n阶行列式教案

会计学1n阶行列式阶行列式324xyxy 3224xyzxyz 324225xyxyxy 11112211211222221122nnnnnnnnnna xa xa xba xa xaxba xaxa xb 第1页/共123页第2页/共123页第一节第一节 n阶行列式阶行列式第二节行列式的性质第二节行列式的性质第三节行列式按行第三节行列式按行(列列)展开展开第四节克拉默法则第四节克拉默法则第五节应用举例第五节应用举例第一章第一章 n 阶行列阶行列式式第3页/共123页用消元法解二元线性方程组用消元法解二元线性方程组 .,22221211212111bxaxabxaxa 1 2 :122a ,2212221212211abxaaxaa :212a ,1222221212112abxaaxaa 2x两式相减消去，得两式相减消去，得第一节第一节 n 阶行列式阶行列式;212221121122211baabxaaaa ）（,211211221122211abbaxaaaa ）（21a 11a 类似可以消去类似可以消去 得，得，1,x第4页/共123页112212211122122112212212112121;.a aa axb aa ba aa axa bb a （）（）时，时，当当021122211 aaaa方程组的解为方程组的解为，211222112122211aaaabaabx 112121211221221.a bb axa aa a 由方程组的由方程组的四个系数四个系数确定确定. . .,22221211212111bxaxabxaxa第5页/共123页 由四个数排成二由四个数排成二行行二二列列（横排称（横排称行行(row)、竖排称竖排称列列(column)的数表的数表11122122 (1)aaaa11221221111221221(2)a aa aaaaa表达称为数表（）所确定二阶行列式的，并记作式即即.2112221122211211aaaaaaaaD 其中其中aij 称为行列式称为行列式(1)(1)的元素或元的元素或元. .(i,j=1,2)aij 的第一个下标的第一个下标 i 称为行标称为行标. .aij 的第二个下标的第二个下标 j 称为列标称为列标. .aij 称为称为行列式第行列式第 i 行第行第 j 列的元素列的元素. .第6页/共123页11a12a22a21a主对角线主对角线副对角线副对角线2211aa .2112aa 二阶行列式的计算二阶行列式的计算若记若记1112112212212122,aaDa aa aaa .,22221211212111bxaxabxaxa对于二元线性方程组对于二元线性方程组系数行列式系数行列式第7页/共123页 .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ，211222112122211aaaabaabx 第8页/共123页 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa,22211211aaaaD ，211222112122211aaaabaabx 112121211221221.a bb axa aa a 第9页/共123页 .,22221211212111bxaxabxaxa,2221211ababD .,22221211212111bxaxabxaxa.2211112babaD ，211222112122211aaaabaabx 112121211221221.a bb axa aa a 第10页/共123页则二元线性方程组的解为则二元线性方程组的解为112222112221211112112221122122,babaDb ab axaaDa aa aaa 注意注意 分母都为原方程组的系数行列式分母都为原方程组的系数行列式. .111212221112121112112221122122.ababDb ab axaaDa aa aaa 并且可以看到，二元线性方程组的求解问题其实就是并且可以看到，二元线性方程组的求解问题其实就是二阶行列式的计算问题二阶行列式的计算问题. .第11页/共123页例例1 1 求方程组求方程组 的解。的解。121253678xxxx 5317D 16387D 解：解：25 61 8D 所以，所以，11DxD22DxD5 ( 7) 3 1 3806 ( 7) 3 8 66 5 86 134 6633,3819 34173819 第12页/共123页,122 D0?0 DD为何值时，为何值时，当当 解解)2(22 D020 )1( D时，时，或或当当 020 )2( D时，时，且且当当 第13页/共123页333231232221131211)5(339aaaaaaaaa列的数表列的数表行行个数排成个数排成设有设有,312213332112322311322113312312332211)6(aaaaaaaaaaaaaaaaaa 333231232221131211aaaaaaaaa（6 6）式称为数表式称为数表（5 5）所确定的所确定的. .第14页/共123页(1) (1) 对角线法则对角线法则2. 2. 三阶行列式的计算三阶行列式的计算333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，红线上三元素的乘积冠以正号， 蓝线上三元素的乘积冠以负号蓝线上三元素的乘积冠以负号第15页/共123页333231232221131211aaaaaaaaaD 323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (2) (2) 沙路法沙路法322113312312332211aaaaaaaaa D说明说明 (1) 对角线法则只适用于二阶与三阶行列式对角线法则只适用于二阶与三阶行列式 (2) 三阶行列式包括三阶行列式包括3!3!