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12151.110 A 90B 10(20090C 145D)190nnaaaaaa等差数列的公差不为零，首项，是 和 的等比中项，则数列的前项之和是四川卷B 21011001 1410 10 102.10 12.2nadddddS 设等差数列的公差为 ，则因为，所以所以解析： 422.2 1517A 2B 4C.D.22nnaqnSSa设等比数列的公比，前 项和为 ，则C414421(1-)1-2115.2- -2aqSqaa q解析： 2395213.21 12A.B.C.2D 222naa aaaa已知等比数列的公比为正数，且，则B 2284211121.22.10.2222naqa q a qa qqaqqaq解设等比数列的公比为由已知得，即又因为，所以析，故： 252521232212224.01,22 (3)1logloglog (2009 A21B1CD1)nnnnnaana annaaannnnn已知等比数列满足 ， ，且，则当时，广东卷22525212322122 (3)a2 .02logloglog1321.nnnnnnna anaaaaann 由，得又 ，则，所以解析：C 11*585.12()8(2009.)(nnnaaaanaSN若数列满足：，则 ；北前 项的和用京数字作答卷 145181122.11211 2816255.1 2nnnnnaaaa qaSaaa 由，得又，所以是以 为首项，为公比的等比数析：，列，故解16255等比数列基本性质 26102312162.25460_.1:nnnnnnaaaaSanSSS已知为等比数列，则已知为等比数列的前 项和，则例 21461594101622262106102232332181162162 81162.2213122.12131221823182154603613122 2.3nnnnnnnnnaa qqaa qaa qa qaaa aaaaaSSSSSSS由，所以因为为等比数列，所以因为是等比解析：答案数列，所以 ，为等比数列，方法以：；所：方法 ：给项求项问题，先考虑利用等比数列的性质，再考虑基本量法，往往可以减少反思小结：运算量 123678111213136.219.1naaaaaaaaaaab cbac已知为等比数列，,则如果, ， , ,成等比拓展练数列么,习：,那 1236785678123511121367842221.3622 6.92931.1129.3naqaaaaaaaaaqaaaaaaqaaaqqqbqacb 设等比数列的公比为因为，所以，所以设公比为 ，则，得所以，解析：通项公式及前n项和公式的应用 514271472114156.12341422nnnnnnnnnnnnnaaaaaaSSSSSSbbabf ncccnTaT已知递增的正项等比数列中，试求 ， ；求证： ，成等比数列；若数列满足：，在直角坐标系中，画出的图象；若数列满足：，数列的前例项和为：，试比较与 的大小 425114212241111111.11516152520212.22.2115112121.nnnnnnnnaqaaa qaaa q qqqqqqqaqqa qaaqaa qSq 设递增的正项等比数列的公比为因为，两式相除，得，即，解得或因为数列是递增的正项数列，所以将代入，得，所，析以解： 77142171421771471472114221471472721141141471*112212121221221221342()2()1142nnnnxnnnSSSSSSSSSSSSSSf nbanbf nf xcSSaS因为，所以，所以，因为，所以的图象是函数的图象上的一列孤立的点图略证明：所以 ，成因等比为以数列，所N1221111111212(1)12222122.nnnnnTccc 2nabcbacabc本题是课本改编题，主要考查三个方面：一是由两个给出的等式，解方程组求出等比数列的首项和公比，进而求得通项公式及前 项和公式，要求记牢公式和细心运算；二是用等比中项的方法证明三个数成等比数列一般的，三个非零实数 、 、满足，则 、 、 成等比数列；三是考查等比数列的图象此题不难，但较全面地考查了等比数列的有关知识，对复习基础知识是很有反思小结：帮助的 