分类计数原理与分步计数原理

10.1 分类计数原理与分步计数原理 遂昌职业中专 叶建武一、 教学目标：1、 理解并掌握分类计数原理与分步计数原理，并能运用两个原理分析和解决一些简单的应用题；2、 通过对分类计数原理与分步计数原理的理解和运用，提高学生分析问题和解决问题的能力，开发学生的逻辑思维能力；3、 通过两个原理的学习感受数学模型的概括性、典型性和普遍性，从而体会数学之美。二、 教学重点、难点、关键：1、 重点：分类计数原理与分步计数原理的应用2、 难点：对分类计数原理与分步计数原理的理解3、 关键：对“分类”与“分步”的正确区分和理解三、 教学过程：设置情景先看下面问题：2002年夏季在韩国与日本举行的第17届世界杯足球赛共有32个队参赛，它们先分成8个小组进行循环赛，决出16强，这16个队按确定的程序进行淘汰赛，最后决出冠亚军，此外还决出了第三、四名。问一共安排了多少场比赛？这就是生活当中一个计数问题，要解决这个问题，就要用到排列、组合的知识。排列、组合是一个重要的数学方法，在运用排列、组合方法时，经常要用到分类计数原理与分步计数原理，下面我们就举一些例子来说明这两个原理。探索研究 引导学生看下面的问题： 小明从丽水到杭州，可以乘火车，也可以乘汽车，一天中，火车有3班，汽车有12班，那么一天中，小明乘坐这些交通工具从丽水到杭州共有多少种不同的走法？显然，一天中小明乘火车有3种走法，乘汽车有12种走法，每一种走法都可以从丽水到杭州，所以共有 312=15 种不同的走法。上面例子说明了一个计数原理：即分类计数原理 如果计数的对象可以分成若干类，使得每两类没有公共元素，则分别对每一类里的元素计数，然后把各类的元素数目相加，便得出所要计数的对象的总数。例1、 两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中任取一个球，有多少种取法？解：取一个球的方法可以分成两类：一类是从装红球的袋子里取一个球，这有40种取法；另一类是从装白球的袋子里取一个球，这有60种取法。因此取法种数共有 4060=100 （种）再看第2个问题：我们这幢教学楼共有五层，每一层的两头各有一座楼梯，现在我们位于五楼，如果想到一楼，共有多少种不同的走法？分析：从五楼到四楼有两种下楼的走法；对于其中每一种走法，从四楼到三楼都有两种下楼走法；依次类推，如图：因此下楼的走法共有 2222=16 （种）这个例子说明了另一个计数原理：即分步计数原理：如果计数的对象可以分成若干步骤来完成，并且对于前面几步的每一种完成方式，下一步有相同数目的做法，则依次计算第一步的做法数目，第二步的做法数目，最后一步的做法数目，然后把各步的做法数目相乘，便得出所要计数的对象的总数。提问：分类计数原理与分步计数原理有什么不同？回答：分类计数原理与“分类”有关，各种方法相互独立，用其中任何一种方法都可以完成这件事；分步计数原理与“分步”有关，各个步骤相互依存，只有各个步骤都完成了，这件事才算完成。例2、 两个袋子里分别装有40个红球，60个白球，从中取一个红球和一个白球，有多少种取法？解：取一个红球和一个白球可以分成两步来完成：第一步从装红球的袋子里取一个球，这有40种取法；对于这每一种取法，第二步从装白球的袋子里取一个球，都有60种取法。因此取一个红球和一个白球的方法共有4060=2400 （种） 练习反馈：练习1、我校03电子专业有3个班，1班49人，2班42人，3班42人，学校想从03电子专业班级中抽取一名学生参加市技能比武，共有多少种不同的抽法？ 练习2、我们班49位同学，有19位男生，30位女生，现组成班级乒乓球混双打代表队参加年级的比赛，共有多少种可能的组合？ 3、由数字1、2、3、4、5可以组成多少个四位数（各位上的数字允许重复）？ 变式：练习3中，若各位上的数字不允许重复，则可以组成多少个四位数呢？提高题：某城市的电话号码由8位数字组成，其中从左边算起的第1位只用6或8，其余7位可以从前10个自然数0，1，9中任意取，允许数字重复，试问：该城市最多可以装电话多少门？总结提炼：分类计数原理与分步计数原理体现了解决问题时将其分解的两种常用方法，即分类解决或分步解决，它不仅是推导排列数与组合数计算公式的依据，而且其基本思想贯穿于解决排列、组合应用问题的始终。特别要注意“类”间互相独立，“步”间互相联系。四、 布置作业课本195页，A组练习题 2，3，5（选做）