项项, ,每一项都是位于不同行每一项都是位于不同行, ,不同不同列的三个元素的乘积列的三个元素的乘积, ,其中三项为正其中三项为正, ,三项为负三项为负. .第16页/共123页按主对角线法，有按主对角线法，有 D1 2 ( 2) 46322484 .14 例例1 1 计算三阶行列式计算三阶行列式124221342D 2 1 ( 3) ( 4) ( 2) 4 ( 4) 2 ( 3) 2 ( 2) ( 2) 1 1 4 第17页/共123页 三元线性方程组三元线性方程组 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa设其系数行列式设其系数行列式333231232221131211aaaaaaaaaD , 0 利用三阶行列式求解三元线性方程组利用三阶行列式求解三元线性方程组 的解。的解。第18页/共123页 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 若记若记333231232221131211aaaaaaaaaD 或或 121bbb第19页/共123页 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3332323222131211aabaabaabD 记记,3332323222131211aabaabaabD 即即第20页/共123页 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD 第21页/共123页 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa333231232221131211aaaaaaaaaD 第22页/共123页 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa,3333123221131112abaabaabaD 得得 ;,333323213123232221211313212111bxaxaxabxaxaxabxaxaxa.3323122221112113baabaabaaD 第23页/共123页,3333123221131112abaabaabaD .3323122221112113baabaabaaD 则三元线性方程组的解为则三元线性方程组的解为: :,DDx11,22DDx .33DDx 333231232221131211aaaaaaaaaD ,3332323222131211aabaabaabD 第24页/共123页123123123203251324xxxxxxxxx 3210321134D 于是方程组的解为于是方程组的解为211325132D 1011125432D 2201315142D 280 13, 47, 21, 1328 ，22DxD 47,28 33DxD 213.28411DxD 8592630 第25页/共123页. 094321112 xx求解方程求解方程方程左端方程左端23Dx , 652 xx2560 xx由解得由解得3.2 xx或或4x 18 9x 22x 12 第26页/共123页(1) (1) 对角线法则对角线法则回顾回顾 三阶行列式的计算三阶行列式的计算333231232221131211aaaaaaaaa332211aaa .322311aaa 322113aaa 312312aaa 312213aaa 332112aaa 注意注意 红线上三元素的乘积冠以正号，红线上三元素的乘积冠以正号， 蓝线上三元素的乘积冠以负号蓝线上三元素的乘积冠以负号第27页/共123页323122211211aaaaaa .312213332112322311aaaaaaaaa (2) (2) 沙路法沙路法322113312312332211aaaaaaaaa D333231232221131211aaaaaaaaaD 问题问题：为什么红线位置元素乘积时都是为什么红线位置元素乘积时都是“+ +”号，而蓝线号，而蓝线位置元素相乘时都是位置元素相乘时都是“- -”号，正负号由什么来确定呢号，正负号由什么来确定呢？第28页/共123页2142141324313243 13141314不是排列不是排列不是排列不是排列不是排列不是排列3213级级排排列列31424级级排排列列定义定义1.1由由n个不同数码个不同数码1，2，n组成的有序数组成的有序数组，称为一个组，称为一个n级排列级排列, 用用 1 2ni ii 表示。表示。 三、三、 全排列及其逆序数全排列及其逆序数第29页/共123页 在一个排列在一个排列 中，若中，若数数 则称这两个数组成一个逆序则称这两个数组成一个逆序. nstiiiii21stii 例如例如 排列排列32514 中，中， 定义定义1.2排列的逆序排列的逆序数数3 2 5 1 4逆序逆序逆序逆序逆序逆序定义定义1.3 一个排列中所有逆序的总数称为此排一个排列中所有逆序的总数称为此排列的逆序数列的逆序数.记为记为1 2()niii3 32 23 31 12 21 15 51 15454都是逆序都是逆序第30页/共123页3 2 5 1 43 2 5 1 4逆序数为逆序数为2 20 0201故此排列的逆序数为故此排列的逆序数为2+1+2+0+0=5.2+1+2+0+0=5.所以所以(32514)=5(32514)=5计算排列的逆序数的方法：分别计算出排列中分别计算出排列中每个元素后面比它小的数码个数每个元素后面比它小的数码个数，即算出排列中即算出排列中每个元素的逆序数每个元素的逆序数，将每个元素的逆序数求和即得所求将每个元素的逆序数求和即得所求排列的逆序数排列的逆序数. .3 32 23 31 12 21 15 51 15454都是逆序都是逆序第31页/共123页计算排列的逆序数的方法2：分别计算出排列中分别计算出排列中每个元素前面比它大的数码个数每个元素前面比它大的数码个数之和之和，3 2 5 1 43 2 5 1 4即算出排列中每个元素的即算出排列中每个元素的逆序数逆序数，将每个元素的逆序数求和即得所求排列的逆序数将每个元素的逆序数求和即得所求排列的逆序数. .