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1第一节第一节 复函数积分的概念复函数积分的概念 复积分是研究解析函数的一个重要工具。复积分是研究解析函数的一个重要工具。柯西积分定理及柯西积分公式尤其重要柯西积分定理及柯西积分公式尤其重要, ,它们它们是复变函数论的基本定理和基本公式。是复变函数论的基本定理和基本公式。1、复积分的定义、复积分的定义定义定义1 1 设设C C是平面上给定的一条光滑是平面上给定的一条光滑( (或按段光或按段光滑滑) )曲线，如果选定曲线，如果选定C C的两个可能方向中的一个的两个可能方向中的一个作为正方向，那么我们就把作为正方向，那么我们就把C C理解为带有方向的理解为带有方向的曲线，称为曲线，称为有向曲线有向曲线。第十二章第十二章 复变函数的积分复变函数的积分2 设曲线设曲线C C的两个端点为的两个端点为A A与与B B，如果把从，如果把从A A到到B B的方向作为的方向作为C C的正方向，那么从的正方向，那么从B B到到A A的方向就是的方向就是C C的负方向，并把它记作的负方向，并把它记作C C 。 对于简单闭曲线的对于简单闭曲线的正方向正方向是指当曲线上的点是指当曲线上的点P P顺此方向沿该曲线前进时，邻近顺此方向沿该曲线前进时，邻近P P点的曲线内部点的曲线内部始终位于始终位于P P点的点的左方左方；与之相反的方向就是曲线；与之相反的方向就是曲线的负方向。的负方向。CabCC301(3):,nABnAzzzB 将将任任意意分分划划成成 个个小小弧弧段段1(4)()kkkkkzzfz 作作乘乘积积1111(5)(),maxnnkkkkkkkkkkk nSfzzzzSzzS 作作和和式式记记为为的的长长度度Dzzfw )()(1设设定义定义2(2).CDAB为区域 内点点为区域 内点点的一条光滑有向曲线的一条光滑有向曲线DABxyo1 1z1 kzk kz1 nzkz ,( )knnCSf zC 当当 无无限限增增加加 且且 趋趋于于零零时时 如如果果不不论论对对的的分分法法及及的的取取法法如如何何有有唯唯一一极极限限 那那么么称称这这极极限限值值为为函函数数值值沿沿曲曲线线 的的积积分分。4记记作作knkkCnzfdzzf 1)(lim)(1),C如果曲线 为闭曲线 那么沿此闭曲线如果曲线 为闭曲线 那么沿此闭曲线的积分记作的积分记作 Cdzzf)(A baCdxxudzzfbaxxuzfC)()(,)()(:)2(则则(3)(3)复积分仍作为一种和式极限来定义的。复积分仍作为一种和式极限来定义的。 这个定义形式上与实函数定积分的定义相同，这个定义形式上与实函数定积分的定义相同，但实质上是不同的。复积分与二元实函数的第但实质上是不同的。复积分与二元实函数的第二类曲线积分形式上不同，但反映的实际意义二类曲线积分形式上不同，但反映的实际意义是相同的。是相同的。(4)(4)定义中的定义中的C C在区域在区域D D的内部，即的内部，即C C不能在不能在D D的外的外部或边界。部或边界。52、复积分存在的条件及计算法、复积分存在的条件及计算法( )( ,)( ,)( )Cf zu x yiv x yCf z dz 当当在在光光滑滑曲曲线线上上连连续续时时存存在在定理定理( )CCCf z dzudxvdyivdxudy且且 Cidydxivu)(记记忆忆.)(函函数数的的线线积积分分来来计计算算可可通通过过二二个个二二元元实实变变这这个个定定理理表表明明 CdzzfA 6,)(内处处连续内处处连续在在证明证明Divuzfw 内处处连续。内处处连续。在在与与Dyxvyxu),(),(,kkki 取取1 kkkzzz )()(11 kkkkiyxiyx)()(11 kkkkyyixxkkyix nkkkzf1)( nkkkkkkkyixivu1)(,(),( 7 nkkkkkkknkkkkkkkyuxviyvxu11),(),(),(),( 是存在的。因此有是存在的。