常微分方程考研讲义

第一章 绪论教学目标1 理解常微分方程及其解的概念，能判别方程的阶数、线性与非线性。2 掌握将实际问题建立成常微分方程模型的一般步骤。3 理解积分曲线和方向场的概念。教学重难点 重点微分方程的基本概念，难点是积分曲线和方向场。教学方法 讲授，实践。教学时间 4学时教学内容 常微分方程（偏微分方程）的概念，微分方程的阶，隐式方程，显式方程，线性（非线性）常微分方程；常微分方程的通解，特解，隐式解，初值问题，定解问题，积分曲线和方向场；建立常微分方程模型的具体方法。考核目标 常微分方程及其解的概念，会建立常微分方程模型。1 微分方程模型 1、微分方程的产生和发展 常微分方程有着深刻而生动的实际背景，它从生产实践与科学技术中产生，又成为现代科学技术分析问题与解决问题的强有力工具。该课程是与微积分一起成长起来的学科，是学习泛函分析、数理方程、微分几何的必要准备，本身也在工程力学、流体力学、天体力学、电路振荡分析、工业自动控制以及化学、生物、经济等领域有广泛的应用。300多年前，Newton与Leibniz奠定微积分基本思想的同时,就正式提出了微分方程的概念.17世纪末到18世纪，常微分方程研究的中心问题是如何求出通解的表达式.19世纪末到20世纪处,主要研究解的定性理论与稳定性问题.20世纪进入新的阶段,定性上升到理论,进一步发展分为解析法、几何方法、数值方法.解析方法:是把微分方程的解看作是依靠这个方程来定义的自变量的函数.几何方法:(或定性方法)把微分方程的解看作是充满平面或空间或其局部的曲线族.数值方法:求微分方程满足一定初始条件(或边界)条件的解的近似值的各种方法.微分方程差不多是和微积分同时先后产生的，苏格兰数学家耐普尔创立对数的时候，就讨论过微分方程的近似解。牛顿在建立微积分的同时，对简单的微分方程用级数来求解。后来瑞士数学家雅各布贝努利、欧拉、法国数学家克雷洛、达朗贝尔、拉格朗日等人又不断地研究和丰富了微分方程的理论。 常微分方程的形成与发展是和力学、天文学、物理学，以及其他科学技术的发展密切相关的。数学的其他分支的新发展，如复变函数、李群、组合拓扑学等，都对常微分方程的发展产生了深刻的影响，当前计算机的发展更是为常微分方程的应用及理论研究提供了非常有力的工具。 牛顿研究天体力学和机械力学的时候，利用了微分方程这个工具，从理论上得到了行星运动规律。后来，法国天文学家勒维烈和英国天文学家亚当斯使用微分方程各自计算出那时尚未发现的海王星的位置。这些都使数学家更加深信微分方程在认识自然、改造自然方面的巨大力量。微分方程的理论逐步完善的时候，利用它就可以精确地表述事物变化所遵循的基本规律，只要列出相应的微分方程，有了解方程的方法。微分方程也就成了最有生命力的数学分支。2、微分方程模型微分方程是数学联系实际问题的重要渠道之一,将实际问题建立成微分方程模型最初并不是数学家做的,而是由化学家、生物学家和社会学家完成的。实际问题的信息数学模型抽象、简化数学模型解答答求解实际问题验证解释 例1 物体冷却过程的数学模型将某物体放置于空气中，在时刻时，测得它的温度为，10分钟后测得温度为.确定物体的温度与时间的关系,并计算20分钟后物体的温度.假定空气的温度保持为.解 设物体在时刻的温度为,由牛顿(Neweon)冷却定律可得 (1.1)这是关于未知函数的一阶微分方程,利用微积分的知识将(1.1)改为 (1.2)两边积分,得到 为任意常数令,进而 (1.3) 根据初始条件, 当时, , 得常数于是 (1.4)再根据条件分钟时,得到 将代入上式,得到 从而, (1.5) 由方程(1.5)得知,当分钟时,物体的温度,而且当时, .温度与时间的关系也可通过图形表示出来.如图(1.1). 