逆序数为逆序数为3 31001于是，于是，(32514)010315. 第32页/共123页定义定义1.3 逆序数为偶数的排列称为逆序数为偶数的排列称为偶排列偶排列，逆序数，逆序数为奇数的排列称为为奇数的排列称为奇排列奇排列。 排列排列12的逆序数为的逆序数为 0。 排列排列215479683的逆序数为的逆序数为 排列排列231的的 逆序数为逆序数为11。 2。 返返回回上一页上一页下一页下一页第33页/共123页练习练习 计算下列排列的逆序数，并判断奇偶性计算下列排列的逆序数，并判断奇偶性。(3124) 3124 365124 12(n-1)n n(n-1)321 解解：3 1 2 423 6 5 1 2 4220002(365124) 2430009偶排列偶排列奇排列奇排列0 0 04 3 0 0 0(12)0n n (n-1) (n-2) 3 2 1 n-1 n-2n-3210( (1)321)n n (1)2n n 第34页/共123页4 对对换换 在一个排列在一个排列i1isit in中，若将中，若将is和和it 位置互换位置互换, 而其余各数位置不变得到另一排列而其余各数位置不变得到另一排列i1itis in, 这个变换称为一个对换这个变换称为一个对换,记为记为( is ，it ).即即)43(12435 )31(3421)42(14231234结论：结论：1).1).对换改变排列的奇偶性对换改变排列的奇偶性. . 2).2).任意一个任意一个n级排列与标准排列级排列与标准排列12n 都可以经过一系列都可以经过一系列2 1 0 对换互变对换互变. .(, )11stiistntsniiiiiiii 3).3).在所有在所有n级排列中，奇排列与偶排列的个数相同。级排列中，奇排列与偶排列的个数相同。第35页/共123页111213212223112233122331132132313233aaaaaaa a aa a aa a aaaa132231122133112332a a aa a aa a a共共6=36=3！项；！项；每项都是由来自不同行不同列的元素乘积而得到；每项都是由来自不同行不同列的元素乘积而得到；每项的符号由什么来确定呢？每项的符号由什么来确定呢？123,231,312的逆序数依次为的逆序数依次为(123)0, 全为偶排列，于是全为偶排列，于是(123)(231)(312)( 1)1,( 1)1,( 1)1符号为正。符号为正。(231)2, (312)2 答案：行排列为自然序时，符号由该项列排列的逆序数决定。答案：行排列为自然序时，符号由该项列排列的逆序数决定。123312231第36页/共123页(321)3, 同理：同理：(321)(213)(132)( 1)1,( 1)1,( 1)1 111213212223313233aaaaaaaaa(213)1, 全为奇排列，全为奇排列，为负号为负号。(132)1 (123)(231)(312)112233122331132132( 1)( 1)( 1)a a aa a aa a a (321)(213)(132)132231122133112332( 1)( 1)( 1)a a aa a aa a a 132231122133112332a a aa a aa a a112233122331132132132231122133112332a a aa a aa a aa a aa a aa a a123123123()123()( 1).p p ppppp p paaa 第37页/共123页111213212223313233aaaaaaaaa123123123()123()( 1).p p ppppp p paaa 第38页/共123页12122()12111212122212( 1).nnp ppppnpnnnnnnnnnaaaaaaaaaDaaa由个数组成的阶行列式等于所有取自不同行不同列的个元素的乘积的代数和记作定义定义1.5).det(ija简记作简记作的元素的元素称为行列式称为行列式数数)det(ijijaa第39页/共123页121212()nnp ppnp pp其中为自然数 ， ， ， 的一个排列，为这个排列的逆序数 121212111212122212121nnnnnnnnnp ppppnpp ppaaaaaaDaaaaaa 第40页/共123页说说 明明1、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要程个数和未知量个数相同的线性方程组的需要而定义的而定义的;2、 阶行列式是阶行列式是 项的代数和项的代数和;n!n3、 阶行列式的每项都是位于不同行、不同阶行列式的每项都是位于不同行、不同列列 个元素的乘积个元素的乘积;如如nn4、 的符号为的符号为nnpppaaa212112()(1)np pp 项。项。就不是三阶行列式中的就不是三阶行列式中的332312aaa5、 一阶行列式一阶行列式 不要与绝对值记号相混淆不要与绝对值记号相混淆;aa 第41页/共123页例例 选择选择 i 和和 k ，使，使53254321 aaaaaki成为成为5阶行列式中一个带负号的项阶行列式中一个带负号的项解解其列标所构成的排列为：其列标所构成的排列为： i 5 2 k 3若取若取 i = 1，k 4，故故 i = 4，k = 1 时该项带负号。时该项带负号。可将给定的项改为行标按自然顺序，即可将给定的项改为行标按自然顺序，即53432251 aaaaaki则则 (1 5 2 4 3) = 4，是，是偶排列偶排列，该项则带正号，该项则带正号， 对换对换1，4的位置，的位置， 则则 4 5 2 1 3是是奇排列奇排列。