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第二篇第10节 一、选择题1(20xx四川广元二诊)如图所示是某一容器的三视图，现向容器中匀速注水，则容器中水面的高度h随时间t变化的函数图象可能是()解析：由三视图知容器为锥形漏斗，在向容器中匀速注水过程中，水升高得越来越慢，高度h随时间t的变化率越来越小，表现在切线上就是切线的斜率在减小，故选B.答案：B2(20xx广东惠州模拟)设P为曲线C：yx22x3上的点，且曲线C在点P处切线倾斜角的取值范围为0，则点P横坐标的取值范围为()A1， B1,0C0,1 D.，1解析：设P(x0，y0)，P点处切线倾斜角为，则0tan 1，由f(x)x22x3，得f(x)2x2，令02x021，得1x0.故选A.答案：A3(20xx东北三省三校联考)已知函数f(x)1，g(x)aln x，若在x处函数f(x)与g(x)的图象的切线平行，则实数a的值为()A. B.C1 D4解析：在x处两函数图象的切线平行，即两个函数的导数值相等由f(x)，g(x)，所以，即14a，得a.答案：A4函数f(x)sin2的导数是()Af(x)2sinBf(x)4sinCf(x)sinDf(x)2sin解析：由于f(x)sin2cos，f(x)4sin2sin，故选D.答案：D5已知函数f(x)xln x，若直线l过点(0，1)，并且与曲线yf(x)相切，则直线l的方程为()Axy10 Bxy10Cxy10 Dxy10解析：点(0，1)不在f(x)xln x上，设切点为(x0，y0)又f(x)1ln x，解得x01，y00.切点为(1,0)，f(1)1ln 11.直线l的方程为yx1，即xy10.故选B.答案：B6(20xx河北保定一模)设函数f(x)|sin x|的图象与直线ykx(k0)有且仅有三个公共点，这三个公共点横坐标的最大值为，则等于()Acos Btan Csin D解析：如图，若直线与函数有且仅有三个公共点，则直线ykx与曲线ysin x(x，2)相切，设切点为(，sin )，则sin k且kcos ，所以tan .故选B.答案：B二、填空题7(20xx江西南昌模拟)已知函数f(x)sin xcos x，且f(x)2f(x)，f(x)是f(x)的导函数，则_.解析：f(x)cos xsin x，由f(x)2f(x)得cos x3sin x，即tan x.答案：8(20xx广东江门调研)曲线yln(2x)上任意一点P到直线y2x的距离的最小值是_解析：如图，所求最小值即曲线上斜率为2的切线与y2x两平行线间的距离，也即切点到直线y2x的距离由yln x，则y2，得x，yln(2)0，即与直线y2x平行的曲线yln(2x)的切线的切点坐标是(，0)，yln(2x)上任意一点P到直线y2x的距离的最小值，即.答案：9(20xx山师大附中期末)已知函数f(x)的导函数为f(x)，且满足f(x)2xf(1)ln x，则f(x)在点M(1，f(1)处的切线方程为_解析：f(x)2f(1)，令x1得f(1)2f(1)1，即f(1)1，此时f(x)2xln x，f(1)2，故所求的切线方程为y2(x1)，即xy10.答案：xy1010.定义在R上的函数f(x)满足f(4)1，f(x)为f(x)的导函数，已知yf(x)的图象如图所示，若两个正数a、b满足f(2ab)1，则的取值范围是_解析：观察图象，可知f(x)在(，0上是减函数，在0，)上是增函数，由f(2ab)1f(4)，可得画出以(a，b)为坐标的可行域(如图阴影部分所示)，而可看成(a，b)与点P(1，1)连线的斜率，可求得选项C为所求答案：(，5)三、解答题11设函数f(x)ax(a，bZ)，曲线yf(x)在点(2，f(2)处的切线方程为y3.(1)求f(x)的解析式；(2)证明：曲线yf(x)上任一点的切线与直线x1和直线yx所围三角形的面积为定值，并求出此定值解：(1)f(x)a，于是解得或因a，bZ，故f(x)x.(2)在曲线上任取一点x0，x0.由f(x0)1知，过此点的切线方程为y1(xx0)令x1得y，切线与直线x1交点为1，.令yx得y2x01，切线与直线yx交点为(2x01,2x01)直线x1与直线yx的交点为(1,1)从而所围三角形的面积为1|2x011|2x02|2.所以，所围三角形的面积为定值2.12(20xx浙江永嘉县联合体第二学期联考)已知点M是曲线yx32x23x1上任意一点，曲线在M处的切线为l，求：(1)斜率最小的切线方程；(2)切线l的倾斜角的取值范围解：(1)yx24x3(x2)211，当x2时，y1，y，斜率最小的切线过，斜率k1，切线方程为xy0.(2)由(1)得k1，tan 1，.
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