可解释为：经过一段时间后，物体的温度和空气的温度将会没有什么差别了.事实上，经过2小时后，物体的温度已变为24，与空气的温度已相当接近.法律破案判断尸体的死亡时间就是用这一冷却过程的函数关系来判断的.例 2 动力学问题物体由高空下落,除受重力作用外,还受到空气阻力的作用,空气的阻力可看作与速度的平方成正比,试确定物体下落过程所满足的关系式.解 设物体质量为，空气阻力系数为，又设在时刻物体的下落速度为,于是在时刻物体所受的合外力为,建立坐标系,取向下方向为正方向,根据牛顿第二定律得到关系式 (1.6)而且, 满足初始条件时, (1.7)例 3 电力学问题在如图(1.2)所示的电路,它包括电感、电阻和电容.设、均为常数,电源是时间的已知函数,建立当开关合上后,电流应满足的微分方程.解 经过电感、电阻和电容的电压降分别为： 、和，其中为电量，由基尔霍夫第二定律得到 （1.8） 因为，于是有 （1.9）这就是电流应满足的微分方程.如果=常熟，得到 （1.10）如果又有，则得到 （1.11）例 4 人口模型英国人口统计学家马尔萨斯（Malthus）在1798年提出了闻名于世的Malthus人口模型的基本假设是：在人口自然增长的过程中，净相对增长率（单位时间内人口的净增长数与人口总数之比）是常数，记此常数为（生命系数）.在到这段时间内人口数量的增长量为 （）于是满足微分方程 （1.12）将上式改写为 于是变量和被“分离”，两边积分得 （1.13）其中为任意常数.（因为也是方程（1.17）的解.如果设初始条件为 时, （1.14）代入上式可得，.即方程（1.17）满足初值条件（1.19）的解为 （1.15）如果，上式说明人口总数将按指数规律无限增长.将时间以1年或10年离散化，那么可以说，人口数是以为公比的等比数列增加的.当人口总数不大时，生存空间、资源等极充裕，人口总数指数的增长是可能的.但当人口总数非常大时，指数增长的线性模型则不能反映这样一个事实；环境所提供的条件只能供养一定数量的人口生活，所以Malthus模型在很大时是不合理的.荷兰生物学家Verhulst引入常数（环境最大容纳量）表示自然资源和环境条件所容纳的最大人口数，并假设净相对增长率为，即净相对增长率随的增加而减少，当时，净增长率.按此假定，人口增长的方程应改为 （1.16）这就是Logistic模型.当与相比很大时，与相比可以忽略，则模型变为Malthus模型；但与相比不是很大时，这一项就不能忽略，人口增长的速度要缓慢下来.我们用Logistic模型.来预测地球未来人数，某些人口学家估计人口自然增长率为而统计得世界人口在1960年为29.8亿，增长率为1.85%，由Logistic模型.（1.21），有，可得，即世界人口容量82.3亿，以（1.21）式右端为二项多项式，以为顶点，当时人口增长率增加；当时人口增长率减少，即人口增长到时增长率将逐渐减少.这与人口在20世纪70年代为40亿左右时增长率最大的统计结果相符. 小结：从以上的讨论可以看出，将实际问题转化为数学模型这一事实，这正是许多应用数学工作者和工程应用模拟方法解决物理或工程问题的理论根据.以上我们只举出了常微分方程的一些简单的实例,其实在自然科学和技术科学的其它领域中，都提出了大量的微分方程问题.所以说，社会的生产实践是微分方程理论取之不尽的基本源泉.此外，常微分方程与数学的其它分支的关系也是非常密切的，它们往往互相联系、互相促进.例如，几何学就是常微分方程理论的丰富的源泉之一和有力工具. 考虑到常微分方程是一门与实际联系比较密切的数学基础课程，我们自然应该注意它的实际背景与应用；.而作为一门数学基础课程，我们又应该把重点放在应用数学方法研究微分方程本身的问题上.