因此有极限都极限都上式右端的两个和式的上式右端的两个和式的的取法如何的取法如何点点的分法如何的分法如何不论对不论对大值趋于零时大值趋于零时最最无限增大而弧段长度的无限增大而弧段长度的我们知道当我们知道当定理定理根据线积分的存在根据线积分的存在都是连续函数都是连续函数由于由于,),(,kkCnvu nkkkzf1)( )()( CCCudyvdxivdyudxdzzf8:,我我们们有有根根据据线线积积分分的的计计算算方方法法)()( CCCudyvdxivdyudxdzzf dttytytxutxtytxvidttytytxvtxtytxu)()(),()()(),()()(),()()(),( dtty itxtytxivtytxu)()()(),()(),( dttztzf)()(9:复复积积分分计计算算方方法法、参参数数法法2、线线积积分分法法1)()( CCCudyvdxivdyudxdzzf dttztzfdzzfC)()()(3、复积分的基本性质、复积分的基本性质 CCdzzfdzzf)()()1()()()()2(是常数是常数kdzzfkdzzkfCC 10 CCCdzzgdzzfdzzgzf)()()()()3(则则上满足上满足在在函数函数的长度为的长度为设曲线设曲线,)()(,)(MzfCzfLC 4( )( )(CCf z dzf z dsML估值定理)估值定理)则则段光滑曲线段光滑曲线相互连接所组成的的按相互连接所组成的的按等光滑曲线依次等光滑曲线依次是由以是由以设设,)(nCCCC215 nCCCCdzzfdzzfdzzfdzzf)()()()(21)(可可加加性性复复积积分分对对于于积积分分区区域域的的11,CzdzC 其中曲线 是其中曲线 是（ ） 沿沿从从原原点点到到点点的的直直线线0111ziC1211210303(2)z =1Cz =1(2)z =1Cz =1z =1+iCz =1+iC沿沿从从原原点点到到点点的的直直线线和和从从点点到到的的直直线线所所连连接接而而成成的的折折线线。i 11Cxyo)10()1(:)1(1 ttizC 的方程的方程曲线曲线解解 Cdtitidzz10)1()1( 10)1()1(dtiti 102tdt102t 1 1例例计计算算复复积积分分: :12i 13C2CxyodtdzttzyC ),10(0:)2(2曲线曲线 CCCdzzdzzdzz32 1010)1(idtitdtt 1010)1(idtittdt1021022)01(2tit i 1idtdztitzxC ),10(11:3曲线曲线13:说说明明积分值也不同。积分值也不同。但路径不同但路径不同与终点相同与终点相同虽然起点虽然起点沿不同路径积分沿不同路径积分、此例说明、此例说明, Cdzz1算算、也也可可以以用用线线积积分分法法计计2)10(:)1(1 xxyC 也也可可以以写写成成曲曲线线例例如如 CCidydxyixdzz)( CCydxxdyiydyxdx)()(1021021010 xdxixdx14xyoABC计计算算下下列列复复积积分分例例 2圆周。圆周。的的到点到点点点上从上从为单位圆为单位圆其中曲线其中曲线、41:1:1,)Re(31izBzAzCdzzzC 1 zC的的方方程程曲曲线线解解)20(sincos ttytxdttitdzttitz)cossin()20(sincos 15 Cdzzz)Re(3 20)cossin(cos)sin(cos3 dttitttit 202)3cos7(cossin7 dttitt)232217(27 ii427 16。到点到点从点从点为半圆周为半圆周其中曲线其中曲线、BAttytxCdzzC)0(sincos,2 xyo解解: : CCidydxyxdzz)(22 022)cossin(sincosdttittt 0)cossin(dttit2 171003()(),nCdznZzzCzr 例计算复积分，其中例计算复积分，其中曲线 为以 为中心 为半径的正向圆周。曲线 为以 为中心 为半径的正向圆周。 