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第42课 方案设计型问题 方案设计型问题是设置一个实际问题的情景，给出若干信息，提出解决问题的要求，寻求恰当的解决方案，有时还给出几个不同的解决方案，要求判断其中哪个方案最优，方案设计型问题主要考查学生的动手操作能力和实践能力方案设计型问题，主要有以下几种类型： 1讨论材料，合理猜想设置一段讨论材料，让考生进行科学的判断、推理、证明； 2画图设计，动手操作给出图形和若干信息，让考生按要求对图形进行分割或设计美观的图案； 3设计方案，比较择优给出问题情境，提出要求，让考生寻求最佳解决方案要点梳理要点梳理1方案设计型问题对解题的要求 方案设计题，它要求学生根据题意设计符合条件的方案，或对已知方案进行评判，涉及到的知识点主要有函数思想、分类讨论的思想、统计与概率、锐角三角函数、方程(组)或不等式(组)的应用以及图形变换等，对学生的能力要求较高，符合新课标的理念 难点正本难点正本 疑点清源疑点清源 2方案设计型问题的解题策略 在解答方案设计型考题时，关键是将实际问题转化为数学模型，并且要求将求出的不同结果再转化为具有现实意义的各种方案进行选择，方案设计问题的解答是多样的，需从不同的结论中选择最佳方案1(2010大兴安岭)现有球迷150人欲同时租用A、B、C三种型号客车去观看世界杯足球赛，其中A、B、C三种型号客车载客量分别为50人、30人、10人，要求每辆车必须满载，其中A型客车最多租两辆，则球迷们一次性到达赛场的租车方案有() A3种 B4种 C5种 D6种 解析：分类讨论：当A租用一辆时，有3种方案；当A租用2辆时，有1种方案，所以共有4种租车方案基础自测基础自测B2如图，正方形硬纸片ABCD的边长是4，点E、F分别是AB、BC的中点，若沿左图中的虚线剪开，拼成如下右图的一座“小别墅”，则图中阴影部分的面积是() A2 B4 C8 D10 解析：阴影部分是正方形 面积的 ， 424.B3在44的正方形网格中，已将图中的四个小正方形涂上阴影(如图)，若再从其余小正方形中任选一个也涂上阴影，使得整个阴影部分组成的图形成轴对称图形，那么符合条件的小正方形共有() A1个 B2个 C3个 D4个 解析：如图，符合条件的小正方形有3个C4小明家春天粉刷房间，雇用了5个工人，每人每天做8小时，做了10天完成；用了某种涂料150升，费用为4800元；粉刷的面积是150 m2.最后结算工钱时，有以下几种方案：按工算，每个工60元(1个工人干1天是一个工)；按涂料费用算，涂料费用的60%作为工钱；按粉刷面积算，每平方米付工钱24元；按每人每小时付工钱8元计算你认为付钱最划算的方案是() A B C D 解析：方案：510603000(元)； 方案：480060%2880(元)； 方案：150243600(元)； 方案：581083200(元) 所以方案最省钱，选B.B5(2010晋江)如图，将一张正方形纸片剪成四个小正方形，得到4个小正方形，称为第一次操作；然后，将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到7个小正方形，称为第二次操作；再将其中的一个正方形再剪成四个小正方形，共得到10个小正方形，称为第三次操作；根据以上操作，若要得到2011个小正方形，则需要操作的次数是() A669 B670 C671 D672 解析：设操作了n次，有(3n1)个小正方形， 所以3n12011， 3n2010，n670，应选B.B 题型一通过计算比较进行方案设计 【例 1】 某学校举行演讲比赛，选出了10名同学担任评委，并事先拟定从如下4个方案中选择合理的方案来确定每个演讲者的最后得分(满分为10分)： 方案1：所有评委所给分的平均数； 方案2：在所有评委所给分中，去掉一个最高分和一个最低分，然后再计算其余给分的平均数； 方案3：所有评委所给分的中位数； 方案4：所有评委所给分的众数题型分类题型分类 深度剖析深度剖析为了探究上述方案的合理性，先对某个同学的演讲成绩进行了统计实验下面是这个同学的得分统计图：(1)分别按上述4个方案计算这个同学演讲的最后得分；(2)根据(1)中的结果，请用统计的知识说明哪些方案不适合作为这个同学演讲的最后得分 