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.平面向量误区警示平面向量概念繁多容易混淆，对于初学者更是一头雾水现将与平面向量根本概念相关的误区整理如下向量就是有向线段解析：向量常用一条有向线段来表示，有向线段的长度表示向量的大小，箭头所指的方向表示向量的方向有向线段是向量的一种表示方法，不能说向量就是有向线段假设向量与相等，则有向线段AB与CD重合解析：长度相等且方向一样的向量叫做相等向量因此，假设，则有向线段AB与CD长度相等且方向一样，但它们可以不重合假设向量，则线段ABCD解析：方向一样或相反的非零向量叫做平行向量故由与平行，只能得到线段AB与CD方向一样或相反，它们可能平行也可能共线假设向量与共线，则线段AB与CD共线解析：平行向量也叫做共线向量，共线向量就是方向一样或相反的非零向量故由与共线，只能得到线段AB与CD方向一样或相反，它们可能平行也可能共线假设，则解析：由于零向量与任一向量平行，故当时，向量、不一定平行当且仅当、都为非零向量时，才有假设|，则或解析：由|，只能确定向量与的长度相等，不能确定其方向有何关系当与不共线时，或都不能成立单位向量都相等解析：长度等于一个长度单位的向量叫做单位向量，由于单位向量的方向不一定一样，故单位向量也不一定相等假设|0，则0解析：向量和实数是两个截然不同的概念，向量组成的集合与实数集合的交集是空集故假设|0，则，不能够说0平面向量数量积四大考点解析考点一. 考察概念型问题例1.、是三个非零向量，则以下命题中真命题的个数( ); 反向; = A.1 B.2 C.3 D.4评注：两向量同向时，夹角为0(或0)；而反向时，夹角为(或180)；两向量垂直时，夹角为90，因此当两向量共线时，夹角为0或，反过来假设两向量的夹角为0或，则两向量共线.考点二、考察求模问题例2.向量，假设不超过5，则k的取值围是_。评注：此题是模的逆向题，运用定义即可求参数的取值围。例3.1均为单位向量，它们的夹角为60,则 A. B. C. D. 42向量，向量，则的最大值是_。评注：模的问题采用平方法能使过程简化。考点三、考察求角问题例4.向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.练习一：数量积积的意义及运算1向量，为单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影与在方向上的投影分别为 图1练习目的：区别在方向上的投影与在方向上的投影，到达正确理解投影的概念2在边长为2的等边中，的值是 练习目的：结合图形，根据投影的意义，理解的几何意义3的夹角为，. (1) 求的值； (2) 当m为何值时，垂直？ 练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，到达稳固数量积的运算目的练习二：数量积的坐标运算、模及夹角4直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形中，假设，则的可能值个数是 1 2 3 4练习目的：结合向量垂直的等价关系，练习数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法5.向量，求1；2与的夹角练习目的：稳固平面向量的模以及夹角公式，类比向量的运算与实数多项式的运算的关系6设向量满足，的夹角为，假设向量与向量夹角为钝角，数的取值围。练习目的：综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特别注意特殊情况，才能不遗漏地正确解题 练习三平面向量的综合应用71中，是中的最大角，假设，则的形状为_.练习目的：体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状平面向量稳固检测1，其中(1)求证：与互相垂直；(2)假设与的长度相等，求的值(为非零的常数)2、是两个不共线的向量，且=cos，sin, =cos，sin 求证：+与垂直； 假设，=，且|+| =，求sin.3设(1)计算4 向量(cos*，sin*)，(cos，sin)，其中*0，(1)求及|；(2)假设f(*)2|的最小值为，求的值平面向量数量积四大考点解析考点一. 考察概念型问题例1.、是三个非零向量，则以下命题中真命题的个数( ); 反向; = A.1 B.2 C.3 D.4分析：需对以上四个命题逐一判断，依据有两条，一仍是向量数量积的定义；二是向量加法与减法的平行四边形法则.解：(1)=cos由及、为非零向量可得cos=1=0或，且以上各步均可逆，故命题(1)是真命题.(2)假设,反向，则、的夹有为，=cos=-且以上各步可逆，故命题(2)是真命题.