因此，在学习中，不应该忽视课程中所列举的实际例子以及有关的习题，并从中注意培养解决实际问题的初步能力.但是，按照课程的要求，我们要把主要精力集中到弄清常微分方程的一些基本理论和掌握各种类型方程的求解方法这两方面来，这是本课程的重点，也是我们解决实际问题的必要工具.而解决的过程为：（1）建立方程;（2）求解方程;（3）分析问题.关键的是第一步，即对所研究问题，根据已知定律公式以及某些等量关系列出微分方程和相应的初始条件.如果指出了由微分方程所确定的未知函数的求法，那么未知量间的关系便找到了.寻求微分方程所确定的未知函数是微分方程理论的基本问题. 2 基本概念1、常微分方程和偏微分方程 微分方程：将自变量、未知函数以及它的导数联系起来的关系式.常微分方程： 只含一个自变量的微分方程.偏微分方程：自变量的个数为两个或两个以上的微分方程.方程 （1.17） （1.18） （1.19）是常微分方程的例子，是未知函数，仅含一个自变量.方程 （1.20） （1.21）是偏微分方程的例子，是未知函数，是自变量. 微分方程的阶数：微分方程中出现的最高阶导数的阶数.例如，方程（1.17）、（1.19）是二阶的常微分方程，而方程（1.20）、（1.21）是二阶的偏微分方程.一般的阶微分方程具有形式 （1.22） 这里是、的已知函数，而且一定含有；是未知函数，是自变量.2、线性和非线性 如果微分方程对于未知函数及它的各阶导数的有理整式的整体而言是一次的，称为线性微分方程，否则是非线性微分方程.如： （1.23） 是非线性微分方程，而（1.17）是一个二阶的线性微分方程. 一般的阶线性微分方程具有形式 （1.24） 这里是的已知函数.3、解和隐式解微分方程的解：满足微分方程的函数称为微分方程的解.即若函数代入式（1.22）中，使其成为恒等式，称为方程（1.22）的解.例如容易验证是方程的解如果关系式决定的隐函数为方程（1.22）的解，称是方程（1.22）的隐式解.例如，一阶微分方程 有解和；而关系式是方程的隐式解.4、通解和特解 通解：具有个独立的任意常数的解称为方程（1.22）的通解.注：所谓函数含有个独立常数，是指存在的某一邻域，使得行列式 其中. 特解：方程满足特定条件的解. 定解问题：求方程满足定解条件的求解问题.定解条件分为初始条件和边界条件，相应的定解问题分为初值问题和边值问题. 一般地，初值问题为 特解可以通过初始条件限制，从通解中确定任意常数而得到,如例1中，含有一个任意常数的解 就是一阶方程（1.1）的通解；而 就是满足初始条件 的特解.5、积分曲线和方向场 一阶微分方程 （1.25）的解是平面上的一条曲线，将它称为微分方程的积分曲线；而方程（1.20）的通解对应于平面上的一族曲线，称为方程的积分曲线族；满足初始条件的特解就是通过点的一条积分曲线. 方程（1.25）的积分曲线上每一点的切线斜率刚好等于函数在这点的值，也就是说，积分曲线的每一点及这点上的切线斜率恒满足方程（1.25）；反之，如果一条曲线上每点的切线斜率刚好等于函数在这点的值，则这一条曲线就是方程（1.25）的积分曲线. 设函数的定义域为，在内每一点处，画上一小线段，使其斜率恰好为，将这种带有小线段的区域称为由方程（1.25）所规定的方向场. 在方向场中，方向相同的点的几何轨迹称为等斜线.微分方程（1.25）的等斜线方程为 （1.26）例 5 解 积分曲线族是，即是极值线，是等斜线.例6（习题7）微分方程，证明其积分曲线关于坐标原点成中心对称的曲线，也是微分方程的积分曲线.证 设是微分方程的一条积分曲线，则满足 (1.27)而关于成中心对称曲线，所以有, 当,由(1.27)式可知 即 所以满足微分方程，故为微分方程的积分曲线.