解：(1)方案1最后得分： (3.27.07.83838.49.8)7.7； 方案2最后得分： (7.07.83838.4)8； 方案3最后得分：8； 方案4最后得分：8或8.4. (2)因为方案1中的平均数受极端数值的影响，不能反映这组数据的“平均水平”，所以方案1不适合作为最后得分的方案；又因为方案4中的众数有两个，从而使众数失去了实际意义，所以方案4不适合作为最后得分的方案 探究提高通过计算得出各个方案的数值，逐一比较 知能迁移1某通讯器材商场，计划用60000元从厂家购进若干部新型手机，以满足市场需求已知该厂家生产三种不同型号的手机，出厂价分别为：甲种型号手机每部1800元，乙种型号手机每部600元，丙种型号手机每部1200元 (1)若商场同时购进其中两种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，请你帮助商场计算一下应如何购买； (2)若商场同时购进三种不同型号的手机共40部，并将60000元恰好用完，并且要求乙种型号手机的购买数量不少于6部且不多于8部，请你求出商场每种型号手机的购买数量 解：(1)设商场同时购进甲种型号手机x台，乙种型号手机(40 x)台则1800 x600(40 x)60000， 解之，得x30，40 x10. 商场同时购进甲种型号手机30台，乙种型号手机10台 设商场同时购进甲种型号手机y台，丙种型号手机(40y)台，则1800y1200(40y)60000， 解之，得y20，40y20. 商场同时购进甲种型号手机20台，丙种型号手机20台 设商场同时购进乙种型号手机z台，丙种型号手机(40z)台， 则600z1200(40z)60000， 解之，得z20，不合题意，舍去 (2)设商场购进甲种型号手机a台，乙种型号手机6台，则丙种型号手机(34a)台，则1800a66001200(34a)60000， 解之，得a26. 商场同时购进甲种型号手机26台，乙种型号手机6台，丙种型号手机8台 同样地，有1800b76001200(33b)60000， 解之，得b27. 商场同时购进甲种型号手机27台，乙种型号手机7台，丙种型号手机6台 又有1800c86001200(32c)60000， 解之，得c28. 商场同时购进甲种型号手机28台，乙种型号手机8台，丙种型号手机4台 题型二利用方程(组)进行方案设计 【例 2】 “爱心”帐篷集团的总厂和分厂分别位于甲、乙两市，两厂原来每周生产帐篷共9千顶，现某地震灾区急需帐篷14千顶，该集团决定在一周内赶制出这批帐篷为此，全体职工加班加点，总厂和分厂一周内制作的帐篷数分别达到了原来的1.6倍、1.5倍，恰好按时完成了这项任务 (1)在赶制帐篷的一周内，总厂和分厂各生产帐篷多少千顶？(2)现要将这些帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的现要将这些帐篷用卡车一次性运送到该地震灾区的A、B两地，两地，由于两市通往由于两市通往A、B两地道路的路况不同，卡车的运载量也不两地道路的路况不同，卡车的运载量也不同已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数同已知运送帐篷每千顶所需的车辆数、两地所急需的帐篷数如下表：如下表：请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少说明理由，并请设计一种运送方案，使所需的车辆总数最少说明理由，并求出最少车辆总数求出最少车辆总数A地地B地地每千顶帐篷每千顶帐篷所需车辆数所需车辆数甲市甲市47乙市乙市35所急需帐篷数所急需帐篷数(单位：千顶单位：千顶)95 解：(1)设总厂原来每周制作帐篷x千项，分厂原来每周制作帐篷y千顶，则 1.6x8, 1.5y6. 答：在赶制帐篷的一周内，总厂、分厂各生产帐篷8千顶、 6千顶(2)设从总厂(甲市)调配m千顶帐篷到灾区的A地，则总厂调配到灾区B地的帐篷为(8m)千顶，分厂(乙市)调配到灾区A、B两地的帐篷分别为(9m)千顶、(m3)千顶，并设甲、乙两市所需运送帐篷的车辆总数为n辆 由题意，得n4m7(8m)3(9m)5(m3) m68(3m8)， k10，n随m的增大而减小 当m8时，n有最小值60. 