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10.2排列与组合 知识梳理1排列与组合的概念2排列数与组合数(1)排列数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同排列的个数叫做从n个不同元素中取出m个元素的排列数，用A表示(2)组合数的定义：从n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数，叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数，用C表示3排列数、组合数的公式及性质公式(1)An(n1)(n2)(nm1)(2)C性质(1)0！1；An!(2)CC；CCC4常用结论(1)A(nm1)A；AA；AnA.(2)nAAA；AAmA.(3)1！22！33！nn！(n1)！1.(4)CC；CC；CC.(5)kCnC；CCCCC.诊断自测1概念思辨(1)从1,2,3，9任取两个不同的数，分别填入和式中求和有多少个不同的结果？此题属于排列问题()(2)从2,4,6,8任取两个数，分别作对数“log”的底数、真数，有多少个不同的对数值？此题属于排列问题()(3)甲、乙、丙、丁四个好朋友相互发微信，共有多少条微信？此题属于组合问题()(4)若组合式CC，则xm成立()答案(1)(2)(3)(4) 2教材衍化(1)(选修A23P18例3)6名同学排成一排，其中甲、乙两人必须排在一起的不同排法有()A720种 B360种 C240种 D120种答案C解析先把甲、乙两人“捆绑”在一起看成一个人，因而有A种不同排法，再把两人“松绑”，两人之间有A种排法，因此所求不同排法总数为AA240.故选C.(2)(选修A23P28A组T17)从4名男同学和3名女同学中选出3名参加某项活动，则男女生都有的选法种数是()A18 B24 C30 D36答案C解析解法一：选出的3人中有2名男同学1名女同学的方法有CC18种，选出的3人中有1名男同学2名女同学的方法有CC12种，故3名学生中男女生都有的选法有CCCC30种故选C.解法二：从7名同学中任选3名的方法数，再减去所选3名同学全是男生或全是女生的方法数，即CCC30.故选C.3小题热身(1)某学校要召开期末考试总结表彰会，准备从甲、乙等7名受表彰的学生中选派4人发言，要求甲、乙2名同学至少有1人参加，那么不同的发言种数为()A840 B720 C600 D30答案B解析由题知可分两种情况第一种：甲、乙2人中恰有1人参加，方法种数为CCA480，第二种：甲、乙2人同时参加，方法种数为CA240.根据分类计数原理，不同的发言种数为480240720.故选B.(2)从1,3,5,7中任取2个数字，从0,2,4,6,8中任取2个数字，组成没有重复数字的四位数，其中能被5整除的四位数共有_个答案300解析符合条件的四位数的个位必须是0或5，但0不能排在首位，故0是其中的特殊元素，应优先安排按照0排在个位，0排在十、百位和不含0为标准分为三类：0排在个位能被5整除的四位数有A(CC)A144个；0排在十、百位，但5必须排在个位有AA(CC)A48个；不含0，但5必须排在个位有A (CC)A108个由分类加法计数原理得所求四位数共有300个题型1排列问题7位同学站成一排：(1)其中甲站在中间的位置，共有多少种不同的排法？(2)甲、乙只能站在两端的排法共有多少种？(3)甲不排头、乙不排尾的排法共有多少种？(4)甲、乙两同学必须相邻的排法共有多少种？(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有多少种？(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有多少种？(7)甲总在乙的前面的排法有多少种？