2016-2017年山东省青岛市胶州市普通高中高三（上）期末数学试卷（理科）（解析版）

2016-2017学年山东省青岛市胶州市普通高中高三（上）期末数学试卷（理科）一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1若集合A=x|x210，B=y|y=x2，xR，则AB=（）Ax|1x1Bx|x0Cx|0x1D2若等比数列an满足a1+a3=20，a2+a4=40，则公比q=（）A1B2C2D43设aR，则“a1”是“a21”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件4已知则向量与的夹角为（）ABCD5一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A3B4C2+4D3+46已知x，y满足约束条件，则z=2x3y的最大值为（）AB1C7D7m，n，l为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（）Aml，nl，则mnB，则Cm，n，则mnD，则8将函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在上为增函数，则的最大值为（）A2BC3D9已知双曲线=1（b0），过其右焦点F作图x2+y2=9的两条切线，切点记作C，D，双曲线的右顶点为E，CED=150，则双曲线的离心率为（）ABCD10定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x2b）满足f（x1）=，f（x2）=，则称函数f（x）是a，b上的“双中值函数”，已知函数f（x）=2x3x2+m是0，2a上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，1）二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11复数=12若（2x+）dx=3+ln2（a1），则a的值是13某程序框图如图所示，运行相应该程序，那么输出的k的值是14一个五位自然数；ai0，1，2，3，4，5，i=1，2，3，45，当且仅当a1a2a3，a3a4a5时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为15将两个直角三角形如图拼在一起，当E点在线段AB上移动时，若，当取最大值时，的值是三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16（12分）设mR，函数f（x）=cosx（msinxcosx）+cos2（x），且f（）=f（0）（）求f（x）的单调递减区间；（）设锐角ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且=，求f（A）的取值范围17（12分）为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与志愿者的工作内容有两项：到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；整理、打包募捐上来的衣物每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计20人30人50人（）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望18（12分）如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AC，CC1的中点，（1）证明：B1C平面A1BD；（2）求二面角DA1BE的余弦值19（12分）正项数列an的前n项和Sn满足：Sn2（1）求数列an的通项公式an；（2）令b，数列bn的前n项和为Tn证明：对于任意nN*，都有T20（13分）已知函数f（x）=lnx（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）求证：x（1，2），不等式恒成立21（14分）已知椭圆：=1（ab0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