5.1　5.1.2　事件的运算.docx

事件的运算OSS新目法（教师独具内容）课程标准：1.了解随机事件的交、并、差、互斥与对立的含义.2.能结合实例 进行随机事件的交、并、差运算.教学重点：随机事件的交、并、差、互斥与对立的含义.教学难点：随机事件的关系与集合关系的解释.核心素养：1.通过事件间的关系的判断发展数学抽象素养.2.通过事件间的运 算发展逻辑推理素养.核概念一掌握HE XIN GAI NIAN ZHANG WO知识点一事件的关系1. 如果事件A发生必然导致事件B发生，即事件A中的每个样本点都在B 中，则称A包含于或B包含A,记作回丝星显然，对任何事件A,都有。匝匝WQ2. 对于事件A, B,如果A匝；矿且8匝旦，则称A与8等价，或称人 与B相等，记作A = B.知识点二事件的运算1. 如果某事件发生当且仅当事件A与事件8问同时发生,则称该事件为事 件A与B的交（或积），记作回匝顷或幽.事件AQB由属于事件A且属于事件 B的所有样本点组成.显然有QC1A二A.AHR是互斥事件；对于B,两次均为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是 互斥事件；对于C,只有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不是 互斥事件；对于D,两次均为反面与至少有一次为正面，不能够同时发生，是互 斥事件.故选D.2. 掷一枚骰子，“向上的点数是1或2”为事件人，“向上的点数是2或3” 为事件乩则（）A. AQBB. A = BC. AUB表示向上的点数是1或2或3D. AQB表示向上的点数是1或2或3答案C解析设人=1,2, B=2,3）,贝 IJ AQB=（2, A U 8= 1,2,3,所以 AOB 表示向上的点数为2, AUB表示向上的点数为1或2或3.故选C.3. 在一次随机试验中，A, B, C,。是彼此互斥的事件，且AUBUCUD是 必然事件，则下列说法正确的是（）A. AUB与C是互斥事件，也是对立事件B. BUC与。是互斥事件，也是对立事件C. AUC与BU。是互斥事件，但不是对立事件D. A与BUCU。是互斥事件，也是对立事件答案D解析 由于A, B, C,。彼此互斥，且AUBUCUD是必然事件，故其事件 的关系如图所示，由图可知，任何一个事件与其余三个事件的和事件互为对立事 件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件互为对立事件，故只有D中 的说法正确.4. 对空中飞行的飞机连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设人=两弹都击 中飞机, 8= 两弹都没击中飞机, C= 恰有一弹击中飞机,。二至少有一弹 击中飞机,下列说法不正确的是（）A. AQDB. BCD =。C. AJC=DD. AUC=BUD答案D解析 由于至少有一弹击中飞机包括两种情况：两弹都击中飞机，只有一弹 击中飞机，故有AQD,故A正确.由于事件8,。是互斥事件，故BCD =。, 故B正确.由AUC=D成立可得C正确.AUC=D=至少有一弹击中飞机, 不是必然事件，而BUD为必然事件，故D不正确.5. （多选）若从1,2,3,，9中任取两个数，则下列四个选项中是对立事件的 是（）A. 恰有一个偶数和恰有一个奇数B. 至多有一个奇数和两个都是奇数C. 至少有一个奇数和两个都是偶数D. 至少有一个奇数和至少有一个偶数答案BC解析 从19中任取两数，有以下三种情况：两个均为奇数；两个均为 偶数；一个奇数和一个偶数.故选BC.二、填空题6. 打靶 3 次，事件&表示“击中 i 次”，M* z = 0,l,2,3JP A = AiUA2U人3表示.答案至少有一次击中解析 Al UA2UA3所表示的含义是Al,处,A3这三个事件中至少有一个发生, 即可能击中1次、2次或3次.7. 同时掷两枚骰子，两枚骰子的点数之和可能是2,3, 4,，11,12中的一 个.记事件A为“点数之和是2,4,7,12”，事件B为“点数之和是2,4,6,8,10,12”，事件c为“点数之和大于8”，则事件“点数之和为2或4”可记为,事件CB表示.答案AABA C 点数之和是9,11解析.事件 A=2,4,7,12,事件 B=2,4,6,8,10,12, /.AnB= （2,4,12,又C= 9,10,11,12, :.AOBQ C = 2,4）, 03= 9,11）.8. 