第42页/共123页 定理定理1.21.2121 12 2(.)(.)1 2( 1).nn np ppq qqnp qp qp qDaaa 1212.nnp ppq qqn其中和都是 级排列。对n级行列式121212(.)12.( 1).nnnp ppppp np ppDaaaijaD , ,有有 推论推论 对n级行列式ijaD , ,有有第43页/共123页证明证明：将将 重排，使其行标成为自然顺序重排，使其行标成为自然顺序1 12 2nnp qp qp qaaa , 行标，列标同时作了一次对换，总行标，列标同时作了一次对换，总逆序数之和不改变奇偶性。逆序数之和不改变奇偶性。2121nnqqqaaa).().(11) 1(1nnqqppTS).().2, 1(1) 1(nqqn).(1) 1(nqqnnnnqpqpqqppaa.) 1(1111).().(nnqnqqqaa.) 1(111).(121 12 2(.)(.)1 2.nn np ppq qqnp qp qp qDaaa结论：返返回回上一页上一页下一页下一页第44页/共123页 1 2121 211121()2122212()121nnnni iiniii ni iinnnnaaaaaaDa aaaaa 阶行列式也可定义为阶行列式也可定义为n其中其中 为行排列为行排列 的逆序数的逆序数. .1 2niii1 2()niii 参见参见P8P8：等价定义形式一：等价定义形式一第45页/共123页 1 21 21 12 21 21 2()()()()1nnn nnni iij jji ji ji ji iij jjDaaa 该项该项 的符号由行排列和列排列的逆序的符号由行排列和列排列的逆序1 12 2n ni ji ji ja aa1 21 2()()nni iij jj 数之和数之和 决决定。定。1 21 2(),()nni iij jj是两个是两个n n级排列。级排列。其中其中， 阶行列式还可定义为阶行列式还可定义为n 参见参见P8P8：等价定义形式二：等价定义形式二第46页/共123页例例1 1计算对角行列计算对角行列式式0004003002001000分析分析展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是12341234()1234( 1)p p p pppppaaaa41 p若若, 011 pa从而这个项为零，从而这个项为零，所以所以 只能等于只能等于 , 1p4同理可得同理可得1, 2, 3432 ppp解解0004003002001000 432114321 .24 即行列式中不为零的项为即行列式中不为零的项为.aaaa41322314第47页/共123页n 21 .12121nnn ;21n n 21一般地，对角行列式一般地，对角行列式第48页/共123页n 21 11,212111nnnnnaaa .12121nnn 证明证明第一式是显然的第一式是显然的,下面证第二式下面证第二式.若记若记,1, iniia 则依行列式定义则依行列式定义11,21nnnaaa 证毕证毕第49页/共123页例例2 2 计算上三角行列式计算上三角行列式nnnnaaaaaa00022211211分分 析析 展开式中项的一般形式是展开式中项的一般形式是112(.)12( 1).nnppppnpaaa所以不为零的项只有所以不为零的项只有.2211nnaaannnnaaaaaa00022211211 nnnaaa2211121 .2211nnaaa 解解第50页/共123页例例3?8000650012404321 D443322118000650012404321aaaaD .1608541 第51页/共123页同理可得下三角行列式同理可得下三角行列式nnnnnaaaaaaa32122211100000.2211nnaaa 第52页/共123页主对角线以上的元素全为零（即主对角线以上的元素全为零（即ij时元素时元素aij0）的行列式称为的行列式称为上三角行列式上三角行列式，它等于主对角线上，它等于主对角线上各元素的乘积。各元素的乘积。 行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为行列式中，除对角线上的元素以外，其他元素全为零（即零（即ij时元素时元素aij0）的行列式称为）的行列式称为对角行列式对角行列式，它等于对角线上元素的乘积。它等于对角线上元素的乘积。返返回回上一页上一页下一页下一页第53页/共123页练习：练习：1.1.用行列式的定义计算下面的行列式用行列式的定义计算下面的行列式 0100000020001 .;00000100000nn 11111222113344550002000000.abcdeabcdeababab第54页/共123页解答：解答：1.1.用行列式的定义计算下面的行列式用行列式的定义计算下面的行列式 0100000020001 .;00000100000nn 解：解： (1) (1) 根据行列式的定义，根据行列式的定义，nD中的一般项为中的一般项为 1 212121,nnj jjjjnjaaa 其中，仅当其中，仅当1212,3,1nnjjjn j 时，该项不为零时，该项不为零所以，所以， (231)111 21!.nnnDnn 第55页/共123页(2) (2) 根据行列式的定义，该阶行列式的一般项为根据行列式的定义，该阶行列式的一般项为 1 2 3 4 512345123451j j j j jjjjjjaaaaa 我们注意到：当我们注意到：当345,jjj等等于于3,4,5时，时，0,3,4,5 .iijai由由于于345,jjj为为1,2,3,4,5中的三个不同的数，所以，无中的三个不同的数，所以，无论如何取，至少要取论如何取，至少要取到到3,4,5中的一个数故一般项中中的一个数故一般项中至少有一个因子等于零，于是，该行列式的每一项都至少有一个因子等于零，于是，该行列式的每一项都是零，从而该行列式等于是零，从而该行列式等于0 0 11111222113344550002000000.abcdeabcdeababab第56页/共123页1 、行列式是一种特定的算式，它是根据求解、行列式是一种特定的算式，它是根据求解方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需方程个数和未知量个数相同的一次方程组的需要而定义的要而定义的.2、 阶行列式共有阶行列式共有 项，每项都是位于不同项，每项都是位于不同行、不同列行、不同列 的的 个元素的乘积个元素的乘积,正负号由下标排正负号由下标排列的逆序数决定列的逆序数决定.nn!n第57页/共123页 xf .283, 32, 01 fff2、求排列、求排列16352487的逆序数的逆序数.1 1、求一个二次多项求一个二次多项式式, ,使使3、已知、已知 1211123111211xxxxxf .3的系数的系数求求 x, ,第58页/共123页解解设所求的二次多项式为设所求的二次多项式为 ,2cbxaxxf 由题意得由题意得 , 01 cbaf , 3242 cbaf ,28393 cbaf得一个关于未知数得一个关于未知数 的线性方程组的线性方程组,cba,又又, 020 D.20,60,40321 DDD得得, 21 DDa, 32 DDb13 DDc故所求多项式为故所求多项式为 . 1322 xxxf xf .283, 32, 01 fff1 1、求一个二次多项求一个二次多项式式, ,使使第59页/共123页解解含含 的项有两项的项有两项,即即3x 1211123111211xxxxxf 对应于对应于4334221112431aaaa44332211)1234(1aaaa,1344332211)1234(xaaaa343342211124321xaaaa. 13 的系数为的系数为故故 x又又3、已知、已知 1211123111211xxxxxf .3的系数的系数求求 x, ,第60页/共123页研究行列式性质的主要目的是研究行列式性质的主要目的是: :一、简化行列式的计算一、简化行列式的计算. .二、为进一步在理论上研究行列式做准备。二、为进一步在理论上研究行列式做准备。主要内容主要内容：1.1.行列式的转置，即行、列互换；行列式的转置，即行、列互换；2.2.行列式的行、列初等变换。行列式的行、列初等变换。第61页/共123页,212222111211nnnnnnaaaaaaaaaD nnnnnnaaaaaaaaaD212221212111 记记行列式行列式D称为行列式称为行列式D的的转置行列式转置行列式。性质性质1 行列式与它的转置行列式相等行列式与它的转置行列式相等 。证：证： 记记 ,212222111211nnnnnnbbbbbbbbbD 即即bijaji (i，j1，2，n) 返返回回上一页上一页下一页下一页第62页/共123页按行列式定义按行列式定义 nnjjjnjjjjbbbD2121211 nnjjjnjjjjDaaa2121211性质性质2 互换行列式的两行（列），行列式反号。互换行列式的两行（列），行列式反号。 证证 11121121212qqnqnnnnppnnpaaaaaaDaaaaaa交换第交换第p、q两列，得行两列，得行列式列式 nnnpnqnnpqnpqaaaaaaaaaaaaD122221111111 返返回回上一页上一页下一页下一页第63页/共123页对于对于D中任一项中任一项 12121pqnJiii pi qi na aaaa其中其中J为排列为排列 的逆序数的逆序数 nqpiiii1在在D1中必有对应一项中必有对应一项 112121qpnJiii qi pi na aaaa其中其中J1为排列为排列 的逆序数的逆序数 npqiiii1与与 只经过一次对换只经过一次对换nqpiiii1npqiiii1111JJ与相差一个符号niqipiiinipiqiiinqpnpqaaaaaaaaaa21212121 返返回回上一页上一页下一页下一页第64页/共123页所以对于所以对于D中任一项，中任一项，D1中必定有一项与它的符号中必定有一项与它的符号相反而绝对值相等，又相反而绝对值相等，又D与与D1的项数相同。的项数相同。 1DD 推论推论 若行列式有两行（列）元素对应相等，若行列式有两行（列）元素对应相等， 则行列式为零。则行列式为零。 交换行列式交换行列式i，j两行记作两行记作rirj，交换行列式，交换行列式i，j两列，记作两列，记作cicj证：由条件有证：由条件有 DD故可得故可得 D0返返回回上一页上一页下一页下一页第65页/共123页性质性质3 行列式的某一行（列）中所有元素都乘以行列式的某一行（列）中所有元素都乘以同一个数同一个数k，等于用数，等于用数k乘以此行列式。乘以此行列式。 (),iiikrk ck第 行 列 乘以数记作性质性质4 行列式中若有两行元素对应成比例，行列式中若有两行元素对应成比例， 则此行列式为零。则此行列式为零。 返返回回上一页上一页下一页下一页第66页/共123页例例1.1. 