点；（1）求椭圆的方程；（2）设点A在椭圆上，点B在直线y=2上，且OAOB，求证：为定值；（3）设点C在椭圆上运动，OCOD，且点O到直线CD的距离为常数，求动点D的轨迹方程2016-2017学年山东省青岛市胶州市普通高中高三（上）期末数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共10个小题，每小题5分，共50分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1（2016秋胶州市期末）若集合A=x|x210，B=y|y=x2，xR，则AB=（）Ax|1x1Bx|x0Cx|0x1D【分析】求出A中不等式的解集确定出A，求出B中y的范围确定出B，找出两集合的交集即可【解答】解：由A中不等式变形得：x21，解得：1x1，即A=x|1x1，由B中y=x20，得到B=y|y0，则AB=x|0x1，故选：C【点评】此题考查了交集及其运算，熟练掌握交集的定义是解本题的关键2（2015山西三模）若等比数列an满足a1+a3=20，a2+a4=40，则公比q=（）A1B2C2D4【分析】直接利用等比数列的通项公式化简求解即可【解答】解：等比数列an满足a1+a3=20，a2+a4=40，可得=q=2故选：B【点评】本题考查等比数列的通项公式的应用，基本知识的考查3（2016上海）设aR，则“a1”是“a21”的（）A充分非必要条件B必要非充分条件C充要条件D既非充分也非必要条件【分析】根据不等式的关系，结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可【解答】解：由a21得a1或a1，即“a1”是“a21”的充分不必要条件，故选：A【点评】本题主要考查充分条件和必要条件的判断，利用不等式的关系结合充分条件和必要条件的定义是解决本题的关键，比较基础4（2013泰安一模）已知则向量与的夹角为（）ABCD【分析】由条件求得，再由，求得向量与的夹角【解答】解：由于，所以，所以，所以，故选B【点评】本题主要考查用两个向量的数量积表示两个向量的夹角，两个向量数量积的运算，属于中档题5（2017甘肃一模）一个几何体的三视图如图所示，则该几何体的表面积为（）A3B4C2+4D3+4【分析】由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，代入柱体表面积公式，可得答案【解答】解：由已知中的三视图可得，该几何体是以俯视图为底面的半圆柱，底面半径为1，高为2，故该几何体的表面积S=2+（2+）2=3+4，故选：D【点评】本题考查的知识点是柱体的体积和表面积，简单几何体的三视图，难度中档6（2016秋胶州市期末）已知x，y满足约束条件，则z=2x3y的最大值为（）AB1C7D【分析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x3y表示直线在y轴上的截距的3倍，只需求出可行域直线在y轴上的截距最小值的点，代入即可【解答】解：x，y满足约束条件，作图，易知可行域为一个三角形，当直线z=2x3y过点A（2，1）时，z最大是7故选：C【点评】本题考查简单线性规划的应用，作出可行域的求解的关键，考查计算能力7（2016秋湖南期末）m，n，l为不重合的直线，为不重合的平面，则下列说法正确的是（）Aml，nl，则mnB，则Cm，n，则mnD，则【分析】对4个命题分别进行判断，即可得出结论【解答】解：由ml，nl，在同一个平面可得mn，在空间不成立，故错误；若，则与可能平行与可能相交，故错误；m，n，则m、n可能平行、相交或异面，故错误；，利用平面与平面平行的性质与判定，可得，正确故选：D【点评】本题考查的知识点是利用空间直线与平面之间的位置关系及平面与平面之间的位置关系判断命题的真假，处理此类问题的关键是熟练掌握线面平行或垂直的判定方法和性质8（2016秋胶州市期末）将函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的图象，若y=g（x）在上为增函数，则的最大值为（）A2BC3D【分析】函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）的表达式，然后利用在 