答：从总厂运送到灾区A地帐逢8千顶，从分厂运送到灾区A、B两地帐篷分别为1千顶、5千顶时，所用车辆最少，最少车辆为60辆 探究提高认真审题，设未知数，通过列方程(组)来解答知能迁移知能迁移2(2011河南河南)某旅行社在暑假期间面向学生推出某旅行社在暑假期间面向学生推出“林州林州红旗渠一日游红旗渠一日游”活动，收费标准如下：活动，收费标准如下： 甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动已知甲甲、乙两所学校计划组织本校学生自愿参加此项活动已知甲校报名参加的学生人数多于校报名参加的学生人数多于100人，乙校报名参加的学生人数少人，乙校报名参加的学生人数少于于100人经核算，若两校分别组团共需花费人经核算，若两校分别组团共需花费20800元，若两校元，若两校联合组团只需花费联合组团只需花费18000元元 (1)两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过两所学校报名参加旅游的学生人数之和超过200人吗？说明理人吗？说明理由；由； (2)两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？两所学校报名参加旅游的学生各有多少人？人数人数m0m100100 解题示范规范步骤，该得的分，一分不丢！解：(1)设购进电视机、冰箱各x台，则洗衣机为(152x)台 则 4分 解这个不等式组，得6x7. x为整数，x6或7. 5分 方案1：购进电视机和冰箱各6台，洗衣机3台； 方案2：购进电视机和冰箱各7台，洗衣机1台 6分(2)方案1需补贴：(621006250031700)13%4251(元)； 7分 方案2需补贴：(721007250011700)13%4407(元) 8分 答：国家财政最多补贴农民4407元探究提高 生活中经常会遇到用不等式组求最佳方案的问题，如问题中涉及到“最低”、“最高”等问题，就可以利用不等(组)来处理 知能迁移3(2009湖州)随着人民生活水平的不断提高，我市家庭轿车的拥有量逐年增加据统计，某小区2006年底拥有家庭轿车64辆，2008年底家庭轿车的拥有量达到100辆 (1)若该小区2006年底到2009年底家庭轿车拥有量的年平均增长率都相同，求该小区到2009年底家庭轿车将达到多少辆？ (2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资15万元再建造若干个停车位据测算，建造费用分别为室内车位5000元/个，露天车位1000元/个，考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，求该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案 解：(1)设家庭轿车拥有量的年平均增长率为x， 则64(1x)2100， 解之，得x1 25%，x2 (不合题意，舍去)， 100(125%)125. 答：该小区到2009年底家庭轿车将达到125辆 (2)设该小区可建室内车位a个，露天车位b个，则： 由，得b1505a. 把代入，得2a1505a2.5a， 解之，得20a21 . 整数a20或21. 当a20时，b15052050； 当a21时，b15052145. 方案一：建室内车位20个，露天车位50个； 方案二：建室内车位21个，露天车45个 题型四利用函数进行方案设计 【例 4】 (2009抚顺)某食品加工厂，准备研制加工两种口味的核桃巧克力，即原味核桃巧克力和益智核桃巧克力现有主要原料可可粉410克，核桃粉520克计划利用这两种主要原料，研制加工上述两种口味的巧克力共50块加工一块原味核桃巧克力需可可粉13克，核桃粉4克；加工一块益智核桃巧克力需可可粉5克，核桃粉14克加工一块原味核桃巧克力的成本是1.2元，加工一块益智核桃巧克力的成本是2元设这次研制加工的原味核桃巧克力x块 (1)求该工厂加工这两种口味的巧克力有哪几种方案？ (2)设加工两种巧克力的总成本为y元，求y与x的函数关系式，并说明哪种加工方案使总成本最低？总成本最低是多少元？ 解：(1)由题意，得 由得，x20，由得，x18，18x20. 