irezz 00zzrxyo18 irezz 00zzrxyorzzC 0:曲曲线线解解)20(0 irezz CnzzdzI10)( 201)(1idrereini 20deriinn 20deriinn19 2010)(derizzdzIinnCn,0)1(时时当当 n;220200irideriIn (2)0,nnZ 当当时时 20deriIinn 20)sin()cos(dninrin0 20:结果结果这这个个结结果果以以后后经经常常用用到到, ,它它的的特特点点是是与与积积分分路路线线圆圆周周的的中中心心和和半半径径无无关关, ,应应记记注注。是是其中曲线其中曲线计算复积分计算复积分例例CzdzC,4 )1, 0()0 , 1(1:)3()1, 0()0 , 1(1:)2()1, 0()0 , 1(:1223221到点到点从点从点沿单位圆沿单位圆到点到点从点从点沿一条抛物线沿一条抛物线的直线的直线到点到点从点从点）（ yxCxyCC )( 1012)(100Znnnidzzzrzzn 21xyoAB1C1:11 yxC）（解解 tytx1dtidztittz)1(),01()1( 到到从从 01)1()1(1dtiittzdzC 01)1()1(dtitti1 22xyoAB2CxyC 1:)2(22 tytx21dtitdztittz)2(),10()1(2 到到从从1)2()1(1022 dtitittzdzC231:)3(223 yxCxyoAB3Cdtiedztezitit ),20( 到到从从 203 dtieezdzititC 202 dteiit2022 ieiit 1 说说明明：,Czdz 本例中起点、终点相同 路径不同 但复本例中起点、终点相同 路径不同 但复积分的值相同。积分的值相同。24第二节第二节 积分基本定理积分基本定理;,的积分值是不同的的积分值是不同的线线径而起点终点相同的曲径而起点终点相同的曲沿不同路沿不同路复积分复积分从上一讲的例子可知从上一讲的例子可知CdzzC 积分值是相同的。积分值是相同的。的的起点终点相同的曲线起点终点相同的曲线沿不同路径沿不同路径CzdzC, 0002)()(0)1010nnizzdzzzdzrzznCn 一、单连通域的柯西定理一、单连通域的柯西定理25问题问题：复积分的积分值与路径无关，或沿封：复积分的积分值与路径无关，或沿封闭曲线的积分值为零的条件是什么？闭曲线的积分值为零的条件是什么？:分分析析;)()1(在在复复平平面面上上处处处处不不解解析析zzf ;)()2(在复平面上处处解析在复平面上处处解析zzf 。内部也不是处处解析的内部也不是处处解析的心的圆周心的圆周为中为中它在以它在以时时当当Cznzzzfn010,0)(1)()3( :猜猜想想域的单连通性有关。域的单连通性有关。性与积分区性与积分区可能与被积函数的解析可能与被积函数的解析26() 定定理理柯柯西西古古萨萨基基本本定定理理证证明明 不不妨妨增增加加一一个个条条件件在在 内内处处处处连连续续:( )fzB ( ),( ):f zBf zBC如果函数在单连通域 内处处解析 那么如果函数在单连通域 内处处解析 那么函数沿 内任一条封闭曲线 的积分为零函数沿 内任一条封闭曲线 的积分为零0)( Cdzzf,)(yyxxiuvivuzf xyxyxyxyxyxyxyxyu,v,u ,u ,v ,vu,v,u ,u ,v ,v 连连续续, ,并并满满足足柯柯西西- -黎黎曼曼方方程程:u =v ,v =-u:u =v ,v =-u又又( )CCCf z dzudxvdyivdxudy27得得取正向取正向黎曼方程黎曼方程根据格林公式与柯西根据格林公式与柯西)(C 0)( CCCudyvdxivdyudxdzzf0)( DyxCduvvdyudx 0)( DyxCdvuudyvdx 所所围围的的区区域域是是其其中中CD的积分为零。的积分为零。内任一条封闭曲线内任一条封闭曲线沿沿函数函数函数函数即在上面的假设下即在上面的假设下CBzf)(,的。的。