二阶导数的应用

二、二阶导数的应用4.5 函数极值的判定定理4.6 如果函数f(x)在x0附近有连续的二阶导数f(x)，且f(x0)0，f(x)0，那么若f(x0)0，则函数f(x)在点x0处取得极大值若f(x0)0，则函数f(x)在点x0处取得极小值例4.11 求下列函数的极值 f(x)2x33x2 f(x)sinxcosx，x0,2解：f(x)6x26x，f(x)12x6令6x26x0，得驻点为x11，x20f(1)60，f(0)60把x11，x20代入原函数计算得f(1)1、f(0)0当x1时，y极小1，x0时，y极大0例4.11 求下列函数的极值 f(x)sinxcosx，x0,2解: f(x)cosxsinx，令cosxsinx0，得驻点为x1 ，x2 ，又f(x)sinxcosx，把x1 ，x2 代入原函数计算得f( ) 、f( ) 。所以当x 时，y极大 ，x 时，y极小注意 如果f(x0)0，f(x0)0或不存在，本定理无效，则需要考察点x0两边f(x)的符号来判定是否为函数的极值点。445440245cos45sin)45( 024cos4sin)4( ff452245224544.6 函数的凹凸性和拐点1. 曲线的凹凸性 设函数yf(x)在区间(a,b)内可导，如果对应的曲线段位于其每一点的切线的上方，则称曲线在(a,b)内是凹的， 如果对应的曲线段位于其每一点的切线的下方，则称曲线在(a,b)内是凸的。 从图象上来看，曲线段向上弯曲是凹的，曲线段向下弯曲是凸的。定理4.7设函数yf(x)在(a,b)内具有二阶导数，如果在(a,b)内f(x)0，那么对应的曲线在(a,b)内是凹的，如果在(a,b)内f(x)0，那么对应的曲线在(a,b)内是凸的。例4.13 判定曲线y 的凹凸性解：y f(x) ，f(x) ， 无拐点但有间断点x0 当x0时，f”(x)0，曲线在(,0)内为凸的， 当x0时，f(x)0，曲线在(0,)内是凹的。x1x121x31x例4.14 判定曲线ycosx在(0,2)的凹凸性解：ysinx，ycosx， 令y0，得x1 ，x2 当x(0, )时，f”(x)0，曲线在(0, )内为凸的， 当x( )时，f”(x)0，曲线在( )内是凹的， 当x( ,2)时，f”(x)0，曲线在( ,2)内为凸的。2232223,223,223232. 曲线的拐点 曲线上凸部和凹部的分界点叫做拐点。 因此拐点一定是使f(x)0的点，但是使f(x)0的点不一定都是拐点。求拐点的一般步骤 求二阶导数f(x)； 求出f(x)0的全部实根； 对于每一个实根x0，检查f”(x)在x0左右两侧的符号，如果x0两侧f(x)的符号不同，则点(x0,f(x0)是曲线的拐点；如果x0两侧f”(x)的符号相同，则点(x0,f(x0)不是曲线的拐点。例4.15 求曲线yx34x4的凹凸区间和拐点解：yx24，y2x,令2x0，得x0 当x0时，y”0，曲线在(,0)内为凸的， 当x0时，y0，曲线在(0,)内是凹的。 在x0的左右两侧，y”由正变负，所以(0,4)为曲线上的拐点。例4.16 讨论曲线yx41的凹凸性和拐点解：f(x)12x2 当x0时，f(x)0，而f(0)0 因此曲线yx41在(,)内都是凹的， 点(0,1)不是拐点。4.7 函数图象的描绘 利用函数的一、二阶导数的性质，我们可以较准确地用描点法描绘函数的图象。一般步骤为： 确定函数的定义域、奇偶性、周期性，求出函数图象和两坐标轴的交点； 计算f(x)，令f(x)0求出f(x)的驻点、极值点和增减区间； 计算f“(x)，令f”(x)0求出f(x)的拐点和凹凸区间； 计算驻点、拐点处的函数值； 列表，描绘函数的图象。三、高阶导数的应用4.8 用多项式近似表达函数泰勒公式 如果我们能用一个简单的函数来近似地表示一个比较复杂的函数，这样将会带来很大的方便。 一般地说，多项式函数是最简单的函数。那么我们怎样把一个函数近似地化为多项式函数呢? 定理4.8 设f(x)在x0点及其附近有直到n1阶的连续导数，那么 其中Rn(x) (在0与x之间) 上式称为函数f(x)在x0点附近关于x的泰勒展开式简称泰勒公式。式中的Rn(x)叫做拉格朗日余项。)(!)0(! 2)0()0( )0()()(2xRxnfxfxffxfnnn1)1()!1()(nnxnf 当x0时，拉格朗日余项Rn(x)是关于xn的高阶无穷小量，可表示为Rn(x)O(xn)。 O(xn)称为皮亚诺余项。 