74561112128(21,2,3)nnnnnaaaaaaanSSn已知数列是等比数列，其中，且 ，成等差数列求数列的通项公式；数列的前 项和记为拓展练习 ：，证明： ， 667711334251415161457764653121221 11( )128 ( )1()1.121211211.212642.22nnnnnaq qaa qaqaa qqaa qqaa qqaaaaaa qaaqqqqqqqaqR设等比数列的公比为由，得，从而，因为 ， 成等差数列，所以，即，即所以证明：因为，解析：故，所116411121281 ( ) 128.11212nnnnaqSq 以将递推公式变形转化为等比数列问题 *11121.122.3nnnnnnnnnnaaaannbanbanSaS已知数列满足：，设，证明：数列是等比数列；若数列的前 项和为 ，求和例 ：N 1111 121221122.221242nnnnnnnnnbanbanannbananbba 证明：由于，则所以数列是以为首解析项，公比为的：等比数列 1111222312 214 2222.(222)(123)22 2112524.22 12nnnnnnnnnnbanSaaannn nnn n 由得，则所以111221122221242nnnnnnnnnnbanaananananaba 反本题是由给出的递推公式来求数列的通项公式及其前 项和公式，主要考查灵活变形的能力本题的解法是利用作为桥梁，构造一个等比数列来解决问题，其实是告诉我们这样一个方法：将变形为，则数列是一个首项为，公比为的等比数列我们在练习中要不断积累、不断总结，善于看出问题的实质，发现思小结： 12nnnnbbnb 这个“桥梁”另外，本题还介绍了证明数列是等比数列的方法定义法：求得是一个与 无关的常数 *11231121.1213.4nnnnnnnnnnnaaaanbaaabacnbcnS N在数列中，计算 ， 的值；探究数列是否为等比数列？若是，求出的通项公式；若不是，说明理由；设，求数拓展练习3列的前 项和： 3211222311111* 1.2111120.1212112.21200212( )1( )2)2nnnnnnnnnnnnaaaaaabaaaabbbaabbnb N由，得由，由及，得因为，从而，所以数列是以为首项，公比为的等比数列解故所以，析：得 12323231n2311111 3( )4211112 ( )3 ( )( )22221111S( )2 ( )1 ( )( ).2222111111( )( )( )( )2222221111222(22.)1122122nnnnnnnnnnnnnnnnnScnbnSccccnnnSnnn 因为，所以，两式相减，所以得， 33,1110932502009110050122 m10%(1 m 1.12.85,1.12.59,1.12.36)4某林场有荒山亩，从年 月开始在荒山上植树且保证全部成活，第一年植树亩，以后每一年都比上一年多植树亩问至少需要多少年才能使荒山全部绿化？若新种树苗每亩木材量是，树木每年的自然增长率为，则至荒山全部绿化后的那一年年底，这里的木材总量是多少？保留到例 ：等比数列的应用 11()1100503250100503250210. 10nnan nadSnn 依题意，每年的植树面积 亩数 依次构成等差数列由已知可得，则，解得因此，至少需要才可使荒山全解析：年部绿化 310981132m200,300,400,5001100.10%200 1.1300 1.1400 1.11100 1.1.1.1 11200 1.12200 1.11200 2.852420100010000 myyy依题意可知，各年新种植的树苗的木材量也依次成等差数列：， ，由于树木的自然增长率为，因此，至荒山全部绿化那一年年底的木材总量为应用错位相减法，可得，所以因310000 m .此，到荒山全部绿化的那一年年底，该林场的木材总量为 1800.54001.4124()nnnnnabab从社会效益和经济效益出发，某地投入资金进行生态环境建设,并以此发展旅游产业.根据计划,本年度投入万元,以后每年投入将比上一年减少本年度旅游业收入估计为万元,预计今后的旅游业收入每年会比上一年增加设 年内 本年度为第一年 总投入为万元，旅游业总收入为 万元，写出和 的表达式；至少经过几年，旅游业的总收入才能超过拓展练习 ：总投入？ 