计算行列式计算行列式11312(1)0003910D 21312(2)2697390D 120DD答答案案：第67页/共123页性质性质5 若行列式的某行（列）的元素都是两个若行列式的某行（列）的元素都是两个数之和，例如数之和，例如 nnnnininiiiinnaaaaaaaaaaaaaaaD2122112222111211 则行列式则行列式D等于下列两个行列式之和：等于下列两个行列式之和： nnnniniinnnnnniniinnaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaaD2121222211121121212222111211 返返回回上一页上一页下一页下一页第68页/共123页* *证明：证明： 根据行列式的定义，我们有根据行列式的定义，我们有1 211 2()1()( 1)()niinnj jjjijijnjj jjDabca1 211 2()1()( 1)ninnj jjjijnjj jjaba1 211 2()1()( 1)ninnj jjjijnjj jjaca12.DD第69页/共123页例例2.2. 计算行列式计算行列式133024329722203D 根据性质根据性质4 4和性质和性质3 3的推论的推论1 1及推论及推论2 2，我们有，我们有解：解：133002433003222003D 133001324330043322200223 09161812366 5.第70页/共123页性质性质6 把行列式某一行（列）的元素乘以数把行列式某一行（列）的元素乘以数k，加，加到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。到另一行（列）对应的元素上去，行列式的值不变。 以数以数k乘以第乘以第i行上的元素加到第行上的元素加到第j行对应元素上记作行对应元素上记作rj k ri，有，有111211112112121211221212()()()nniiiniiinjijjjnjijijninnnnnnnnnaaaaaaaaaaaarkrijaaaakaakaakaaaaaaa返返回回上一页上一页下一页下一页第71页/共123页总结：总结：三种行列式变换三种行列式变换1 互换两行或两列互换两行或两列 1jijirrccDDD 2 第第i行或第行或第j列乘上非零数列乘上非零数k 1iikrkcDDkD3 行列式第行列式第i行或第行或第i列乘列乘上数上数k加到第加到第j行或第行或第j列对列对应元素上应元素上 1jijirkrckcDDD返返回回上一页上一页下一页下一页第72页/共123页例题：利用行列式的性质计算行列式的值例题：利用行列式的性质计算行列式的值31125134201115331312153402115133131202110842016271312084202110162712cc21rr415rr23rr324rr428rrrow 行column 列第73页/共123页1312021100820010151312021100822500024354rr251 2 82 200第74页/共123页例例9abbbbabbbbabbbbaD.(1).(1).(1).(1).anbbbbanbabbanbbabanbbba1.1.(1) 1.1.bbbabbanbbabbba返返回回上一页上一页下一页下一页第75页/共123页1.00.0(1) 00.0000.bbbabanbabab(1)(1) ()nanb ab返返回回上一页上一页下一页下一页第76页/共123页课堂练习课堂练习1.1.计算四阶行列式计算四阶行列式2324123232340425D解解：用行列式性质将行列式化为上三角形行列式：用行列式性质将行列式化为上三角形行列式：D12rr12322324323404251232018808620425123201880058620030371232018800586214300029143115829 286312132rrrr423248rrrr433058rr第77页/共123页一、为了帮助同学们记忆行列式的性质，归纳如下：一、为了帮助同学们记忆行列式的性质，归纳如下：1.1.两个翻：两个翻：2.2.三个零：三个零：全翻全翻( (转置转置) )值不变；部分翻值不变；部分翻( (换行换行( (列列)值变号值变号某行某行( (列列) )元素全为零；元素全为零；两行两行( (列列) )对应位置的元素相等；对应位置的元素相等；两行两行( (列列) )对应位置的元素成比例对应位置的元素成比例3.3.两个可：两个可：可提性；可分性可提性；可分性-只对某行（列）进行只对某行（列）进行提、分的运算，其余元素均不变。提、分的运算，其余元素均不变。二、两种计算方法：二、两种计算方法：1.1.定义法；（主要用于二、三阶行列式或每行每列只定义法；（主要用于二、三阶行列式或每行每列只有有 一个非零元素的高阶行列式。）一个非零元素的高阶行列式。）2.2.用行列式性质将行列式化为上用行列式性质将行列式化为上( (下下) )三角形方法三角形方法第78页/共123页 行列式按行（列）展开行列式按行（列）展开 定义定义6 n阶行列式中，划去元素阶行列式中，划去元素aij所在的行和列中所在的行和列中的元素，余下的元素按其原有的顺序构成一个的元素，余下的元素按其原有的顺序构成一个n1阶行列式叫做阶行列式叫做元素元素aij的余子式的余子式，记为，记为Mij 。ijjiijMA )1(Aij叫做叫做元素元素aij的代数余子式的代数余子式。 Aij与行列式中第与行列式中第i行、第行、第j列的元素无关。列的元素无关。 返返回回上一页上一页下一页下一页第79页/共123页例例 写出行列式写出行列式D D中元素中元素 和和32a的余子式和代数余子式，的余子式和代数余子式，其其中中3227013015634102D 解：解：根据定义，得根据定义，得32M 327030 ;402 32A 3 2321M 22a327030 ;402 22A 2 2221M 327163 ;402 第80页/共123页引理引理 n阶行列式阶行列式D，如果其中第，如果其中第i行元素除行元素除aij外全部为零外全部为零，那么这个行列式等于，那么这个行列式等于aij与它的代数余子式的乘积，即与它的代数余子式的乘积，即 DaijAij证证 先证先证i1，j1的情形的情形 nnnjjjnjjjjjjnnnnnnaaaaaaaaaaaaaD3232323211)1(3212232221111000 nnnjjjnjjjjjjaaaa32323232)(111 返返回回上一页上一页下一页下一页第81页/共123页 11111111111111323333222322111AaMaMaaaaaaaaaaannnnnn nnnjjjnjjjjjjaaaa32323232)(111 对一般情形，只要适当交换对一般情形，只要适当交换D的行与列的位置的行与列的位置，即可得到结论。