上为增函数，说明，利用周期公式，求出的不等式，得到的最大值【解答】解：函数的图象向左平移个单位，得到函数y=g（x）=3sinx的图象，y=g（x）在上为增函数，所以，即2，所以的最大值为2故选：A【点评】本题是基础题，考查由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式，注意函数的周期与单调增区间的关系，考查计算能力，常考题型，题目新颖9已知双曲线=1（b0），过其右焦点F作图x2+y2=9的两条切线，切点记作C，D，双曲线的右顶点为E，CED=150，则双曲线的离心率为（）ABCD【分析】根据已知条件，作出图形，结合图形，由双曲线的性质得到FOC=30，OCF=90，OC=a，OF=c，CF=c，利用勾股定理求出a，c间的等量关系，由此能求出双曲线的离心率【解答】解：如图，双曲线=1（b0），过其右焦点F作圆x2+y2=9的两条切线，切点记作C，D，双曲线的右顶点为E，CED=150，FOC=1802OEC=30，OCF=90，OC=a，OF=c，CF=c，a2+（c）2=c2，解得c=a，e=故选：D【点评】本题考查双曲线的离心率的求法，解题时要认真审题，注意数形结合思想的合理运用，是中档题10（2016江西校级二模）定义：如果函数f（x）在a，b上存在x1，x2（ax1x2b）满足f（x1）=，f（x2）=，则称函数f（x）是a，b上的“双中值函数”，已知函数f（x）=2x3x2+m是0，2a上“双中值函数”，则实数a的取值范围是（）A（，）B（，）C（，）D（，1）【分析】根据定义得出=8a22a，相当于6x22x=8a22a在0，2a上有两个根，利用二次函数的性质解出a的范围即可【解答】解：f（x）=2x3x2+m是0，2a上的“双中值函数”，=8a22a，f（x）=6x22x，6x22x=8a22a在0，2a上有两个根，令g（x）=6x22x8a2+2a，=4+24（8a22a）0，g（0）0，g（2a）0，2a，a故选A【点评】考查了新定义类型题的解题方法，重点是对新定义性质的理解二、填空题（每题5分，满分25分，将答案填在答题纸上）11（2013房山区一模）复数=1+i【分析】复数的分子、分母同乘分母的共轭复数，然后化简为a+bi（abR）的形式【解答】解：复数=故答案为：1+i【点评】本题考查复数代数形式的混合运算，是基础题12（2015齐齐哈尔二模）若（2x+）dx=3+ln2（a1），则a的值是2【分析】根据题意找出2x+的原函数，然后根据积分运算法则，两边进行计算，求出a值；【解答】解：=（x2+lnx） =a2+lna（1+ln1）=3+ln2，a1，a2+lna=4+ln2=22+ln2，解得a=2，故答案为：2；【点评】此题主要考查定积分的计算，解题的关键是找到被积函数的原函数，此题是一道基础题13（2016秋胶州市期末）某程序框图如图所示，运行相应该程序，那么输出的k的值是4【分析】模拟执行程序框图，依次写出每次循环得到的S，k的值，当S=2059时不满足条件S100，退出循环，输出k的值为4【解答】解：模拟执行程序框图，可得k=0，S=0满足条件S100，S=1，k=1满足条件S100，S=3，k=2满足条件S100，S=11，k=3满足条件S100，S=2059，k=4不满足条件S100，退出循环，输出k的值为4故答案为：4【点评】本题主要考查了循环结构的程序框图，正确依次写出每次循环得到的S，k的值是解题的关键，属于基础题14（2016秋胶州市期末）一个五位自然数；ai0，1，2，3，4，5，i=1，2，3，45，当且仅当a1a2a3，a3a4a5时称为“凹数”（如32014，53134等），则满足条件的五位自然数中“凹数”的个数为146【分析】本题是一个分类计数问题，数字中a3的值最小是0，最大是3，因此需要把a3的值进行讨论，两边选出数字就可以，没有排列，写出所有的结果相加【解答】解：由题意知本题是一个分类计数问题，数字中a3的值最小是0，最大是3，因此需要把a3的值进行讨论，当a3=0时，前面两位数字可以从其余5个数中选，有C52=10种结果，后面两位需要从其余5个数中选，有C52=10种结果，共有1010=100种结果，当a3=1时，前面两位数字可以从其余4个数中选，有6种结果，后面两位需要从其余4个数中选，有6种结果，共有36种结果，当a3=2时，前面两位数字可以从其余3个数中选，有3种结果，后面两位需要从其余4个数中选，有3种结果，共有9种结果，当a3=3时，前面两位数字可以从其余2个数中选，有1种结果，后面两位需要从其余2个数中选，有1种结果，共有1种结果，根据分类计数原理知共有100+36+9+1=146故答案为：146【点评】本题考查分类计数问题，考查利用列举得到所有的满足条件的结果数，本题要注意在确定中间一个数字后，两边的数字只要选出数字，顺序就自然形成，不用排列15（2016秋胶州市期末）将两个直角三角形如图拼在一起，当E点在线段AB上移动时，若，当取最大值时，的值是2【分析】由题意知，当取最大值时，点E与点B重合ABC中，由余弦定理求得BC 