解(1)其中甲站在中间的位置，共有A720种不同的排法(2)甲、乙只能站在两端的排法共有AA240种(3)7位同学站成一排，共有A种不同的排法；甲排头，共有A种不同的排法；乙排尾，共有A种不同的排法；甲排头且乙排尾，共有A种不同的排法；故共有A2AA3720种不同的排法(4)先将甲、乙两位同学“捆绑”在一起看成一个元素与其余的5个元素(同学)一起进行全排列有A种方法；再将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AA1440种(5)甲、乙两同学必须相邻，而且丙不能站在排头和排尾的排法有：解法一：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的5个元素中选取2个元素放在排头和排尾，有A种方法；将剩下的4个元素进行全排列有A种方法；最后将甲、乙两个同学“松绑”进行排列有A种方法，所以这样的排法一共有AAA960种方法解法二：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素若丙站在排头或排尾有2A种方法，所以丙不能站在排头和排尾的排法有(A2A)A960种方法解法三：将甲、乙两同学“捆绑”在一起看成一个元素，此时一共有6个元素，因为丙不能站在排头和排尾，所以可以从其余的四个位置选择共有A种方法再将其余的5个元素进行全排列共有A种方法，最后将甲、乙两同学“松绑”，所以这样的排法一共有AAA960种方法(6)甲、乙两同学不能相邻的排法共有：解法一：(间接法)AAA3600种解法二：(插空法)先将其余五个同学排好有A种方法，此时他们留下六个位置(就称为“空”吧)，再将甲、乙同学分别插入这六个位置(空)有A种方法，所以一共有：AA3600种(7)甲总在乙的前面则顺序一定，共有2520种结论探究1若将本例结论变为“甲、乙、丙三个同学都不能相邻”，则有多少种不同的排法？解先将其余四个同学排好，有A种方法，此时他们隔开了五个空位，再从中选出三个空位安排甲、乙、丙，故共有AA1440种方法结论探究2若甲、乙、丙三位同学不都相邻，则有多少种不同的排法？解7位同学站成一排，共有A种不同的排法；甲、乙和丙三个同学都相邻的排法共有AA720种故共有AAA4320种不同的排法结论探究3(1)若将7人站成两排，前排3人，后排4人，共有多少种不同的排法？(2)若现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加1人，后排加2人，其他人保持相对位置不变，则有多少种不同的加入方法？解(1)站成两排(前3后4)，共有A5040种不同的排法(2)第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种，第二步，前排3人形成了4个空，任选一个空加一人，有4种，第三步，后排4人形成了5个空，任选一个空加一人有5种，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种，根据分步计数原理有3456360种方法方法技巧1求解有限制条件排列问题的主要方法2.解决有限制条件排列问题的策略(1)根据特殊元素(位置)优先安排进行分步，即先安排特殊元素或特殊位置(2)根据特殊元素当选数量或特殊位置由谁来占进行分类提醒：(1)分类要全，以免遗漏(2)插空时要数清插空的个数，捆绑时要注意捆绑后元素的个数及要注意相邻元素的排列数(3)用间接法求解时，事件的反面数情况要准确冲关针对训练(2018北京西城区质检)把5件不同产品摆成一排若产品A与产品B相邻，且产品A与产品C不相邻，则不同的摆法有_种答案36解析记其余两种产品为D，E，将相邻的A，B视为一个元素，先与D，E排列，有AA种方法；再将C插入，仅有3个空位可选，共有AAC26336种不同的摆法题型2组合问题 某市工商局对35种商品进行抽样检查，已知其中有15种假货现从35种商品中选取3种(1)其中某一种假货必须在内，不同的取法有多少种？(2)其中某一种假货不能在内，不同的取法有多少种？(3)恰有2种假货在内，不同的取法有多少种？(4)至少有2种假货在内，不同的取法有多少种？(5)至多有2种假货在内，不同的取法有多少种？