，即可得到结论。 返返回回上一页上一页下一页下一页第82页/共123页定理定理3 行列式等于它的任一行（列）的各元素与其行列式等于它的任一行（列）的各元素与其对应的代数余子式乘积之和，即对应的代数余子式乘积之和，即 ), 2 , 1( ), 2 , 1( 22112211njAaAaAaDniAaAaAaDnjnjjjjjininiiii 或或证证nnnniniinaaaaaaaaaD2121112110000000 返返回回上一页上一页下一页下一页第83页/共123页nnnninnnnninaaaaaaaaaaaaaa21211211211112110000 .2211ininiiiiAaAaAa nnnninnaaaaaaa211121100 返返回回上一页上一页下一页下一页第84页/共123页例例 计算四阶行列式计算四阶行列式10560110.40383020D 解解1 1：按行列式第一行展开，得按行列式第一行展开，得1111121213131414Da Aa Aa Aa A1 11 21 31 41111121213131414( )( 1)( 1)( 1)a Ma Ma Ma M 1111121213131414a Ma Ma Ma M1101038020 0100438320 0105408300 0116403302 16524698 第85页/共123页解解2 2：按行列式第按行列式第2 2列展开，得列展开，得1056011040383020D 1212222232324242Da Aa Aa Aa A1212222232324242a Ma Ma Ma M 122232420100MMMM 22M 156438320 12048541698 显然，解显然，解2 2比解比解1 1要简单。按行要简单。按行( (列列) )展开寻找展开寻找0 0多的行多的行( (列列) )展开，或者利用性质将行列式的某行展开，或者利用性质将行列式的某行( (列列) )化为只有化为只有一个非零元素后再展开。一个非零元素后再展开。第86页/共123页例例 计算行列式计算行列式 yyxxD 1111111111111111解解 当当x0 或或y0时，显然时，显然D0，现假设，现假设x0，且且y00，由引理知，由引理知 yyxxyyxxD 000100010001000111111111101111011110111101111122000000000000000011111yxyyxx 返返回回上一页上一页下一页下一页第87页/共123页推论推论 行列式一行行列式一行(列列)的元素与另一行的元素与另一行(列列)的对应元的对应元素的代数余子式乘积之和等于零素的代数余子式乘积之和等于零,即即 )(02211jiAaAaAajninjiji )(02211jiAaAaAanjnijiji 或或证证nnnjnjininjnjnjjjjaaaaaaaaAaAaAa 1111112211 返返回回上一页上一页下一页下一页第88页/共123页当当i j,将式中将式中ajk换成换成aik(k=1,2,n),可得可得nnniniininjninjijiaaaaaaaaAaAaAa1111112211 同理可证同理可证02211 njnijijiAaAaAa0返返回回上一页上一页下一页下一页第89页/共123页代数余子式的重要性质代数余子式的重要性质: ;, 0,1jijiDAankjkik当当当当 ;, 0,1jijiDAankkjki当当当当或或返返回回上一页上一页下一页下一页第90页/共123页例例 计算计算n阶行列式阶行列式(递推公式法递推公式法) 12211 0 0 00 0 0 00 0 1 00 0 0 1 axaaaaxxxxDnnnn 解解 由行列式由行列式Dn可知可知 111axaxD 将将Dn按第按第1列展开列展开 返返回回上一页上一页下一页下一页第91页/共123页,100.0000010001)1(1000.00100001112321 xxxaaxaaaaxxxxDnnnnnnnnnaxDD 1即即这个式子对任何这个式子对任何n(n 2) 都成立都成立,故有故有 .)(1221112211122121nnnnnnnnnnnnnnnnnnaxaxaxaxaxaxaDxaxaDxaaxDxaxDD 返返回回上一页上一页下一页下一页第92页/共123页 证证用数学归纳法用数学归纳法21211xxD 12xx , )(12 jijixx）式成立）式成立时（时（当当12 n例例证明范德蒙德证明范德蒙德(Vandermonde)行列式行列式 1112112222121).(111jinjinnnnnnnxxxxxxxxxxxD)1(第93页/共123页，阶范德蒙德行列式成立阶范德蒙德行列式成立）对于）对于假设（假设（11 n)()()(0)()()(0011111213231222113312211312xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxDnnnnnnnnn 就就有有提提出出，因因子子列列展展开开，并并把把每每列列的的公公按按第第)(11xxi 第94页/共123页)()()(211312jjininnxxxxxxxxD ).(1jjinixx 223223211312111)()( nnnnnnxxxxxxxxxxxx n-1阶范德蒙德行列式阶范德蒙德行列式第95页/共123页注：对于此类型行列式，可直接用公式计算。