的值，根据=，=，求出 和 的值，从而得到的值【解答】解：如图所示：设AMBN，且 AM=BN，由题意知，当取最大值时，点E与点B重合ABC中，由余弦定理求得BC=4又，=，=，=2，故答案为：2【点评】本题考查余弦定理，两个向量的加减法的法则，以及其几何意义，判断当取最大值时，点E与点B重合，是解题的突破口，求出 和 的值，是解题的关键三、解答题（本大题共6小题，共75分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）16（12分）（2015福州校级模拟）设mR，函数f（x）=cosx（msinxcosx）+cos2（x），且f（）=f（0）（）求f（x）的单调递减区间；（）设锐角ABC的内角A、B、C所对的边分别为a、b、c，且=，求f（A）的取值范围【分析】（）现根据题意求得m，进而化简函数解析式，利用正弦函数的图象与性质确定单调减区间（）利用余弦定理和正弦定理对已知等式化简整理求得cosB，进而求得B，确定A的范围，则f（A）的取值范围可得【解答】解：（I）f（x）=cosx（msinxcosx）+cos2（x）=sin2xcos2x，由f（）=f（0）得：m+=1，求得m=2，f（x）=sin2xcos2x=2sin（2x），由2k+2x2k+得：k+xk+，kZf（x）的单调递减区间为：k+，k+，kZ（II）=，由余弦定理得：=，即整理得2acosBccosB=bcosC，由正弦定理得：2sinAcosBsinCcosB=sinBcosC，2sinAcosB=sin（B+C）=sinA，cosB=，B=ABC锐角三角形，A，2A，f（A）=2sin（2A）的取值范围为（1，2【点评】本题主要考查了三角函数图象与性质，正弦定理和余弦定理的运用考查了学生综合推理能力和一定的运算能力17（12分）（2016河南模拟）为了让贫困地区的孩子们过一个温暖的冬天，某校阳光志愿者社团组织“这个冬天不再冷”冬衣募捐活动，共有50名志愿者参与志愿者的工作内容有两项：到各班做宣传，倡议同学们积极捐献冬衣；整理、打包募捐上来的衣物每位志愿者根据自身实际情况，只参与其中的某一项工作相关统计数据如下表所示：到班级宣传整理、打包衣物总计20人30人50人（）如果用分层抽样的方法从参与两项工作的志愿者中抽取5人，再从这5人中选2人，那么“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率是多少？（）若参与班级宣传的志愿者中有12名男生，8名女生，从中选出2名志愿者，用X表示所选志愿者中的女生人数，写出随机变量X的分布列及数学期望【分析】（）由分层抽样方法得参与到班级宣传的志愿者被抽中的有2人，参与整理、打包衣物者被抽中的有3人，由此能求出至少有1人是参与班级宣传的志愿者的概率（）女生志愿者人数X=0，1，2，分别求出其概率，由此能求出随机变量X的分布列及数学期望【解答】（）解：用分层抽样方法，每个人抽中的概率是，参与到班级宣传的志愿者被抽中的有20=2人，参与整理、打包衣物者被抽中的有30=3人，故“至少有1人是参与班级宣传的志愿者”的概率为：P=1=（）解：女生志愿者人数X=0，1，2，则，X的分布列为： X 0 1 2 