线yx1与曲线yln(xa)相切，则a的值为()A1B2C1D2(2)(20xx西宁复习检测(一)已知曲线y在点(3,2)处的切线与直线axy10垂直，则a()A2B2CD.(1)B(2)A(1)设直线yx1与曲线yln(xa)的切点为(x0，y0)，则y01x0，y0ln(x0a)又y，所以y|xx01，即x0a1.又y0ln(x0a)，所以y00，则x01，所以a2.(2)由y得曲线在点(3,2)处的切线斜率为，又切线与直线axy10垂直，则a2，故选A.规律方法1.导数f(x0)的几何意义就是函数yf(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率，切点既在曲线上，又在切线上，切线有可能和曲线还有其他的公共点2曲线在点P处的切线是以点P为切点，曲线过点P的切线则点P不一定是切点，此时应先设出切点坐标易错警示：当曲线yf(x)在点(x0，f(x0)处的切线垂直于x轴时，函数在该点处的导数不存在，切线方程是xx0.思想与方法1f(x0)是函数f(x)在xx0处的导数值；(f(x0)是函数值f(x0)的导数，而函数值f(x0)是一个常数，其导数一定为0，即(f(x0)0.2对于函数求导，一般要遵循先化简再求导的基本原则在实施化简时，必须注意变换的等价性易错与防范1利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆复合函数的导数要正确分解函数的结构，由外向内逐层求导2曲线yf(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点3曲线的切线与二次曲线的切线的区别：曲线的切线与曲线的公共点的个数不一定只有一个，而直线与二次曲线相切只有一个公共点
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