并且相对于关于原点成中心对称曲线.第二章、一阶微分方程的初等解法教学目标1. 理解变量分离方程以及可化为变量分离方程的类型（齐次方程），熟练掌握变量分离方程的解法。2. 理解一阶线性微分方程的类型，熟练掌握常数变易法及伯努力方程的求解。3. 理解恰当方程的类型，掌握恰当方程的解法及简单积分因子的求法。4. 理解一阶隐式方程的可积类型，掌握隐式方程的参数解法。教学重难点 重点是一阶微分方程的各类初等解法 ，难点是积分因子的求法以及隐式方程的解法。 教学方法 讲授，实践。教学时间 14学时教学内容 变量分离方程，齐次方程以及可化为变量分离方程类型，一阶线性微分方程及其常数变易法，伯努利方程，恰当方程及其积分因子法，隐式方程。考核目标 1.一阶微分方程的初等解法：变量分离法、一阶线性微分方程的常数变易法、恰当方程与积分因子法、一阶隐方程的参数解法。2.会建立一阶微分方程并能求解。 1 变量分离方程与变量变换1、 变量分离方程 1) 变量分离方程形如 (或) （2.1）的方程，称为变量分离方程，其中函数和分别是的连续函数. 2) 求解方法 如果，方程(2.1)可化为，这样变量就分离开了,两边积分,得到 （2.2）把分别理解为的某一个原函数.容易验证由（2.2）所确定的隐函数满足方程（2.1）.因而（2.2）是（2.1）的通解.如果存在使，可知也是（2.1）的解.可能它不包含在方程的通解（2.2）中，必须予以补上.3) 例题例1 求解方程解 将变量分离，得到 两边积分，即得 因而，通解为 这里的是任意的正常数.或解出显式形式 例2 解方程 并求满足初始条件：当时.的特解.解 将变量分离，得到 两边积分，即得 因而，通解为 这里的是任意的常数.此外，方程还有解.为确定所求的特解，以.代入通解中确定常数，得到 因而，所求的特解为 例3 求方程 （2.3）的通解，其中是的连续函数.解 将变量分离，得到 两边积分，即得 这里的是任意常数.由对数的定义，即有 即 令，得到 （2.4）此外，也是（2.3）的解.如果在（2.4）中允许，则也就包括在（2.4）中，因而，（2.3）的通解为（2.4），其中是任意常数.注: 1.常数的选取保证(2.2)式有意义. 2.方程的通解不一定是方程的全部解,有些通解包含了方程的所有解，有些通解不能包含方程的所有解.此时，还应求出不含在通解中的其它解, 即将遗漏的解要弥补上. 3.微分方程的通解表示的是一族曲线，而特解表示的是满足特定条件的一个解，表示的是一条过点的曲线.2、可化为变量分离方程的类型1）.形如 （2.5）的方程，称为齐次方程，这里的是的连续函数. 另外,)对于方程 其中函数和都是和的次齐次函数，即对有 事实上，取，则方程可改写成形如(2.5)的方程. )对方程 其中右端函数是和的零次齐次函数，即对有则方程也可改写成形如(2.5)的方程对齐次方程（2.5）利用变量替换可化为变量分离方程再求解. 令 （2.6）即，于是 （2.7）将（2.6）、（2.7）代入（2.5），则原方程变为 整理后，得到 （2.8）方程（2.8）是一个可分离变量方程，按照变量分离法求解，然后将所求的解代回原变量，所得的解便是原方程（2.5）的解.例4 求解方程解 这是齐次方程，以代入，则原方程变为 即 （2.9）分离变量，即有 两边积分，得到 这里的是任意的常数，整理后，得到 （2.10）此外，方程（2.9）还有解,即. 如果（2.10）中允许，则就包含在（2.10）中，这就是说，方程（2.9）的通解为（2.10）.代回原来的变量，得到原方程的通解为 例5 求解方程解 将方程改写为 这是齐次方程，以代入，则原方程变为 （2.11）分离变量，得到 两边积分，得到（2.11）的通解 即 (2.12)这里的是任意常数.