21211118002800 (1)5113800 (1)800 (1)55111800800 (1)800 (1)800 (1)55544000 1 ( ) 5140012400 (1)43400 (1 nnnnnna第 年投入万元，第 年投入万元，第 年投入万元， ,第 年投入万元所以， 年内总投入为：第 年旅游业收入为万元，第 年旅游业收入为万元，第 年旅游业收入为解析：21)4万元， ， 12121400 (1)4111400400 (1)400 (1)400 (1)44451600 ( )1425401600 ( )14000 1 ( ) 0454545 ( )2 ( )705 ( )7545nnnnnnnnnnnnnbnba 第 年旅游业收入为万元所以， 年内旅游业总收入为：设至少经过 年，旅游业的总收入才能超过总投入，即，即，化简得，即4( )20542242( )( )1()( )5.555555nnnnn，解得，舍去 ，即，所以所至少经过 年，旅游业的总收入才能以，超过总投入nn本节内容主要考查数列的运算、推理及转化的能力与思想，考题一般从三个方面进行考查:一是应用等比数列的通项公式及其前 项和公式计算某些量和解决一些实际问题;二是给出一些条件求出首项和公比进而求得等比数列的通项公式及其前 项和公式,或将递推关系式变形转化为等比数列问题间接地求得等比数列的通项公式;三是证明一个数列是等比数列 *24262611.2.4_.16.2.3nmnpqmnpnnnmn mnmnnamnpqNmnpqaaaamnpaaaaaa aa aaaaaaa qqnmqab.等比数列常用的性质：等比数列中，对任意的 ， ， ，若，则特别地，若，则例如：等比数列中，则解：对于等比数列中的任意两项 、，都有关系式，可求得公比 但要注意为偶数时， 有互为相反数的两个值若和nna b是项数相同的两个等比数列，则也是等比数列222222060 .1( )()11cos.222060 .aaaqqABCABCabcBbbqbbqbqqqBbbqqB.已知三个数成等比数列，往往设此三数为 ， ，可以方便地解决问题例如：已知的三个内角 、 、 的对边 、 、 成等比数列，求证：设三边分别为、 、，则所以 12*12231312()411010120(1)1506nnnnnnnnnaanaaa anNaaaaaaaaaaqSqa证明一个数列是等比数列有两种方法：用定义证明：即求得是一个与 无关的常数利用等比中项：即证明求的值时要注意：它是等比数列求和吗？分，且三种情况讨论；当时，它是等比数列前多少项的和？可以用公式求吗？等比数列中不可能出现为 的项若121232222nnaaaaaa， ， ，是等差数列，则， ， ， ，是等比数列，反之也对 52521.80()A11B 5C8D11(2010)nnSanSaaS设为等比数列的前 项和浙江卷，则 322515212.802.1111.11Dnaqaa qqaqSqaqSq 设等比数列的解公比为由，解得故析：答案： 24352.17()15313317A.B.C(2010).D.2442nnaSna aSS设是由正数组成的等比数列，为其前 项和已知，则辽宁卷2424111223155111.0.1117(3)(2)014 (1)11312().123B412a aa qaaqSaqqqqqqS 由，可得而，因此，又因为，联立两式有，所以舍去 ，所以解析：答案： 181286912153.240()A 2B 2C 2D(20102)aaf xx xaxaxaf等比数列中，函数，则卷江西 12381238412123818 0C2 .f xxa a aafxa a aafa a aaa a分析法解析：将的表达式展开，得 的系数是，而中，则变为常数项，所以答案：“”n与等差数列类似，近几年等比数列的内容在考试试题中主要考查运算能力和化归能力试题呈现的背景大致有三种类型，一是直接利用通项公式及其前 项和公式计算某些量，或者是给出两个等式求出首项和公比后再求指定项或前指定项的和，这就要求公式一定要牢记；二是利用函数、基本不等式的方法求取值范围；三是将给出的递推公式变形，转化为等比数列问题等比数列的内容考大题的机会较大，错位相减法更是 常考选感悟：不衰题
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