整数x18, 19, 20. 当x18时，50 x32； 当x19时，50 x31； 当x20时，50 x30. 一共有三种方案： 方案1：加工原味核桃巧克力18块，益智巧克力32块； 方案2：加工原味核桃巧克力19块，益智巧克力31块； 方案3：加工原味核桃巧克力20块，益智巧克力30块(2)y1.2x2(50 x)0.8x100. k0.80，W随随x的增大而增大，的增大而增大， 当当x40时，时，W最小值最小值40048005200. 方案如下：方案如下：出发地出发地目的地目的地CDA4050B600 30实际问题中变量往往有其特定的性质或取值范围 试题某工厂现有甲种原料360 kg，乙种原料290 kg，计划利用这两种原料生产A、B两种产品50件生产一件A产品需要甲种原料9 kg，乙种原料3 kg，可获得利润700元；生产一件B产品需要甲种原料4 kg，乙种原料10 kg，可获得利润1200元 (1)按要求安排A、B两种产品的生产，有哪几种方案？ (2)设A、B两种产品获得的总利润为y元，其中A产品的生产件数为x，试写出y与x之间的函数关系，并利用函数的性质说明(1)中哪种生产方案获得的总利润最大，最大利润是多少？易错警示易错警示 学生答案展示 解：设安排生产A种产品x件，则生产B种产品为(50 x)件， 因此安排生产的方案的条件为， 由此可解得30 x32. 因为x有无穷多个取值，所以生产方案不能确定 剖析在解不等式应用题时，必须注意每一个变量的实际意义，因为这些变量的实际意义本身就确定了它们的取值范围本 题中解答出错原因就是没有考虑在实际问题中，x作为产品件数，只能取整数30、31、32，不能是非整数解，所以A、B两种产品的生产方案应该有三种，而不是无解正解 解：(1)设安排生产A产品x件，则生产B产品(50 x)件，因此安 排生产方案的条件为 因此可解得30 x32. 又因为x只能为整数，所以x可取30、31、32， 所以A、B两种产品的生产方案有三种： A产品30件，B产品20件； A产品31件，B产品19件； A产品32件，B产品18件 (2)在每种确定的生产方案下，所获最大利润为 y700 x1200(50 x)500 x60000， y随x的增大而减小， 因此，当x30时，y取最大值， 即生产A产品30件，B产品20件时， 利润最大，最大值为45000元批阅笔记 建立方程或不等式模型，所求得的变量的值需要满足生产、生活的实际要求，或者根据这些变量的实际意义确定变量的值或取值范围，从而求得问题的解. 方法与技巧 1. 方程或不等式解决方案设计问题：首先要了解问题取材的生活背景；其次要弄清题意，根据题意建构恰当的方程模型或不等式模型，求出所求未知数的取值范围；最后再结合实际问题确定方案设计的种数 2. 择优型方案设计问题：这类问题一般方案已经给出，要求综合运用数学知识比较确定哪种方案合理的问题此类问题要注意两点：一是要符合问题描述的要求，二是要具有代表性思想方法思想方法 感悟提高感悟提高 3. 动手操作型方案设计问题：大体可分为三类，即图案设计类、图形拼接类、图形分割类等对于图案设计类，一般运用中心对称、轴对称或旋转等几何知识去解决；对于图形拼接类，关键是抓住需要拼接的图形与所给图形之间的内在关系，然后逐一组合；对于图形分割类，一般遵循由特殊到一般、由简单到复杂的动手操作过程失误与防范 1方程(组)、不等式(组)方案设计应用题涉及知识面广，综合性强，所要讨论的问题大多是要求出某个变量的取值范围或极端可能值涉及我们日常生活的广告宣传、经济决策、文化娱乐、商品买卖、物品分配等多个方面解题关键是建立不等式模型，同时注意运用方程、代数等方面的知识 2解决函数型方案设计问题的一般步骤是： (1)根据题意建立函数关系式； (2)根据实际意义建立方程或不等式组，求方程或不等式组的解； (3)根据求到的解，利用函数的性质求最大、最小值 3利用几何知识进行方案设计，不仅要有一定的几何作图能力，而且要能熟练的运用几何的有关性质及全等、相似、图形变换、方程、三角函数的有关知识，并注意充分发挥分类讨论、类比归纳、猜想验证等数学思想方法的作用完成考点跟踪训练 42
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