内处处连续”是不必要内处处连续”是不必要在在实际上“实际上“Bzf)( 281 1、这个定理对于复变函数的研究与发展起着、这个定理对于复变函数的研究与发展起着非常重要的作用。它是复变函数理论的基础，非常重要的作用。它是复变函数理论的基础，因此将此定理称为因此将此定理称为积分基本定理积分基本定理。3 3、定理中的曲线、定理中的曲线C C在区域在区域D D的内部，就是说的内部，就是说C C的的内部完全属于内部完全属于D D，C C不是不是D D的边界。可将此条的边界。可将此条件件适当放宽适当放宽，有下列结果。，有下列结果。2 2、定理中的条件是、定理中的条件是单连通区域单连通区域D D内内处处解析处处解析，此条件比积分定义中被积函数连续要强得多。此条件比积分定义中被积函数连续要强得多。说明：说明：29定理仍成立.定理仍成立.连续,连续,在在内解析内解析在在的边界的边界为为若若上上BCBzfBzfBC )(,)(,)2(1),( ),.CBf zBCB 若 为 的边界在上解析若 为 的边界在上解析定理仍成立定理仍成立4 4、定理中曲线、定理中曲线C C不必是简单的！不必是简单的！30二、多连通域的柯西定理二、多连通域的柯西定理()定定理理复复合合闭闭路路定定理理1212,nnCDCCCCC CCCD设设 为为多多连连通通域域 内内的的一一条条简简单单闭闭曲曲线线是是在在 内内的的简简单单闭闭曲曲线线 它它们们互互不不包包含含也也互互不不相相交交并并且且以以为为边边界界的的区区域域全全含含于于 。:, )(那么那么内解析内解析在在如果如果Dzf nkCCkdzzfdzzf1)()(1 ）（),(21均取正方向均取正方向其中其中nCCCCDCc1c2A310)()2( dzzf。顺时针顺时针负向负向逆时针逆时针正向正向向是向是其方其方所组成的复合闭路所组成的复合闭路为由为由其中其中)(,),(:,2121nnCCCCCCCC DCc1c2A 1)()(ccdzzfdzzfA 闭路变形原理闭路变形原理321例计算下列复积分例计算下列复积分是是整整数数其其中中 是是包包含含原原点点的的任任一一条条闭闭曲曲线线 取取正正向向0211 101(1)(2)sin21(3)()()1(4)(,)zznz zrCdzzdzzdznzzdzzC 33C1xoy 2 2 1221)1(zdzz解解,1:21)(2内处处解析内处处解析所围的区域所围的区域在曲线在曲线DzCzzf :古古萨萨基基本本定定理理由由柯柯西西 02112 zdzz34,sin)(在复平面上处处解析在复平面上处处解析zzf 11sin)2(zzdz解解C1xoy:古古萨萨基基本本定定理理由由柯柯西西 0sin11 zzdz1(3)(,)CdzCz 其中 是含原其中 是含原点的任一闭曲线 取正向点的任一闭曲线 取正向Cxy oa351( )0,f zCDzz 由于在曲线 所围的区域 内有一个奇由于在曲线 所围的区域 内有一个奇点不能直接用柯西古萨基本定理。点不能直接用柯西古萨基本定理。取取正正向向作作一一个个圆圆以以原原点点为为中中心心,:,1azC ,11内内无无奇奇点点所所围围成成的的区区域域与与曲曲线线使使得得曲曲线线DCC根根据据复复合合闭闭路路定定理理内处处解析。内处处解析。域域多连通多连通在在即即)(1)(1Dzzf Cdzz1 azdzz1i 2 11CdzzCxy oa36仿仿照照本本例例的的方方法法, ,我我们们有有： )( 1012)(10ZnnnidzzzCn 其其中中 是是任任何何一一条条包包含含 的的简简单单闭闭曲曲线线。0Cz计计算算 包包含含圆圆周周在在内内的的任任意意正正向向简简单单闭闭曲曲线线221:1.zdzzzz 例例2 21212,0,1C CCzCz 解解：在在 内内作作两两个个互互不不包包含含、互互不不相相交交的的正正向向圆圆周周只只含含只只含含。