此外，（2.11）还有解注意，此解不包括在通解（2.12）中.代回原来的变量，即得原方程的通解 及解.原方程的通解还可表为 它定义于整个负半轴上.注：1.对于齐次方程的求解方法关键的一步是令后，解出，再对两边求关于的导数得，再将其代入齐次方程使方程变为关于的可分离方程. 2.齐次方程也可以通过变换而化为变量分离方程.这时，再对两边求关于的导数得，将其代入齐次方程使方程变为的可分离方程小结：这一讲我们主要讲解了一阶微分方程的可分离变量法和齐次方程的形状的解法.而这一齐次方程通过变量替换任然可化为可分离方程，因而，一定要熟练掌握可分离方程的解法.2）形如 （2.13）的方程经变量变换化为变量分离方程，这里的均为常数.分三种情况来讨论（1）情形.这时方程（2.13）属齐次方程，有 此时，令，即可化为变量可分离方程.（2），即的情形. 设，则方程可写成 令，则方程化为 这是一变量分离方程.（3）不全为零的情形.这时方程（2.13）右端的分子、分母都是的一次式，因此 （2.14）代表平面上两条相交的直线，设交点为.显然，或，否则必有，这正是情形（1）（只需进行坐标平移，将坐标原点移至就行了，若令 （2.15）则（2.14）化为 从而（2.13）变为 （2.16）因此，得到这种情形求解的一般步骤如下：(1)解联立代数方程（2.14），设其解为；(2)作变换（2.15）将方程化为齐次方程（2.16）；(3)再经变换将（2.16）化为变量分离方程；(4)求解上述变量分离方程，最后代回原变量可得原方程（2.13）的解.上述解题的方法和步骤也适用于比方程（2.13）更一般的方程类型 此外，诸如 以及 （其中为的齐次函数，次数可以不相同）等一些方程类型，均可通过适当的变量变换化为变量分离方程.例6 求解方程 （2.17）解 解方程组 得 令代入方程（2.17），则有 （2.18） 再令 即 则（2.18）化为 两边积分，得 因此 记并代回原变量，就得 此外，易验证 即 也就是（2.18）的解.因此方程（2.17）的通解为 其中为任意的常数.3、 应用举例例7 电容器的充电和放电如图（2.1）所示的电路，开始时电容上没有电荷，电容两端的电压为零.把开关合上“1”后，电池就对电容充电，电容两端的电压逐渐升高，经过相当时间后，电容充电完毕，再把开关合上“2”，这时电容就开始放电过程，现在要求找出充、放电过程中，电容两端的电压随时间的变化规律. 解 对于充电过程，由闭合回路的基尔霍夫第二定理， （2.19）对于电容充电时，电容上的电量逐渐增多，根据，得到 （2.20）将（2.20）代入（2.19），得到满足的微分方程 （2.21）这里、都是常数.方程（2.21）属于变量分离方程.将（2.21）分离变量，得到 两边积分，得到 即 这里为任意常数.将初始条件：时，代入，得到.所以 （2.22） 这就是电路充电过程中电容两端的电压的变化规律.由（2.22）知道，电压从零开始逐渐增大，且当时，在电工学中，通常称为时间常数，当时，就是说，经过的时间后，电容上的电压已达到外加电压的95%.实用上，通常认为这时电容的充电过程已基本结束.易见充电结果.对于放电过程的讨论，可以类似地进行.例8 探照灯反射镜面的形状在制造探照灯的反射镜面时，总是要求将点光源射出的光线平行地射出去，以保证照灯有良好的方向性，试求反射镜面的几何形状.解 取光源所在处为坐标原点，而轴平行于光的反射方向，设所求曲面由曲线 （2.23）绕轴旋转而成，则求反射镜面的问题归结为求平面上的曲线的问题,仅考虑的部分,过曲线上任一点作切线，则由光的反射定律：入射角等于反射角，容易推知 从而 注意到 及就得到函数所应满足的微分方程式 （2.24）这是齐次方程.