(3)当时，将向量，的起点确定在同一点，则以向量，为邻边作平行四边形，则该平行四边形必为矩形，于是它的两对角线长相等，即有+-.反过来，假设+-,则以，为邻边的四边形为矩形，所以有，因此命题(3)是真命题.(4)当但与的夹角和与的夹角不等时，就有，反过来由也推不出.故(4)是假命题.综上所述，在四个命题中，前3个是真命题，而第4个是假命题，应选择(C).评注：两向量同向时，夹角为0(或0)；而反向时，夹角为(或180)；两向量垂直时，夹角为90，因此当两向量共线时，夹角为0或，反过来假设两向量的夹角为0或，则两向量共线.考点二、考察求模问题例2.向量，假设不超过5，则k的取值围是_。分析：假设则，或，对于求模有时还运用平方法。解：由，又，由模的定义，得：解得：，故填。评注：此题是模的逆向题，运用定义即可求参数的取值围。例3.1均为单位向量，它们的夹角为60,则 A. B. C. D. 42向量，向量，则的最大值是_。解：1所以，应选C。2由题意，知,又则的最大值为4。评注：模的问题采用平方法能使过程简化。考点三、考察求角问题例4.向量+3垂直于向量7-5，向量-4垂直于向量7-2，求向量与的夹角.分析：要求与的夹角，首先要求出与的夹角的余弦值，即要求出及、，而此题中很难求出、及，但由公式cos=可知，假设能把，及中的两个用另一个表示出来，即可求出余弦值，从而可求得与的夹角.解：设与的夹角为. +3垂直于向量7-5，-4垂直于7-2， 即 解之得 2=22=22=2cos= 因此a与b的夹角为.练习一：数量积积的意义及运算1向量，为单位向量，当它们之间的夹角为时，在方向上的投影与在方向上的投影分别为 1答案B 解答： 在方向上的投影在方向上的投影 练习目的：区别在方向上的投影与在方向上的投影，到达正确理解投影的概念图12在边长为2的等边中，的值是2答案解答：由平面向量数量积公式得：因此的值为练习目的：结合图形，根据投影的意义，理解的几何意义3的夹角为，. (1) 求的值(2) 当m为何值时，垂直？ 3解答 所以 (2) 由垂直，得，即 又因为的夹角为 所以 代入得因此当时，垂直. 练习目的：结合以前所学向量垂直的等价关系，类比数量积的运算与实数多项式的运算关系，到达稳固数量积的运算目的练习二：数量积的坐标运算、模及夹角4直角坐标系中，分别是与轴正方向同向的单位向量在直角三角形中，假设，则的可能值个数是 1 2 3 4 4答案B 提示：由题设 ，转化为坐标表示：，是直角三角形可以分为三种情况： 1得 2得3即，无解 故 的可能有两个值1，6，练习目的：结合向量垂直的等价关系，练习数量积的坐标运算，体会分类讨论的数学思想方法5.向量，求1；2与的夹角解答：由题设1由得即解得：所以因此=42设夹角为，又所以练习目的：稳固平面向量的模以及夹角公式，类比向量的运算与实数多项式的运算的关系6设向量满足，的夹角为，假设向量与向量夹角为钝角，数的取值围。6解答：由题设因为向量与向量夹角为钝角，所以由 解得另一方面，当夹角为时，也有，所以由向量与向量同方向得：因此解得：，由于，所以，得因此，当时，两向量的夹角为不合题意所以，假设向量与向量的夹角为锐角，实数的取值围是：练习目的：综合运用向量的数量积、夹角公式以及向量共线的条件解题，在解题时要特别注意特殊情况，才能不遗漏地正确解题 练习三平面向量的综合应用71中，是中的最大角，假设，则的形状为_.7答案：锐角三角形提示：由可得 ，即的夹角为钝角，所以，为锐角，因此为锐角三角形练习目的：体会应用平面向量的夹角公式判断三角形的形状平面向量稳固检测1，其中(1)求证：与互相垂直；证明：与互相垂直 (2)假设与的长度相等，求的值(为非零的常数)解析：；而，2、是两个不共线的向量，且=cos，sin, =cos，sin 求证：+与垂直； 假设，=，且|+| =，求sin.解：1=4cos，3sin， =3cos，4sin| = | =1又+=22=|2|2 = 0 + 2|+|2 =+2 = |2 +|2 +2= 2 + 2= 又=cos= 0 sin= sin = sincos =3设1计算解：4 向量(cos*，sin*)，(cos，sin)，其中*0，(1)求及|；(2)假设f(*)2|的最小值为，求的值解：(1)cos*cossin*sincos2*，|2cos*(2)f(*)2|cos2*4cos*2cos2*14cos*2(cos*)2221注意到*0，故cos*0，1，假设0，当cos*0时f(*)取最小值1。不合条件，舍去. 假设01，当cos*时，f(*)取最小值221，令221且01，解得， 假设1，当cos*1时，f(*)取最小值14， 令14且1，无解综上：为所求.
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