从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，给出如下四组 事件： “这张牌是红桃”与“这张牌是方块”； “这张牌是红色牌”与“这张牌是黑色牌”； “这张牌牌面是2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”； “这张牌牌面是2,3,4,5,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A, K, Q, J 之_”，其中互为对立事件的有（写出所有正确的编号）.答案解析 从一副扑克牌（去掉大、小王，共52张）中随机选取一张，“这张牌 是红桃”与“这张牌是方块”是互斥事件，但不是对立事件；“这张牌是红色 牌”与“这张牌是黑色牌”是互斥事件，也是对立事件；“这张牌牌面是 2,3,4,6,10之一”与“这张牌是方块”不是互斥事件，故更不会是对立事件； “这张牌牌面是2,345,6,7,8,9,10之一”与“这张牌牌面是A, K, Q, J之一” 是互斥事件，也是对立事件.故答案为.三、解答题9. 甲、乙、丙三人独立破译密码，用事件的运算关系表示：密码被破译；（2）至少有一人破译；（3）至多有一人破译；（4）恰有一人破译；（5）只有甲破译；（6）密码未被破译.解 用A, B, C分别表示甲、乙、丙破译密码，贝IJ(l) AUBUC； (2)AUBUC； (3)ACI B A C + A ABA C + A A 5 AC+ AQB n c；(4)4n BQC + AQBCc + AQBnc；(5)a n s n c ；(6) n B n c.io.某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件 B为“至少订一种报纸”，事件。为“至多订一种报纸”，事件。为“不订甲 报”，事件E为“一种报纸也不订” .判断下列每组事件是不是互斥事件；如果 是，再判断它们是不是对立事件：(1) A 与 C； (2)8 与& (3)8 与。；(4)8 与 C; (5)C 与 E.解(1)由于事件C “至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事 件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件.(2) 事件B “至少订一种报纸”与事件E “一种报纸也不订”是不可能同时发 生的，故8与E是互斥事件；由于事件”与事件厅必有一个发生，故3与厅是 对立事件.(3) 事件B “至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”， 也就是说事件B和事件。有可能同时发生，故5与。不是互斥事件.(4) 事件8“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙 报”“订甲、乙两种报”.事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报 纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”.也就是说事件B与事件C可能同时发生, 故8与C不是互斥事件.(5) 由(4)的分析知，事件E “一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况， 所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件.取麝：四能”提升训练1. 从一堆产品(其中正品与次品都多于2件)中任取2件，观察正品件数与次 品件数，判断下列每组事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事 件.(1) “恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”；(2) “至少有1件次品”和“全是次品”；(3) “至少有1件正品”和“至少有1件次品”.解 依据互斥事件的定义，即事件A与事件B在一次试验中不会同时发生可知:（1）中“恰好有1件次品”和“恰好有2件次品”不可能同时发生，因此它们 是互斥事件，又因为它们的和事件不是必然事件，所以它们不是对立事件.（2）中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件.（3）中的2个事件不是互斥事件，从而也不是对立事件.2. 