37 2121111)111(CCCCdzzdzzdzzz原式原式)01, 011(21 CCdzzdzziiidzzdzzCC 42211112 C1C21xyo由复合闭路定理由复合闭路定理38三、原函数与不定积分三、原函数与不定积分 由柯西基本定理知：设由柯西基本定理知：设f (z)在单连通区域在单连通区域B内内解析，则对解析，则对B中任意曲线中任意曲线C, 积分积分c f (z)dz与路径与路径无关，只与起点和终点有关，即无关，只与起点和终点有关，即 10)()(zzCdzzfdzzf0( )( )zzF zfd 令单值函数令单值函数。且且的一个解析函数的一个解析函数内内必为必为那么函数那么函数处解析处解析内处内处在单连通域在单连通域如果函数如果函数)()(,)()(,)(0zfzFBdfzFBzfzz 定理定理39。则则设设)()(,)()(0zfzFdfzFzz 内的原函数。内的原函数。在区域在区域为为那么称函数那么称函数即即等于等于内的导数内的导数在区域在区域如果函数如果函数BzfzzfzzfBz)()(),()(),()( 1定义定义:注注意意一一个个常常数数。的的任任何何两两个个原原函函数数相相差差)()2(zf。有一般表达式有一般表达式而且具而且具函数函数那么它就有无穷多个原那么它就有无穷多个原内有一个原函数内有一个原函数在区域在区域如果函数如果函数CzFzFBzf )(,),()()3(的一个原函数。的一个原函数。是是函数函数)()()()1(0zfdfzFzz 40记作记作积分积分的不定的不定为为为任意常数为任意常数其中其中的原函数的一般表达式的原函数的一般表达式,)()()()(zfCCzFzf 那么那么的一个原函数的一个原函数为为解析解析内处处内处处在单连通域在单连通域如果函数如果函数,)()(,)(zfzGBzf2定义定义CzFdzzf )()(定理定理)()()(0110zGzGdzzfzz 内的两点。内的两点。为域为域这里这里Bzz10, 有了原函数、不定积分和解析函数的积有了原函数、不定积分和解析函数的积分公式，复变函数的积分也可以用与微积分分公式，复变函数的积分也可以用与微积分学中类似的方法计算。学中类似的方法计算。413例计算下列复积分例计算下列复积分 izdzz0cos)1(2)(2),:1:zABze dzABA zB zi 其中是到点其中是到点的有向直线段 。的有向直线段 。42zzzzzcossin,cos 得它的一个原函数为得它的一个原函数为容易求容易求在全平面上解析在全平面上解析函数函数 izdzz0cos)1(解解 izdzz0cosizzz0)cossin( 1cossin iii122 iiiiiiiieeieei1221111 eeieei11 e43。的有向直线段的有向直线段点点到到是是其中其中解解izBzAABdzezABz :1:,)2()3( )(2),zf zze 在全平面上解析可用在全平面上解析可用牛顿莱布尼兹公式牛顿莱布尼兹公式 ABzdzez)2( izdzez1)2(izzzezee1)2( izzzee1)( 1)11()1( eeiiiei)1( 44参参数数法法第第二二种种方方法法 : ABzdzez)2( 11:tytxxyAB直线直线)01()1(到到从从 tittz 01)1()1(2)1(dtieittittiei)1( 45总结求复积分的方法：总结求复积分的方法：212121( )( )( )( )1)( )( ( ) ( ) ,( ) ( )( )02( ) ( )( )( )1()(izzzzCCif z dzF zf zCiif z dzf z t z t dti f zCf z dzCii f zCf z dzf z dziiiz C C牛牛顿顿- -莱莱布布尼尼兹兹公公式式、 为为开开路路径径( ( 参参数数法法直直线线、折折线线、圆圆弧弧等等。在在 所所围围成成的的单单连连通通域域内内解解析析, ,由由基基本本定定理理、 为为闭闭路路径径在在 所所围围成成的的区区域域内内有有奇奇点点，则则挖挖洞洞后后用用复复合合闭闭路路定定理理02,10,1)nCi ndznz
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