解(1)从余下的34种商品中，选取2种有C561种，某一种假货必须在内的不同取法有561种(2)从34种可选商品中，选取3种，有C5984种某一种假货不能在内的不同取法有5984种(3)从20种真货中选取1件，从15种假货中选取2件有CC2100种恰有2种假货在内的不同的取法有2100种(4)选取2种假货有CC种，选取3件假货有C种，共有选取方式CCC21004552555种至少有2种假货在内的不同的取法有2555种(5)选取3件的总数为C，因此共有选取方式CC65454556090种至多有2种假货在内的不同的取法有6090种方法技巧1组合问题的常见题型及解题思路(1)常见题型：一般有选派问题、抽样问题、图形问题、集合问题、分组问题等(2)解题思路：分清问题是否为组合问题；对较复杂的组合问题，要搞清是“分类”还是“分步”，一般是先整体分类，然后局部分步，将复杂问题通过两个原理化归为简单问题见本例(4)2两类带有附加条件的组合问题的解法(1)“含有”或“不含有”某些元素的题型：若“含有”，则先将这些元素取出，再由另外元素补足；若“不含有”，则先将这些元素剔除，再从剩下的元素中去选取(2)“至少”或“最多”含有几个元素的题型：解这类题目要重视“至少”与“最多”这两个关键词的含义，谨防重复与漏解用直接法或间接法都可以求解，通常用直接法分类复杂时，用间接法求解见本例(2)，(5)冲关针对训练(2018武汉模拟)若从1,2,3，9这9个整数中同时取4个不同的数，其和为偶数，则不同的取法共有()A60种 B63种 C65种 D66种答案D解析共有4个不同的偶数和5个不同的奇数，要使和为偶数，则4个数全为奇数，或全为偶数，或2个奇数和2个偶数，共有不同的取法有CCCC66(种)故选D.题型3排列组合的综合应用角度1排列组合的简单应用有五张卡片，它们的正、反面分别写着0与1,2与3,4与5,6与7,8与9，将其中任意三张并排放在一起组成三位数，共可组成多少个不同的三位数？解解法一：(直接法)从0与1两个特殊值着眼，可分三类：取0不取1，可先从另四张卡片中选一张作百位，有C种选法；0可在后两位，有C种方法；最后剩下的三张中任取一张，有C种方法；又除含0的那张外，其他两张都有正面或反面两种可能，故此时可得不同的三位数有CCC22个取1不取0，同上分析可得不同的三位数C22A个0和1都不取，有不同的三位数C23A个综上所述，共有不同的三位数：CCC22C22AC23A432个解法二：(间接法)任取三张卡片可以组成不同的三位数C23A个，其中0在百位的有C22A个，这是不合题意的，故共有不同的三位数：C23AC22A432个角度2分组分配问题国家教育部为了发展贫困地区教育，在全国重点师范大学免费培养教育专业师范生，毕业后要分到相应的地区任教现有6个免费培养的教育专业师范毕业生要平均分到3所学校去任教，有_种不同的分派方法答案90解析先把6个毕业生平均分成3组，有种方法，再将3组毕业生分到3所学校，有A6种方法，故6个毕业生平均分到3所学校，共有A90种分派方法方法技巧1解决简单的排列与组合的综合问题的思路(1)根据附加条件将要完成事件先分类(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列(3)由分类加法计数原理计算总数，见角度1典例2分组、分配问题的求解策略(1)对不同元素的分配问题对于整体均分，解题时要注意分组后，不管它们的顺序如何，都是一种情况，所以分组后一定要除以A(n为均分的组数)，避免重复计数对于部分均分，解题时注意重复的次数是均匀分组的阶乘数，即若有m组元素个数相等，则分组时应除以m！，分组过程中有几个这样的均匀分组，就要除以几个这样的全排列数见角度2典例对于不等分组，只需先分组，后排列，注意分组时任何组中元素的个数都不相等，所以不需要除以全排列数(2)对于相同元素的“分配”问题，常用方法是采用“隔板法”冲关针对训练将2名教师，4名学生分成2个小组，分别安排到甲、乙两地参加社会实践活动，每个小组由1名教师和2名学生组成，不同的安排方案共有()A12种 B10种 C9种 D8种答案A解析2名教师各在1个小组，给其中1名教师选2名学生，有C种选法，另2名学生分配给另1名教师，然后将2个小组安排到甲、乙两地，有A种方案，故不同的安排方案共有CA12种，故选A.1(2017全国卷)安排3名志愿者完成4项工作，每人至少完成1项，每项工作由1人完成，则不同的安排方式共有()A12种 B18种 C24种 D36种答案D解析由题意可得其中1人必须完成2项工作，其他2人各完成1项工作，可得安排方式为CCA36(种)，或列式为CCC3236(种)故选D.2(2018豫南九校联考)某医院拟派2名内科医生、3名外科医生和3名护士共8人组成两个医疗分队，平均分到甲、乙两个村进行义务巡诊，其中每个分队都必须有内科医生、外科医生和护士，则不同的分配方案有()A72种 B36种 C24种 