用红、黄、蓝三种不同的颜色给大小相同的三个圆随机涂色，每个圆只涂 一种颜色.设事件“三个圆的颜色全不相同”，事件8二“三个圆的颜色不 全相同”，事件C二“其中两个圆的颜色相同”，事件。二“三个圆的颜色全相 同” .（1）写出试验的样本空间；（2）用集合的形式表示事件A, B, C,。；（3）事件B与事件C有什么关系？事件人和B的交事件与事件。有什么关系？ 并说明理由.解（1）用数组（。，b, c）表示可能的结果，。，b, c分别表示三个圆所涂的颜 色，则试验的样本空间。=（红，红，红），（黄，黄，黄），（蓝，蓝，蓝），（红， 红，黄），（红，红，蓝），（蓝，蓝，红），（蓝，蓝，黄），（黄，黄，红），（黄，黄， 蓝），（红，黄，蓝）.（2）A=（红，黄，蓝） .B=（红，红，黄），（红，红，蓝），（蓝，蓝， 红），（黄，黄,蓝），（红，黄,蓝）.红），（蓝,蓝,黄），（黄，黄，。=（红，红，黄），（红，红，蓝），（蓝，蓝， 红）,（黄,黄，蓝）.红），（蓝，蓝，黄），（黄，黄，。=（红，红，红），（黄，黄，黄），（蓝，蓝，蓝） .（3）由（2）可知CUB, AOB = A, A与。互斥，所以事件B包含事件C,事件A和8的交事件与事件D互斥但不对立.事件AQB如图中阴影部分所示.2.如果某事件发生当且仅当事件A发生匝或事件B发生，则称该事件为事件人与B的并（或和），记作问?1 U B（或A + B）.事件A U B由至少属于事件A或B 之一的样本点组成.容易得0UA=A. 00A(JB事件AUB如图中阴影部分所示.3.如果事件AC如为网不可能事件,EPAAB = O60,则称事件A, B互斥（或互不相容）.般地，如果事件而，代，4中同任意两个都互斥,则称它们两两互 斥4. 如果某事件发生当且仅当事件A发生而事件8不发生，则称该事件为匝事件A与3的差,记作匝典.显然，由属于事件A但不属于事件8的样本5. 如果某事件发生当且仅当事件A不发生，则称该事件为A的问对立事件, 记作回虫1或云，且。二回口好事件凡如图中阴影部分所示.6. 概率论中事件的运算性质与集合论中的运算性质是一致的，主要包括：(1) AUB = BUA,=(2) (AUB)UC = AU(BUC), (AAB)nC = AA(BA C)；(3) (AUB)nC=UAC)U(BAC), CA(AUB) = (CAA)U(CnB);(4) AU3 = A n 3 , AHB =AJB.击I新知拓展事件人与事件B互斥是指事件A与事件B在一次试验中不会同时发生,对立 事件是指在一次试验中，两个事件不会同时发生，且必然要有一个事件发生，因 此，对立事件是互斥事件的特例，对立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定 是对立事件.从集合的观点来判断：设事件人与B所含的样本点组成的集合分别 是 A, B,若 A, B 互斥，贝若 A, B 对立,贝 ljACB =。，且 AU8 二。,即= qA = B.互斥事件人与8的和0 + B可理解为集合AU8:1评价自测1. 判一判(正确的打“ J ”，错误的打“ X ”)(1) 若A = B,则A, B同时发生或A, B同时不发生.()(2) 两个事件的和指两个事件至少一个发生.()(3) 互斥事件一定是对立事件.()答案(1)。(2)V (3)X2. 做一做(1) 掷一枚骰子，设事件A = 出现的点数不大于3,B=(出现的点数为偶数, 则事件A与事件B的关系是()A. AQBB. AHB=出现的点数为2C.事件A与B互斥D.事件A与3是对立事件(2) 批产品共有100件，其中5件是次品，95件是合格品.从这批产品中任 意抽取5件，现给出以下四个事件：事件A:恰有一件次品；事件8至少有两件次品；事件C:至少有一件次品；事件。：至多有一件次品.并给出以下结论： AUB = C; DU8是必然事件； A W =AQD = C.其中正确结论的序号是()A.B.C.D.(3) 下列各对事件： 运动员甲射击一次，“射中9环”与“射中8环”； 甲、乙两运动员各射击一次，“甲射中10环”与“乙射中9环”； 甲、乙两运动员各射击一次，“甲、乙都射中目标”与“甲、乙都没有射 中目标”； 甲、乙两运动员各射击一次，“至少有一人射中目标”与“甲射中目标但 乙没有射中目标” .其中是互斥事件的有,是包含关系的有.答案(1)B (2)A (3)核素养核素养形成HF XIN SIJ YANG XING CHFNG题型一事件的关系和运算例1在掷骰子的试验中，可以定义许多事件.例如，事件G = 出现1点, 事件C2二出现2点，事件C3二出现3点，事件C. 