由2.12知引入新变量可将它化为变量分离方程.再经直接积分即可求得方程的解.对于方齐次方程（2.24）也可以通过变换而化为变量分离方程也可由得代入（2.24）得到 于是 （2.25）积分（2.25）并代回原来变量，经化简整理，最后得 （2.26）其中为任意常数. （2.26）就是所求的平面曲线，它是抛物线，因此，反射镜面的形状为旋转抛物面 （2.27）小结: 本节我们主要讨论了一阶可分离微分方程和齐次微分方程的求解问题.将各种类型的求解步骤记清楚的同时要注意对解的讨论. 2 线性方程与常数变易法1、一阶线性微分方程 在的区间上可以写成 （2.28）对于有零点的情形分别在的相应区间上讨论.这里假设在考虑的区间上是的连续函数.若，（2.28）变为 （2.3）称为一阶齐线性方程.若，（2.28）称为一阶非齐线性方程.2、常数变易法（2.3）是变量分离方程，已在例3中求得它的通解为 （2.4）这里是任意的常数. 下面讨论一阶非齐线性方程（2.28）的求解方法. 方程(2.3)与方程(2.28)两者既有联系又有区别,设想它们的解也有一定的联系,在(2.4)中恒为常数时,它不可能是(2.28)的解,要使(2.28)具有形如(2.4)的解, 不再是常数,将是的待定函数,为此令 （2.29）两边微分，得到 （2.30）将（2.29）、（2.30）代入（2.28），得到 即 积分后得到 （2.31）这里是任意的常数.将（2.31）代入（2.29），得到 （2.32）这就是方程（2.28）的通解.这种将常数变易为待定函数的方法，通常称为常数变易法.实际上常数变易法也是一种变量变换的方法.通过变换（2.29）可将方程（2.28）化为变量分离方程.注: 非齐线性方程的通解是它对应的齐线性方程的通解与它的某个特解之和.例1 求方程的通解，这里的为常数.解 将方程改写为 （2.33）先求对应的齐次方程 的通解，得 令 （2.34）微分之，得到 （2.35）以（2.34）、（2.35）代入（2.33），再积分，得 将其代入公式（2.34），即得原方程的通解 这里是任意的常数. 例2 求方程的通解.解 原方程改写为 （2.36）把看作未知函数，看作自变量，这样，对于及来说，方程（2.36）就是一个线性方程了.先求齐线性方程 的通解为 （2.37）令,于是 代入（2.36），得到 从而，原方程的通解为 这里是任意的常数,另外也是方程的解.特别的，初值问题的解为例3 试证（1）一阶非齐线性方程（2.28）的任两解之差必为相应的齐线性方程（2.3）之解；（2）若是（2.3）的非零解，而是（2.28）的解，则（2.28）的通解可表为，其中为任意常数.（3）方程（2.3）任一解的常数倍或两解之和（或差）仍是方程（2.3）的解.证 （1）设是非齐线性方程的两个不同的解，则应满足方程使 （1）（2）有 说明非齐线性方程任意两个解的差是对应的齐次线性方程的解.（2）因为故结论成立.（3）因为故结论成立.3、Bernoulli方程形如 （ ） （2.38）的方程，称为伯努利（）方程，这里为连续函数.利用变量变换可将伯努利方程化为线性方程来求解.事实上，对于，用乘（2.38）两边，得到 （2.39）引入变量变换 （2.40）从而 （2.41）将（2.40）、2.41）代入（2.39），得到 （2.42）这是线性方程，用上面介绍的方法求得它的通解，然后再代回原来的变量，便得到（2.38）的通解.此外，当时，方程还有解. 例4 求方程的通解解 这是时的伯努利方程，令 ,得 代入原方程得到 这是线性方程，求得它的通解为 代回原来的变量，得到 或者 这是原方程的通解. 此外，方程还有解.例5 求方程的解解 将方程改写为 这是一个自变量为，因变量为的伯努利方程.