五年高考真题高考数学 复习 第八章 第六节 空间向量的应用 理全国通用

考点空间向量及其应用1(20xx陕西，18)如图1，在直角梯形 ABCD中，ADBC，BAD，ABBC1，AD2，E是AD的中点，O是AC与BE的交点将ABE沿BE折起到A1BE的位置，如图2.(1)证明：CD平面A1OC；(2)若平面A1BE平面BCDE，求平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值(1)证明在图1中，因为ABBC1，AD2，E是AD的中点，BAD，所以BEAC，即在图2中，BEOA1，BEOC，且A1OOCO， 图1从而BE平面A1OC，又在直角梯形ABCD中，ADBC，BCAD，E为AD中点，所以BC綉ED，所以四边形BCDE为平行四边形，故有CDBE，所以CD平面A1OC.(2)解由已知，平面A1BE平面BCDE，又由(1)知，BEOA1，BEOC，所以A1OC为二面角A1BEC的平面角，所以A1OC， 图2如图，以O为原点，建立空间直角坐标系，因为A1BA1EBCED1，BCED，所以B，E，A1，C，得，(，0，0)，设平面A1BC的法向量n1(x1，y1，z1)，平面A1CD的法向量n2(x2，y2，z2)，平面A1BC与平面A1CD夹角为，则得取n1(1，1，1)；得取n2(0，1，1)，从而cos |cos|，即平面A1BC与平面A1CD夹角的余弦值为.2(20xx天津，17)如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，侧棱A1A底面ABCD，ABAC，AB1，ACAA12，ADCD，且点M和N分别为B1C和D1D的中点(1)求证：MN平面ABCD；(2)求二面角D1ACB1的正弦值；(3)设E为棱A1B1上的点，若直线NE和平面ABCD所成角的正弦值为，求线段A1E的长解如图，以A为原点建立空间直角坐标系，依题意可得A(0，0，0)，B(0，1，0)，C(2，0，0)，D(1，2，0)，A1(0，0，2)，B1(0，1，2)，C1(2，0，2)，D1(1，2，2)，又因为M，N分别为B1C和D1D的中点，得M，N(1，2，1)(1)证明依题意，可得n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，由此可得n0，又因为直线MN平面ABCD，所以MN平面ABCD.(2)(1，2，2)，(2，0，0)，设n1(x，y，z)为平面ACD1的法向量，则即不妨设z1，可得n1(0，1，1)设n2(x，y，z)为平面ACB1的法向量，则又(0，1，2)，得不妨设z1，可得n2(0，2，1)因此有cosn1，n2，于是sinn1，n2.所以，二面角D1ACB1的正弦值为.(3)依题意，可设，其中0，1，则E(0，2)，从而(1，2，1)，又n(0，0，1)为平面ABCD的一个法向量，由已知，得cos，n，整理得2430，又因为0，1，解得2，所以，线段A1E的长为2.3(20xx江西，19)如图，四棱锥PABCD中，PA平面ABCD，E为BD的中点，G为PD的中点，DABDCB，EAEBAB1，PA，连接CE并延长交AD于F. (1)求证：AD平面CFG；(2)求平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值(1)证明在ABD中，因为E是BD的中点，所以EAEBEDAB1，故BAD，ABEAEB，因为DABDCB，所以EABECB，从而有FEDBECAEB，所以FEDFEA，故EFAD，AFFD，又因为PGGD，所以FGPA.又PA平面ABCD，所以GFAD，故AD平面CFG.(2)解以点A为坐标原点建立如图所示的坐标系，则A(0，0，0)，B(1，0，0)，C，D，P，故，.设平面BCP的法向量n1(1，y1，z1)，则解得即n1.设平面DCP的法向量n2(1，y2，z2)，则解得即n2(1，2)从而平面BCP与平面DCP的夹角的余弦值为cos.4.(20xx湖北，19)如图，AB是圆O的直径，点C是圆O上异于A，B的点，直线PC平面ABC，E，F分别是PA，PC的中点(1)记平面BEF与平面ABC的交线为l，试判断直线l与平面PAC的位置关系，并加以证明；(2)设(1)中的直线l与圆O的另一个交点为D，且点Q满足，记直线PQ与平面ABC所成的角为，异面直线PQ与EF所成的角为，二面角ElC的大小为，求证：sin sin sin .(1)解直线l平面PAC，证明如下：连接EF，因为E，F分别是PA，PC的中点，所以EFAC.又EF平面ABC，且AC平面ABC，所以EF平面ABC.而EF平面BEF，且平面BEF平面ABCl，所以EFl.因为l平面PAC，EF平面PAC，所以直线l平面PAC. (2)证明法一(综合法)如图1，连接BD，由(1)可知交线l即为直线BD，且lAC.因为AB是O的直径，所以ACBC，于是lBC， 图1已知PC平面ABC，而l平面ABC，所以PCl.而PCBCC，所以l平面PBC.连接BE，BF，因为BF平面PBC，所以lBF.故CBF就是二面角ElC的平面角，即CBF.由，作DQCP，且DQCP.连接PQ，DF，因为F是CP的中点，CP2PF，所以DQPF，从而四边形DQPF是平行四边形，PQFD.连接CD，因为PC平面ABC，所以CD是FD在平面ABC内的射影，故CDF就是直线PQ与平面ABC所成的角，即CDF.又BD平面PBC，有BDBF，知BDF为锐角，故BDF为异面直线PQ与EF所成的角，即BDF，于是在RtDCF，RtFBD，RtBCF中，分别可得sin ，sin ，sin ，从而sin sin sin ，即sin sin sin .法二(向量法)如图2，由，作DQCP，且DQCP.连接PQ，EF，BE，BF，BD，由(1)可知交线l即为直线BD.以点C为原点，向量，所在直线分别为x、y、z轴，建立如图所示的空间直角坐标系，设CAa，CBb，CP2c，则有C(0，0，0)，A(a，0，0)，B(0，b，0)，P(0，0，2c)，Q(a，b，c)，E，F(0，0，c)于是(a，0，0)， 图2(a，b，c)，(0，b，c)，所以cos ，从而sin .又取平面ABC的一个法向量为m(0，0，1)，可得sin ，设平面BEF的一个法向量为n(x，y，z)，所以由可得取n(0，c，b)于是|cos |，从而sin .故sin sin sin ，即sin sin sin .