出现4点，事件C5二出 现5点,事件C6=出现6点,事件D = 出现的点数不大于1,事件应=出 现的点数大于3,事件。3=出现的点数小于5,事件出现的点数小于7, 事件尸=出现的点数为偶数,事件G=(出现的点数为奇数，请根据上述定义 的事件，回答下列问题.(1) 请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2) 利用并事件的定义，判断上述哪些事件是并事件.解1 (1)因为事件G, C2, C3, C4发生，则事件D3必发生，所以GWD3, C3GD3, Cg D3.同理可得，事件 E包含事件 G, C2, C3, C4, C5, C6, Di, D2, D3, F, G; 事件应包含事件C4, C5, a；事件F包含事件C2, C4, C6；事件G包含事件 G , C3, C5.且易知事件G与事件。|相等，即Ci=Di.(2) 因为事件D2 = 出现的点数大于3 = 出现4点或出现5点或出现6点, 所以 D2 = C4 U C5 U。6(或 2 = C4 + C5 + Ce).同理可得，= G U C2 U C3 U C4, E = Cl U C2 U C3 U C4 U C5 U C6 , F = C2 U C4 U Cg, G= Ci U C3 U C5, E= FU G, E= 2 U D3.感悟提升.(1) 利用事件间运算的定义.列出同一条件下试验的所有可能出现的结果，分 析并利用这些结果进行事件间的运算.(2) 利用韦恩图.借助集合间运算的思想，分析同一条件下试验的所有可能出 现的结果，把这些结果在图中列出，进行运算.跟踪训练1盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A=3个球中有一个红球，两个白球，事件3= 3个球中有两个红球，一个白球, 事件C=(3个球中至少有一个红球,事件。=3个球中既有红球又有白球,事 件E=3个球都是红球.则：(1) 事件D与事件A, B是什么样的运算关系？(2) 事件C与事件A的交事件是什么事件？(3) 事件C与事件E的差是什么事件？解(1)对于事件。，可能的结果为1个红球，2个白球或2个红球，1个白(2) 对于事件C,可能的结果为1个红球，2个白球；2个红球，I个白球或3 个红球，故CCA.(3) 对于事件C,可能的结果为1个红球，2个白球；2个红球，1个白球或3 个红球，故CE=D.题型二互斥事件与对立事件的判断例2从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花，点数从110各10张)中， 任取一张.(1) “抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2) “抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3) “抽出的牌点数为5的倍数”与“抽出的牌点数大于9” .判断上面给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由.解(1)是互斥事件，不是对立事件.理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可 能同时发生的，所以是互斥事件.同时，不能保证其中必有一个发生，这是因为 还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此，二者不是对立事件.(2) 既是互斥事件，又是对立事件.理由：从40张扑克牌中，任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”， 两个事件不可能同时发生，但其中必有一个发生，所以它们既是互斥事件，又是 对立事件.(3) 不是互斥事件，也不是对立事件.理由：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出的牌点数为5的倍数”与“抽 出的牌点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出的牌点数为1(),因此，二者不是互斥事件，也不是对立事件.感悟提升.互斥事件与对立事件间的关系互斥事件和对立事件的判定是针对两个事件而言的.一次试验中，两个互斥 事件有可能都不发生，也可能有一个发生，但不可能两个都发生；而两个对立事 件必有一个发生，但是不可能两个事件同时发生，也不可能两个事件同时不发 生.