解法同上.例6 求方程的通解这个方程只要做一个变换，令，原方程改写为 便是伯努利方程.小结;这次主要讨论了一阶线性微分方程的解法.其核心思想是常数变易法.即将非齐线性方程对应的齐线性方程解的常数变易为待定函数，使其变易后的解函数代入非齐次线性方程，求出待定函数，求出非齐次方程的解.我们还讨论了伯努利方程，求解过程为，先变换，将原方程化为非齐线性方程，再求解. 3 恰当方程与积分因子1、恰当方程的定义 将一阶微分方程 写成微分的形式 把平等看待，对称形式的一阶微分方程的一般式为 （2.43）假设在某区域内是的连续函数，而且具有连续的一阶偏导数. 如果存在可微函数,使得 (2.44)即 (2.45)则称方程(2.43)为恰当方程,或称全微分方程.在上述情形,方程(2.43)可写成,于是 就是方程(2.43)的隐式通解,这里是任意常数(应使函数有意义).2、 恰当方程的判定准则 定理1设在某区域内连续可微,则方程(2.43)是恰当方程的充要条件是 (2.46)而且当(2.46)成立时,相应的原函数可取为 (2.47)或者也可取为 (2.48)其中是任意取定的一点.证明 先证必要性.因为(2.43)是恰当方程,则有可微函数满足(2.45),又知是连续可微的,从而有 下面证明定理的充分性,即由条件(2.46),寻找函数,使其适合方程(2.45).从(2.47)可知 即(2.45)成立,同理也可从(2.48)推出(2.45).例1. 解方程 (2.49)解 这里,则,所以(2.49)是恰当方程.因为于处无意义,所以应分别在和区域上应用定理2.3,可按任意一条途径去求相应的原函数.先选取,代入公式(2.47)有 再选取,代入公式(2.47)有 可见不论和,都有 故方程的通解为.3、恰当方程的解法 上述定理已给出恰当方程的解法,下面给出恰当方程的另两种常用解法.解法1. 已经验证方程为恰当方程,从出发,有 (2.50)其中为待定函数,再利用,有 从而于是有 只需要求出一个,因而省略了积分常数.把它代入(2.50)便得方程的通解为 解法2. 分项组合的方法 对(2.49)式重新组合变为 于是 从而得到方程的通解为 4、积分因子的定义及判别对于微分形式的微分方程 （2.43）如果方程（2.43）不是恰当方程，而存在连续可微的函数，使得 (2.51)为一恰当方程，即存在函数，使 则称是方程（2.43）的积分因子.此时是(2.51)的通解，因而也就是（2.43）的通解.如果函数和都是连续可微的,则由恰当方程的判别准则知道, 为(2.43)积分因子的充要条件是 即 (2.52)5、积分因子的求法 方程(2.52)的非零解总是存在的，但这是一个以为未知函数的一阶线性偏微分方程，求解很困难，我们只求某些特殊情形的积分因子. 定理2 设和在某区域内都是连续可微的，则方程（2.43）有形如的积分因子的充要条件是：函数 （2.53）仅是的函数，此外，如果（2.53）仅是的函数，而，则函数 （2.54）就是方程（2.43）的积分因子.证明 因为如果方程（2.43）有积分因子，则由（2.52）进一步知即由可知左端是的函数，可见右端也是的函数，即，于是，有， 从而 反之，如果（2.53）仅是的函数，即，则函数（2.54）是方程（2.52）的解.事实上，因为因此函数（2.54）的确是方程（2.43）的积分因子. 为了方便应用这个定理，我们就若干特殊情形列简表如下：类型条件积分因子例2. 解解 这里,注意所以方程不是恰当的,但是它仅是依赖与，因此有积分因子给方程两边乘以因子得到从而可得到隐式通解例3. 解方程解 这里方程不是恰当的.但是它有仅依赖于的积分因子 方程两边乘以积分因子得到 从而可得到隐式