注：对于此类型行列式，可直接用公式计算。222111cbacbaD 如：如：).)()(abacbc 64169843111 D又如：又如：.20154)34)(38)(48( 第96页/共123页课堂练习课堂练习 1、计算行列式的值、计算行列式的值2、设有行列式、设有行列式2132333231123131D（1）（2）1020143602533110D2132332203403131DA11、A12、A13、A14分别是分别是D的的第一行元素的代数余子式，试求第一行元素的代数余子式，试求3A11-A12+3A13-A14的值。的值。第97页/共123页解答解答1、（、（1）原式原式123233321312133112CC213rr31rr41rr1232036401400103按第一列展开按第一列展开1 1364( 1) ( 1)140103 214cc3184100143按第二行展开按第二行展开2 11841 ( 1)43 1( 18) ( 3)( 4) 470 第98页/共123页解答解答1、（、（2）原式原式10201013002533110232rr3 41023 ( 1)1013311 按第四列展开按第四列展开3 2123 1 ( 1)1 13 按第二列展开按第二列展开3(132)452、将代数式还原成、将代数式还原成 行列式，得行列式，得1112131433AAAA31313322034031310第99页/共123页 克拉默法则克拉默法则 克拉默法则克拉默法则如果线性方程组如果线性方程组 nnnnnnnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111.,的系数行列式不等于零的系数行列式不等于零,即即 01111 nnnnaaaaD那么那么,方程组有唯一解方程组有唯一解 ,2211DDxDDxDDxnn 其中其中Dj(j=1,2,n)是把系数行列式是把系数行列式D中的第中的第j列元素用列元素用方程组右端的常数项代替后所得到的方程组右端的常数项代替后所得到的n阶行列式阶行列式. 返返回回上一页上一页下一页下一页第100页/共123页nnjnnjnnnjjnjjjaabaaaabaaaabaaD1,1,121, 221, 22111, 111, 111 证明证明 (1) 方程组简写为方程组简写为nibxainjjij,.,2 , 1,1 把方程组的唯一解代入第把方程组的唯一解代入第i个方程个方程,左端为左端为 njjijnjiijDaDDDa11.1 nssjsnjnjjjAbAbAbAbD12211因为因为返返回回上一页上一页下一页下一页第101页/共123页所以所以.1)(11111111111111iinssnjsjijnsnjssjijnjnsssjijnssjsnjijnjjijbDbDbAaDbAaDbAaDAbaDDaD (2)用用D中第中第j列元素的代数余子式列元素的代数余子式A1j,A2j,Anj依次依次乘方程组的乘方程组的n个方程个方程,再把它们相加再把它们相加,得得 111111()()()nnnnkkjkjkjjknkjnkkjkkkka Axa Axa Axb A),.,2 , 1(njDDxjj 当当D不等于零时不等于零时,方程组有唯一解方程组有唯一解.返返回回上一页上一页下一页下一页第102页/共123页例例17 解线性方程组解线性方程组 . 0674, 522, 963, 85243214324214321xxxxxxxxxxxxxx解解276741212060311512 D8167402125603915181 D10867012150609115822 D返返回回上一页上一页下一页下一页第103页/共123页2760412520693118123 D2707415120903185124 D于是方程组有解于是方程组有解 x1=3,x2=-4,x3=-1,x4=1 27 D811 D1082 D返返回回上一页上一页下一页下一页第104页/共123页克拉默法则亦可叙述为克拉默法则亦可叙述为定理定理4 如果线性方程组的系数行列式如果线性方程组的系数行列式D 0,则方则方程组一定有解程组一定有解,且解是唯一的且解是唯一的。当方程组右边的常数项全部为零时当方程组右边的常数项全部为零时,方程组变为方程组变为齐齐次线性方程组次线性方程组. . . 0., 0, 0221122221211212111nnnnnnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa它总有解它总有解 x1=0,x2=0,xn=0,称为齐次线性方程称为齐次线性方程组的零解。组的零解。 返返回回上一页上一页下一页下一页第105页/共123页推论推论 如果齐次线性方程组有非零解如果齐次线性方程组有非零解,则齐次线则齐次线性方程组的系数行列式必为零性方程组的系数行列式必为零。定理定理5 如果齐次线性方程组的系数行列式不等于如果齐次线性方程组的系数行列式不等于零零,则齐次线性方程组没有非零解。则齐次线性方程组没有非零解。00t2121txxxx例例 若齐次线性方程组若齐次线性方程组有非零解，则有非零解，则t应满足什么条件应满足什么条件？解解 由定理由定理5,要方程组有非零解，其系数行列式必为零要方程组有非零解，其系数行列式必为零.01t 11t 2t即（即只有零解）返返回回上一页上一页下一页下一页第106页/共123页 . 0)4(2, 0)6(2, 022)5(3121321xxxxxxx 例例18 问问 为何值时，齐次线性方程组为何值时，齐次线性方程组有非零解？有非零解？解解 方程组的系数行列式为方程组的系数行列式为)8)(2)(5(402062225 D 1t 时，方程组有非零解当1 t返返回回上一页上一页下一页下一页第