待定系数法在初中数学中的应用

待定系数法在初中数学中的应用【摘 要】要形成数学方法和理论，就少不了要进行解数学题，提高数学解题能力。而要提高数学解题能力，就必须掌握一些常用的解题方法。本文结合一些具体例题，着重介绍待定系数法在初中数学中六方面的具体应用：待定系数法在因式分解中的应用；待定系数法在多项式中的应用；待定系数法在整式除法中的应用；待定系数法在方程中的应用；待定系数法在部分分式中的应用；待定系数法在求函数解析式中的应用。【关键词】待定系数法 初中数学 应用【中图分类号】g632 【文献标识码】a 【文章编号】10069682（2011）09016102全日制义务教育数学课程标准的前言部分提到：数学是人们对客观世界定性把握和定量刻画、逐渐抽象概括、形成方法和理论，并进行广泛应用的过程。而要形成数学方法和理论，就少不了要进行解数学题，提高数学解题能力。有人认为，提高解题能力的途径是多做数学题。这种看法有失偏颇。平时学生能自觉多做一些数学练习题固然很好，但如果只是死记硬背，搞题海战术，只会产生一些短期效应，达不到提高解数学题的能力，更谈不上应用。不同内容不同形式的数学题，有不同的解题方法。要提高数学解题能力，就必须掌握一些常用的解题方法，例如待定系数法、配方法、换元法等。这些方法作为解题工具使用，会给初中数学的学习带来很大的方便，因此，对这几种数学方法务必做到理解、会用、熟练。本文主要结合待定系数法在初中数学中的应用，说明如何掌握一些常用的解题方法，提高自己的解题能力，以期达到抛砖引玉的作用。所谓的待定系数法，就是在解决某些问题时，先用某些字母表示需要确定的系数，然后根据一些条件或要求来确定这些系数，从而解决问题的方法。一、待定系数法在因式分解中的应用例1，分解因式：x22xy8y22x14y3。分析：所给的代数式是二元二次多项式，分解因式难度较大。由于x22xy8y2可以分解为（x4y）（x2y），于是，原多项式能够分解成两个一次项乘积的一般形式应为（x4ym）（x2yn），其中m、n为待定系数。再将上式展开，通过找对应项的系数，确定m、n的值。解：x22xy8y2（x4y）（x2y）。x22xy8y22x14y3（x4ym）（x2yn），其中m、n为待定系数。上式展开后得到：x22xy8y2（mn）x（4n2m）ymn。 ，解这个方程组，得 。x22xy8y22x14y3（x4y1）（x2y3）。二、待定系数法在多项式中的应用例2，当m、n为何值时，（x2mxn）（x25x7）乘积中不含x2与x3的项。分析：此类问题只要将多项式相乘后加以整理，使x2，x3项的系数等于零即可。解：（x2mxn）（x25x7）x45x37x2mx35mx27mxnx25nx7nx4（m5）x3（n5m7）x2（7m5n）x7n。欲使乘积中不含x2与x3的项，则：，解得 ，即当m5，n18时，乘积中不含x2，x3的项。三、待定系数法在整式除法中的应用例3，当m、n为何值时，多项式x45x311x2mxn能被x22x1整除？分析：被除式是四次五项式，除式是二次三项式，根据“被除式除式商式”，可知商式的最高次数应该是2，因此可设商式为x2pxn。再利用各对应项的系数相等或赋予x特殊值，从而得出方程组，解方程组得出结果。解法一：设商式为x2pxn。x45x311x2mxn（x2pxn）（x22x1）x4（p2）x3（n2p1）x2（2np）xn。由各对应项的系数相等，得：，整理为 ，解得 。当m11，n4时，x45x311x2mxn能被x22x1整除。解法二：设商式为x2pxn。x45x311x2mxn（x2pxn）（x22x1）。分别令x1，x2，x3，得：，整理为 ，解得 。当m11，n4时，x45x311x2mxn能被x22x1整除。四、待定系数法在方程中的应用例4，已知方程x49x212x40中有一个根是1，另一个根是2，求这个方程的其它两个根。分析：由于所给方程是一元四次方程，它应该有四个根。已知其中两个根，所以代数式x49x212x4含有因式（x1）（x2），它还应含有另一个二次三项式。观察x49x212x4最高项x4的系数为1，常数项为4。因此二次三项式应为（x2mx2），其中m为待定系数。只要确定出m的值，问题便迎刃而解了。解：设x49x212x4（x1）（x2）（x2mx2），其中m为待定系数。令x1，得：（1）49（1）212（1）4（11）（12）（1）2m26m18；m3。x2mx20，x23x20。 ， 。方程的其它两根为 。五、待定系数法在部分分式中的应用把一个分式化成几个分式的代数和，叫做把这个分式分成部分分式。在解这类题的过程中，需要应用待定系数法求解。例5，化 为部分分式。解法一：设。分别令x0，x3，得：，即 ， 。 。解法二：设。 。 ，解得 。以上的解法一是赋予x特殊值，得出a、b的方程组，从而求出a、b；解法二是利用对应项的系数相等，得出a、b的方程组，从而求出a、b。六、待定系数法在求函数解析式中的应用初中阶段的函数内容主要是学习一次函数、反比例函数和二次函数的图象和性质，而对于这些函数的解析式的确定，则是学习函数的一个首要步骤。函数解析式的求法主要是运用待定系数法。用待定系数法求函数关系式的步骤是：第一步：设。优先设好待求函数关系式（其中含有待定的系数），尽量用概念定系数，使待定的系数越少越好。第二步：构。将点的坐标代入关系式，构造待定系数的方程或方程组，或用已知等量关系或几何条件，构造待定系数的方程或方程组。第三步：解。解方程或方程组，求出待定系数的值。第四步：回代。将解出来的待定系数的值代入所设的函数关系式，从而得到所求结果。例6，已知一次函数的图象经过a（2，1）和b（1，3）两点。求这个一次函数的解析式。解：设一次函数的解析式为ykxb（k0），其中k，b为待定系数。将a（2，1）和b（1，3）两点的坐标代入到上面的解析式，得：，解得 。所求的一次函数的解析式为： 。例7，已知：抛物线顶点的坐标为（3，1），它与y轴上交点的纵坐标为4。求这个二次函数的解析式。分析：求二次函数的解析式时，如果设解析式为yax2bxc，由于有三个待定系数，需有三个方程去组成方程组，才能使得问题得到解决。由已知中图象与y轴上交点的纵坐标为4，即抛物线与y轴的交点为（0，4），这算一个点。而由抛物线顶点，其中包含两个条件，于是问题可解。另一种考虑的方法是利用顶点式ya（xh）2k，其中（h，k）为顶点坐标。解法一：设二次函数的解析式为yax2bxc（a0）。依题意，得：，解得 。所求的二次函数的解析式为 。解法二：设二次函数的解析式为ya（xh）2k，其中（h，k）为顶点坐标。抛物线的顶点坐标为（3，1）；ya（x3）21。又（0，4）是函数图象上一点；4a（03）21。9a3， 。所求的二次函数的解析式为