根与系数

根与系数的关系在中考中的应用例析及探讨顶新九义校：代小燕韦达定理说的是：设一元二次方程有二实数根，则。这两个式子反映了一元二次方程的两根之积与两根之和同系数a，b，c的关系。其逆命题：如果满足，那么是一元二次方程的两个根也成立。韦达定理的应用有一个重要前提，就是一元二次方程必须有解，即根的判别式。综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。学习中，老师除了要求同学们应用韦达定理解答一些变式题目外，还常常要求同学们熟记一元二次方程根的判别式存在的三种情况，以及应用求根公式求出方程的两个根，进而分解因式，即。一元二次方程根与系数的关系深刻揭示了一元二次方程中根与系数的内在联系，是分析研究有关一元二次方程根的问题的重要工具，也是计算有关一元二次方程根的计算问题的重要工具。知识的运用方法灵活多样，是设计考察创新能力试题的良好载体，在中考中与此有联系的试题出现频率很高，应是同学们重点练习的内容。韦达定理及其逆定理作为一元二次方程的重要理论在中考数学中有着广泛的应用，归纳为：不解方程求方程两根和与两根积判别一元二次方程两根的符号。求对称代数式的值构造一元二次方程求方程中待定系数的值在平面几何中的应用在二次涵数中的应用下面就对应用韦达定理可能出现的问题举例做些分析。一、不解方程求方程的两根和与两根积例1：若x1、x2是一元二次方程x23x20的两根，则x1x2的值是【 】A2 B2 C3 D1例2：若x1、x2是一元二次方程x24x30的两个根，则x1x2的值是【 】A.4. B.3. C.4. D.3.二、判别一元二次方程两根的符号例3：不解方程，判别方程两根的符号。 分析：对于来说，往往二次项系数，一次项系数，常数项皆为已知，可据此求出根的判别式，但只能用于判定根的存在与否，若判定根的正负，则需要确定 或的正负情况。因此解答此题的关键是：既要求出判别式的值，又要确定 或的正负情况。 说明：判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，另外由于本题中0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若0，仍需考虑的正负，方可判别方程是两个正根还是两个负根。三、已知一元二次方程的一个根，求出另一个根以及字母系数的值。 例4：已知方程的一个根为2，求另一个根及的值。 分析：此题通常有两种解法：一是根据方程根的定义，把代入原方程，先求出的值，再通过解方程办法求出另一个根；二是利用一元二次方程的根与系数的关系求出另一个根及的值。说明：比较起来，解法二应用了韦达定理，解答起来较为简单。例3：已知方程有两个实数根，且两个根的平方和比两根的积大21，求的值。 分析：本题若利用转化的思想，将等量关系“两个根的平方和比两根的积大21”转化为关于的方程，即可求得的值。说明：当求出后，还需注意隐含条件，应舍去不合题意的。 四、运用判别式及根与系数的关系解题。例5：已知、是关于的一元二次方程的两个非零实数根，问和能否同号？若能同号，请求出相应的的取值范围；若不能同号，请说明理由， 五、运用一元二次方程根的意义及根与系数的关系解题。例：1、已知、是方程的两个实数根，求的值。.2、已知：x2+a2x+b=0的两个实数根为x1、x2；y1、y2是方程y2+5ay+7=0的两个实数根，且x1y1=x2y2=2求a、b的值。分析：本题可充分运用根的意义和根与系数的关系解题，应摒弃常规的求根后，再带入的方法，力求简解。 说明：既要熟悉问题的常规解法，也要随时想到特殊的简捷解法，是解题能力提高的重要标志，是努力的方向。有关一元二次方程根的计算问题，当根是无理数时，运算将十分繁琐，这时，如果方程的系数是有理数，利用根与系数的关系解题可起到化难为易、化繁为简的作用。这类问题在解法上灵活多变，式子的变形具有创造性，重在考查能力，多年来一直受到命题老师的青睐。六、运用一元二次方程根的意义及判别式解题。例8：已知两方程和至少有一个相同的实数根，求这两个方程的四个实数根的乘积。分析：当设两方程的相同根为时，根据根的意义，可以构成关于和的二元方程组，得解后再由根与系数的关系求值。说明：（1）本题的易错点为忽略对的讨论和判别式的作用，常常除了犯有默认的错误，甚至还会得出并不存在的解：当时，两方程相同，方程的另一根也相同（2）既然本题是讨论一元二次方程的实根问题，就应首先确定方程有实根的条件： 且另外还应注意：求得的的值必须满足这两个不等式才有意义。七、在平面几何中的应用：在平面几何中，两圆外切，两圆圆心距离等于两圆半径之和；勾股定理两直角边的平方和等于斜边的平方的应用，可以与一元二次方程根与系数的关系相结合命题。例9：已知ABC的两边AB,AC的长是关于X的一元二次方程X2-(2K+3)X+K2+3K+2=0的两根，第三边长为5，试问K取何值时，ABC是以BC为斜边的直角三角形【趁热打铁】一、填空题：1、如果关于的方程的两根之差为2，那么 。2、已知关于的一元二次方程两根互为倒数，则 。3、已知关于的方程的两根为，且，则 。4、已知是方程的两个根，那么： ； ； 。5、已知关于的一元二次方程的两根为和，且，则 ； 。6、如果关于的一元二次方程的一个根是，那么另一个根是 ，的值为 。7、已知是的一根，则另一根为 ，的值为 。8、一个一元二次方程的两个根是和，那么这个一元二次方程为： 。二、求值题：1、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。2、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。3、已知是方程的两个根，利用根与系数的关系，求的值。4、已知两数的和等于6，这两数的积是4，求这两数。5、已知关于x的方程的两根满足关系式，求的值及方程的两个根。6、已知方程和有一个相同的根，求的值及这个相同的根。三、能力提升题：1、实数在什么范围取值时，方程有正的实数根？2、已知关于的一元二次方程 （1）求证：无论取什么实数值，这个方程总有两个不相等的实数根。 （2）若这个方程的两个实数根、满足，求的值。3、若，关于的方程有两个相等的正的实数根，求的值。4、是否存在实数，使关于的方程的两个实根，满足，如果存在，试求出所有满足条件的的值，如果不存在，请说明理由。5、已知关于的一元二次方程（）的两实数根为，若，求的值。6、实数、分别满足方程和，求代数式的值。7、.已 知： 如 图， O的半径为r，CE切O于C，且 与 弦 AB的延长线交于点E，CDAB于D如果CE=2BE且AC、BC的长是关于x的方程x2-3(r-2)x+r2-4=0的两个实数根求：（1）AC、的长；（2）CD的长