这样，函数f(x)在x0点附近的泰勒展开式又表示为： 一般地，函数f(x)在xx0点附近泰勒展开式为：)(!)0(! 2)0( )0( )0()()(2nnnxOxnfxfxffxfnnnxxOxxnxfxxxfxxxfxfxf)()(!)()(! 2)( )( )()(000)(2000004.9 几个初等函数的泰勒公式例4.19 求函数f(x)ex在x0点的泰勒展开式解：f(x)f(x)f(n)(x)ex f(0)f(0)f(0)f(n)(0)1 于是，ex在x0点的泰勒展开式为： 在上式中，令x1，可得求e的近似公式)(! 212nnxxOnxxxe!1!2111ne例4.20 求函数f(x)sinx在x0点的泰勒展开式解：f(x)cosx，f(x)-sinx，f(x)-cosx f(4)(x)sinx， f(0)0，f(0)1，f(0)0，f(x)1 f(4)(0)0， f(2n1)(0)(1)n1，f(2n)(0)0 于是，sinx在x0点的泰勒展开式为：)()!12() 1(! 5! 3sin212153nnnxOnxxxxx例4.21 求函数f(x)cosx在x0点的泰勒展开式解：f(x)-sinx，f(x)-cosx，f(x)sinx f(4)(x)cosx， f(0)1，f(0)0，f(0)1，f(x)0 f(4)(0)1， f(2n1)(0)0，f(2n)(0)(1)n于是，cosx在x0点的泰勒展开式为：)()!2() 1(! 4! 21cos12242nnnxOnxxxx例4.22求函数f(x)ln(1x)在x0点的泰勒展开式解：f(x) ，f(x)- ， f(x) ，f(4)(x)- ， f(0)0，f(0)1，f(0)-1!，f(x)2! f(4)(0)-3!，f(n)(0)(1)n1(n1)!于是，ln(1x)在x0点的泰勒展开式为：x112)1 (1x3)1 (2x4)1 (6x)(32)1ln(32nnxOnxxxxx4.10 罗必塔法则1. 不定式定理4.9 如果当xa时函数f(x)、g(x)都趋向于零，在点a的某一邻域内(点a除外)，f(x)、g(x)均存在，g(x)0，且 存在(或无穷大)，则)()(limxgxfax)( )( lim)()(limxgxfxgxfaxax00证明：根据柯西定理有在x与a之间，当xa时a ， 这说明求可导函数与商的极限时可以转化为求它们导数的商的极限。 当x时，上述定理也成立。)( )( )()()()(gfagxgafxf0)(limxfax0)(limxgax0)()(agaf)( )( lim)( )( lim)()()()(lim)()(lim0 xgxfgfagxgafxfxgxfaxaxax例4.23 求极限解：当x0时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有例4.24 求极限解：当x1时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有20cos1limxxx0000212sinlimcos1lim020 xxxxxx123lim2331xxxxxx23266lim12333lim123lim12212331xxxxxxxxxxxxx例4.25 求极限解：当x时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有xarctgxx12lim0011lim111lim12lim2222xxxxxarctgxxxx2. 不定式定理4.10 如果当xa时函数f(x)、g(x)都趋向于无穷大，在点a的某一邻域内(点a除外)，f(x)、g(x)均存在，g(x)0且 存在(或无穷大)，则当x时，上述定理也成立。)()(limxgxfax)( )( lim)()(limxgxfxgxfaxax例4.26 求解：当x0+时原式是 型的不定式，用罗必塔法则有例4.27 证明当a0时， 0证明：根据罗必塔法则 这表明，无论是一个多么小的正数，x趋于的速度都比lnx趋于的速度快。nxmxxsinlnsinlnlim01cossinlimsincossincoslimsincossincoslimsinlnsinlnlim0000mxnxnmmxnxnnxmxmnxnnxmxmmxnxmxxxxxxxxlnlim01lim1limlnlim1xxxxxxxx作业 P.198 1 ,2 ,3 ,4 P.207 4 ，5 复习题四 1 ,2 ,7 ,8 ,13