PX的数学期望EX=【点评】本题考查概率的求法，考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法，是中档题，解题时要认真审题，在历年高考中都是必考题型18（12分）（2016秋胶州市期末）如图，侧棱垂直于底面的三棱柱ABCA1B1C1中，D，E分别是AC，CC1的中点，（1）证明：B1C平面A1BD；（2）求二面角DA1BE的余弦值【分析】（1）连接B1A与A1B交于点F，连接DF，只需证明DFB1C即可，（2）以点B为坐标原点建立空间坐标系，求出两个面的法向量即可【解答】解：（）连接B1A与A1B交于点F，连接DF因为AA1B1B为平行四边形，所以F为AB1的中点，又D为AC的中点，所以DFB1C，因为DF平面A1BD，B1C平面A1BD所以B1C平面A1BD（2），所以AB2+BC2=AC2所以ABBC，又因为BB1底面ABC，所以以点B为坐标原点建立空间坐标系如图所示设AB=BC=AA1=1，则所以B（0，0，0），C（1，0，0），A（0，1，0），设平面A1BD的法向量是，由令x1=1，得y1=1，z1=1，所以，设平面A1BE的法向量是，由令x2=1，得y1=2，z2=2，所以设二面角DA1BE的平面角为，则所以二面角DA1BE的余弦值为【点评】本题考查了空间线面位置关系，空间向量的应用属于中档题19（12分）（2013江西）正项数列an的前n项和Sn满足：Sn2（1）求数列an的通项公式an；（2）令b，数列bn的前n项和为Tn证明：对于任意nN*，都有T【分析】（I）由Sn2可求sn，然后利用a1=s1，n2时，an=snsn1可求an（II）由b=，利用裂项求和可求Tn，利用放缩法即可证明【解答】解：（I）由Sn2可得，（Sn+1）=0正项数列an，Sn0Sn=n2+n于是a1=S1=2n2时，an=SnSn1=n2+n（n1）2（n1）=2n，而n=1时也适合an=2n（II）证明：由b=【点评】本题主要考查了递推公式a1=s1，n2时，an=snsn1在求解数列的通项公式中的应用及数列的裂项求和方法的应用20（13分）（2016秋胶州市期末）已知函数f（x）=lnx（aR）（）求函数f（x）的单调区间；（）求证：x（1，2），不等式恒成立【分析】（）函数的定义域是（0，+），求出导数，分a0和a0两种情况讨论导数的符号，得到单调区间（）将要证的不等式等价转化为F（x）0在区间（1，2）上恒成立，利用导数求出F（x）的最小值，只要最小值大于0即可【解答】解：（）f（x）的定义域为（0，+），若a0，f（x）0，f（x）在（0，+）上单调递增，若a0，当x（0，a）时，f（x）0，f（x）在（0，a）单调递减当x（a，+）时，f（x）0，f（x）在（a，+）单调递增（）证明：1x2，lnx0，x10，只需证，即证，即证（x+1）lnx2（x1）0，令F（x）=（x+1）lnx2（x1），则，由（）知，当a=1时fmin（x）=f（1）=0，f（x）f（1），即F（x）0，则F（x）在（1，2）上单调递增，F（x）F（1）=0，故x（1，2），不等式恒成立【点评】本题考查利用导数求函数的单调区间即单调性，函数的零点及函数恒成立问题，要证F（x）0，只要证F（x）的最小值大于021（14分）（2016闵行区二模）已知椭圆：=1（ab0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点；（1）求椭圆的方程；（2）设点A在椭圆上，点B在直线y=2上，且OAOB，求证：为定值；（3）设点C在椭圆上运动，OCOD，且点O到直线CD的距离为常数，求动点D的轨迹方程【分析】（1）由椭圆的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，求出a，b，由此能求出椭圆的方程（2）设A（x0，y0），则OB的方程x0x+y0y=0，由y=2，得B（，2），由此能证明+为定值（3）设C（x0，y0），D（x，y），由OCOD，得x0x+y0y=0，又C点在椭圆上，得：，从而，由此能求出D点轨迹方程【解答】解：（1）椭圆：+=1（ab0）的右焦点与短轴两端点构成一个面积为2的等腰直角三角形，O为坐标原点，b=c=，=2，椭圆的方程为=1证明：（2）设A（x0，y0），则OB的方程x0x+y0y=0，由y=2，得B（，2），+=+=，+为定值解：（3）设C（x0，y0），D（x，y），由OCOD，得x0x+y0y=0，又C点在椭圆上，得：，联立，得：，由OCOD，得OCOD=CD，OC2OD2=3（OC2+OD2），将代入得：=+=+=，化简，得D点轨迹为【点评】本题考查椭圆方程的求法，考查代数式和为定值的证明，考查点的轨迹方程的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质及椭圆与直线的位置关系的合理运用