D18种答案B解析A(CCCC)36(种)故选B.3(2017东北三省四市联考)甲、乙两人要在一排8个空座上就坐，若要求甲、乙两人每人的两旁都有空座，则坐法有()A10种 B16种 C20种 D24种答案C解析一排共有8个座位，现有两人就坐，故有6个空座要求每人的两旁均有空座，在6个空座的中间5个空中插入2个座位让两人就坐，即有A20(种)坐法故选C.4(2017浙江高考)从6男2女共8名学生中选出队长1人，副队长1人，普通队员2人组成4人服务队，要求服务队中至少有1名女生，共有_种不同的选法(用数字作答)答案660解析只有1名女生时，先选1名女生，有C种方法；再选3名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法由分步乘法计数原理，知共有CCA480(种)选法有2名女生时，再选2名男生，有C种方法；然后排队长、副队长位置，有A种方法由分步乘法计数原理，知共有CA180(种)选法所以依据分类加法计数原理知共有480180660(种)不同的选法 基础送分 提速狂刷练一、选择题1(2018泉州模拟)将甲、乙等5名交警分配到三个不同路口疏导交通，每个路口至少一人，且甲、乙在同一路口的分配方案共有()A18种 B24种 C36种 D72种答案C解析分两类，甲乙在一路口，其余3人中也有两人在一路口，则有CA种当有3人在一路口时只能是甲、乙和其余三人中一个在一起，则有CA，所以共有CACA36种，故选C.2某学校周五安排有语文、数学、英语、物理、化学、体育六节课，要求体育不排在第一节课，数学不排在第四节课，则这天课表的不同排法种数为()A600 B288 C480 D504答案D解析对六节课进行全排列有A种方法，体育课排在第一节课有A种方法，数学课排在第四节课也有A种方法，体育课排在第一节课且数学课排在第四节课有A种方法，由排除法得这天课表的不同排法种数为A2AA504.故选D.3某班级举办的演讲比赛中，共有5位选手参加，其中3位女生、2位男生如果2位男生不能连续出场，且女生甲不能排在第一个，那么出场顺序的排法种数为()A90 B60 C48 D36答案B解析先排3位女生，3位女生间及两端有4个空，从4个空中选2个排男生，共有AA72种排法若女生甲排在第一个，则3位女生间及一端有3个空，从3个空中选2个排男生，有AA12种排法，所以满足条件的排法种数为721260.故选B.4(2018山西质量监测)A，B，C，D，E，F六人围坐在一张圆桌周围开会，A是会议的中心发言人，必须坐最北面的椅子，B，C二人必须坐相邻的两把椅子，其余三人坐剩余的三把椅子，则不同的座次有()A60种 B48种 C30种 D24种答案B解析由题意知，不同的座次有AA48(种)，故选B.5(2018福建福州八中模拟)甲、乙等5人在9月3号参加了纪念抗日战争胜利70周年阅兵庆典后，在天安门广场排成一排拍照留念，甲和乙必须相邻且都不站在两端的排法有()A12种 B24种 C48种 D120种答案B解析甲乙相邻，将甲乙捆绑在一起看作一个元素，共有AA种排法，甲乙相邻且在两端有CAA种排法，故甲乙相邻且都不站在两端的排法有AACAA24(种)故选B.6(2017黔江模拟)从0,2中选一个数字，从1,3,5中选两个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数的个数为()A24 B18 C12 D6答案B解析根据所选偶数为0和2分类讨论求解当选数字0时，再从1,3,5中取2个数字排在个位与百位排成的三位奇数有CA6个当选数字2时，再从1,3,5中取2个数字有C种方法然后将选中的两个奇数数字选一个排在个位，其余2个数字全排列排成的三位奇数有CCA12个由分类加法计数原理，共有18个符合条件的三位奇数故选B.7(2018河北衡水模拟)某大学的8名同学准备拼车去旅游，其中大一、大二、大三、大四每个年级各两名，分乘甲、乙两辆汽车每辆车限坐4名同学(乘同一辆车的4名同学不考虑位置)，其中大一的孪生姐妹需乘同一辆车，则乘坐甲车的4名同学中恰有2名同学是来自于同一年级的乘坐方式共有()A24种 B18种 C48种 D36种答案A解析若大一的孪生姐妹乘坐甲车，则此时甲车中的另外2人分别来自不同年级，有CCC12种，若大一的孪生姐妹不乘坐甲车，则有2名同学来自同一个年级，另外2名分别来自不同年级，有CCC12种，所以共有24种乘坐方式，故选A.8在航天员进行的一项太空实验中，先后要实施6个程序，其中程序A只能出现在第一步或最后一步，程序B和C实施时必须相邻，请问实验顺序的编排方法共有()A34种 