所以两个事件互斥，它们未必对立；反之两个事件对立，它们一定互斥.跟踪训练2已知某医疗诊所的急诊室有3名男医生和2名女医生，从中 任选2名去参加医德培训.判断下列各对事件是否为互斥事件？是否为对立事 件？并说明理由.(1) “恰有1名男医生”和“恰有2名男医生”；(2) “至少有1名男医生”和“至少有1名女医生”；(3) “至少有1名男医生”和“全是男医生”；(4) “至少有1名男医生”和“全是女医生”.解(1)是互斥事件，但不是对立事件.理由：所选的2名医生中，“恰有1名男医生”实质选出的是“1名男医生 和1名女医生”，它与“恰有2名男医生”不可能同时发生，所以是互斥事件， 同时，不能保证其中必有一个发生，因为还可能“恰有2名女医生”，因此二者 不对立.(2) 不是互斥事件，也不是对立事件.理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是 男医生”，“至少有1名女医生”包括“I名女医生和1名男医生”与“2名都是 女医生”，它们共同含有“1名男医生和1名女医生”，能够同时发生，因此不 互斥也不对立.(3) 不是互斥事件，也不是对立事件.理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是 男医生”，这与“全是男医生”能够同时发生，因此不互斥也不对立.(4) 是互斥事件，也是对立事件.理由：“至少有1名男医生”包括“1名男医生和1名女医生”与“2名都是 男医生”，它与“全是女医生”不可能同时发生，但其中必有一个发生，故它们 既是互斥事件，又是对立事件.随堂水平达标SUI TANG SHI JI PING DA RIAO1.从一批产品（既有正品也有次品）中取出三件产品，设人=三件产品全不是次品, 3= 三件产品全是次品, c二三件产品有次品，但不全是次品,则 下列结论中错误的是（）A. A与C互斥B. 8与C互斥C.任何两个都互斥D.任何两个都不互斥答案D解析 由题意知事件A,饱C两两不可能同时发生，因此两两互斥.2 .人在练习射击时连续射击三次，设A = 至多有一次中靶，则可=（）A. 至少有一次中靶B. 三次均中靶C. 只有两次中靶D. 至少有两次中靶答案D解析 “至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“三次均不中靶”，所 以彳=至少有两次中靶.故选D.3. （多选）从装有红球、白球和黑球各2个的口袋内一次取出2个球，则与事 件“两球都为白球”互斥而非对立的事件是（）A.两球都不是白球B,两球恰有一个白球C.两球至少有一个白球D.两球至多有一个白球答案AB解析 对于A,根据题意，结合互斥事件、对立事件的定义可得，事件“两 球都为白球”和事件“两球都不是白球”不可能同时发生，故它们是互斥事件， 但这两个事件不是对立事件，因为它们的和事件不是必然事件；对于B,事件“两 球都为白球”和事件“两球恰有一个白球”是互斥而非对立事件；对于C,事件 “两球都为白球”和事件“两球至少有一个白球”可能同时发生，故它们不是互 斥事件；对于D,事件“两球都为白球”和事件“两球至多有一个白球”是互斥 事件，也是对立事件.故选AB.4. 某人在打靶时，连续射击2次，事件“至少有1次不中靶”的对立事件是答案2次都中靶解析 事件“至少有1次不中靶”包含“1次中靶1次不中靶”和“2次都不 中靶”，其对立事件是“2次都中靶”.5. 一个射击手进行一次射击，试判断下列事件哪些是互斥事件？哪些是对立 事件？事件A：命中环数大于7环；事件8:命中环数为10环；事件C：命中环数 小于6环；事件。：命中环数为6,7,8,9或10环.解=10环夭0,故A与B不是互斥事件；显然AnC = 0, “大于7环”与“小于6环”是不可能同时发生的，故A与 C是互斥事件.又即A与C不是必有一个发生，还可能有6环或7 环，因此A与C不是对立事件；ACO=8环，9环，1()环X。，故人与。不是互斥事件；显然BAC = 0,所以B与C是互斥事件.又因为BUC乂疗，因此B与。不是对立事件；BCO=10环尹。，因此B与。不是互斥事件；显然Cn = 0,因此C与。是互斥事件，又CUO = Q,即C,。必有一个 发生，因此C与。还是对立事件.精练KF HOU KF SHI .IING I IANg# “四基巩固训练、选择题1. 一人连续掷硬币两次，事件“至少有一次为正面”的互斥事件是()A.至多有一次为正面B.两次均为正面C.只有一次为正面D.两次均为反面答案D解析 对于A,至多有一次为正面与至少有一次为正面，能够同时发生，不