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【命题探究】2014版高考数学知识点讲座：考点29数学归纳法（解析版）加（*）号的知识点为了解内容，供学有余力的学生学习使用一.考纲目标数学归纳法；数学归纳法的证明思路；初始值的确定.二.知识梳理1.数学归纳法的基本形式设P(n)是关于自然数n的命题，若1P(n0)成立(奠基)2假设P(k)成立(kn0)，可以推出P(k+1)成立(归纳)，则P(n)对一切大于等于n0的自然数n都成立 3.数学归纳法的应用具体常用数学归纳法证明 恒等式，不等式，数的整除性，几何中计算问题，数列的通项与和等 三考点逐个突破1.数学归纳法原理例1.（1）在用数学归纳法证明“2nn2对从n0开始的所有正整数都成立”时，第一步验证的n0等于A1 B 3 C5 D7答案C解析n的取值与2n，n2的取值如下表：n1234562n248163264n2149162536由于2n的增长速度要远大于n2的增长速度，故当n4时恒有2nn2.（2）在应用数学归纳法证明凸n边形的对角线为n(n3)条时，第一步检验第一个值n0等于A1B2C3D4答案C解析因为凸n边形的边数最少为3，故验证的第一个值n03.（3）若f(n)1(nN)，则f(1)为A1 B. C1 D非以上答案答案C解析注意f(n)的项的构成规律，各项分子都是1，分母是从1到6n1的自然数，故f(1)1.2.用数学归纳法证明恒等式例2. 是否存在a、b、c使得等式122+232+n(n+1)2=(an2+bn+c) 解 假设存在a、b、c使题设的等式成立，这时令n=1,2,3,有于是，对n=1,2,3下面等式成立122+232+n(n+1)2=记Sn=122+232+n(n+1)2设n=k时上式成立，即Sk= (3k2+11k+10)那么Sk+1=Sk+(k+1)(k+2)2=(k+2)(3k+5)+(k+1)(k+2)2= (3k2+5k+12k+24)=3(k+1)2+11(k+1)+10也就是说，等式对n=k+1也成立 综上所述，当a=3,b=11,c=10时，题设对一切自然数n均成立 3.用数学归纳法证明不等式例3. 试证明 不论正数a、b、c是等差数列还是等比数列，当n1,nN*且a、b、c互不相等时，均有 an+cn2bn 命题意图 本题主要考查数学归纳法证明不等式 知识依托 等差数列、等比数列的性质及数学归纳法证明不等式的一般步骤 错解分析 应分别证明不等式对等比数列或等差数列均成立，不应只证明一种情况 技巧与方法 本题中使用到结论 (akck)(ac)0恒成立(a、b、c为正数)，从而ak+1+ck+1akc+cka 证明 (1)设a、b、c为等比数列，a=,c=bq(q0且q1)an+cn=+bnqn=bn(+qn)2bn(2)设a、b、c为等差数列，则2b=a+c猜想()n(n2且nN*)下面用数学归纳法证明 当n=2时，由2(a2+c2)(a+c)2，设n=k时成立，即则当n=k+1时， (ak+1+ck+1+ak+1+ck+1)(ak+1+ck+1+akc+cka)=(ak+ck)(a+c)()k()=()k+1也就是说，等式对n=k+1也成立 由知，an+cn2bn对一切自然数n均成立 4.用数学归纳法证明集合命题例4.已知点Pn(an，bn)满足an1anbn1，bn1(nN*)且点P1的坐标为(1，1)(1)求过点P1，P2的直线l的方程；(2)试用数学归纳法证明：对于nN*，点Pn都在(1)中的直线l上解析(1)由P1的坐标为(1，1)知a11，b11.b2，a2a1b2.点P2的坐标为(，)直线l的方程为2xy1.(2)证明：当n1时，2a1b121(1)1成立假设nk(kN*，k1)时，2akbk1成立，则当nk1时，2ak1bk12akbk1bk1(2ak1)1，当nk1时，命题也成立由知，对nN*，都有2anbn1，即点Pn在直线l上4
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