B48种 C96种 D144种答案C解析由题意知程序A只能出现在第一步或最后一步，从第一个位置和最后一个位置中选一个位置把A排列，有A2种结果程序B和C在实施时必须相邻，把B和C看作一个元素，同除A外的3个元素排列，注意B和C之间还有一个排列，共有AA48种结果根据分步计数原理知共有24896种结果，故选C.9(2018福建漳州八校联考)若无重复数字的三位数满足条件：个位数字与十位数字之和为奇数，所有数位上的数字和为偶数，则这样的三位数的个数是()A540 B480 C360 D200答案D解析由个位数字与十位数字之和为奇数知个位数字、十位数字1奇1偶，有CCA50种排法；所有数位上的数字和为偶数，则百位数字是奇数，有C4种满足题意的选法，故满足题意的三位数共有CCCA200(个)故选D.10(2018赣州摸底)甲、乙、丙3名教师安排在10月1日至5日的5天中值班，要求每人值班一天且每天至多安排一人，其中甲不在10月1日值班且丙不在10月5日值班，则不同的安排方法有()A36种 B39种 C42种 D45种答案B解析当甲安排在10月2日值班时，则丙可以安排在1,3,4日中某一天，乙可以在剩余的3日中选一天，有CC9种排法，同理可得甲安排在10月3日，4日中的一天值班时，有CCCC18种排法；当甲安排在10月5日值班时，有A12种排法，所以不同的安排方法有9181239种，故选B.二、填空题11(2017江西八所重点中学联合模拟)摄像师要对已坐定一排照像的5位小朋友的座位顺序进行调整，要求其中恰有2人座位不调整，则不同的调整方案的种数为_(用数字作答)答案20解析从5人中任选3人有C种，将3人位置全部进行调整，有CCC种，故有NCCCC20种调整方案12(2018江西宜春模拟)将标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，则一共有_种放法答案150解析标号为1,2,3,4,5的五个球放入3个不同的盒子中，每个盒子至少有一个球，故可分成(3,1,1)和(2,2,1)两组，共有C25种分法，再分配到三个不同的盒子中，共有25A150种放法13(2017河南天一大联考)如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则涂色方法有_种答案720解析由题意知2,3,4,5的颜色都不相同，先涂1，有6种方法，再涂2,3,4,5，有A种方法，故一共有6A720种14两个家庭的4个大人与2个小孩一起到动物园游玩，购票后排队依次入园为安全起见，首尾一定要排2个爸爸，另外，2个小孩一定要排在一起，则这6人入园顺序的排法种数为_答案24解析第一步：将2个爸爸排在两端，有2种排法；第二步：将2个小孩视为一人与2个妈妈任意排在中间的三个位置上，有A种排法；第三步：将2个小孩排序有2种排法故总的排法有22A24种三、解答题15某市委从组织机关10名科员中选3人担任驻村第一书记，求甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数？解由于丙不入选，相当于从9人中选派3人解法一：(直接法)甲、乙两人均入选，有CC种选法，甲、乙两人只有1人入选，有CC种选法由分类加法计数原理，共有CCCC49种选法解法二：(间接法)从9人中选3人有C种选法，其中甲、乙均不入选有C种选法满足条件的选派方法有CC843549种16(2018保定调研)已知集合M1,2,3,4,5,6，集合A，B，C为M的非空子集，若xA，yB，zC，xyz 恒成立，则称“ABC”为集合M的一个“子集串”，求集合M的“子集串”共有多少个解由题意可先分类，再分步： 第一类，将6个元素全部取出来，可分两步进行：第一步，取出元素，有C种取法，第二步，分成三组，共C种分法，所以共有CC个子集串；第二类，从6个元素中取出5个元素，共C种取法，然后将这5个元素分成三组共C种分法，所以共有CC个子集串；同理含4个元素的子集串数为CC；含3个元素的子集串数为CC.所以集合M的子集串共CCCCCCCC111个13
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