数学提纲第十二章实数

一、 实数的概念1.无限不循环小数叫做无理数。无理数和有理数统称为实数。无理数有正负之分，分别称作正无理数和负无理数。只有符号不同，绝对值相同的两个无理数称作互为相反数。2.有理数与无理数的区别 有理数：无限循环小数or有限小数 无理数：无限不循环小数3.判断无理数 看它是否为无限不循环小数。 常见的无理数：（1）开不尽的方根：等 （不是） （2）及含的数：、等 （3）不循环的无限小数：0.1010010001二、 实数的分类分类（一）分类（二）三、 数的开方1. 平方根的含义如果一个数的平方等于，那么这个数就叫做的平方根。即，叫做的平方根。.平方根的性质与表示表示：正数的平方根用表示，叫做正平方根，也称为算术平方根，叫做的负平方根。一个正数有两个平方根：（根指数省略）有一个平方根，为，记作负数没有平方根平方与开平方互为逆运算开平方：求一个数的平方根的运算。（）的双重非负性且（应用较广）Eg：得知如果正数的小数点向右或者向左移动两位，它的正的平方根的小数点就相应地向右或向左移动一位。拓展：两次根式的运算区分：的平方根为的平方根为开平方后，得答案：.计算的方法计算器法逐步逼近法中间数法（练习册内，两面逼近）牛顿迭代法估计计算笔算开平方法方法知道即可，主要有性质*若，则四、立方根和开立方立方根的定义如果一个数的立方等于，呢么这个数叫做的立方根，记作. 立方根的性质任何实数都有唯一确定的立方根。正数的立方根是一个正数。负数的立方根是一个负数。的立方根是. 开立方与立方开立方：求一个数的立方根的运算。*的平方根和立方根都是本身。五、次方根. 如果一个数的次方（是大于的整数）等于，这个数就叫做的次方根。当为奇数时，这个数叫做的奇次方根。当为偶数时，这个数叫做的偶次方根。. 正数的偶次方根有两个。的偶次方根为。负数没有偶次方根。正数的奇次方根为正。的奇次方根为。负数的奇次方根为负。. ；六、 用数轴上的点表示实数. 点与实数的关系数轴上的点与实数是一一对应的。每一个实数都可以用数轴上的一个点来表示。（唯一）数轴上每一个点也可以用唯一的实数来表示。表示实数：夹逼的方法勾股定理正方形的边长. 绝对值一个实数在数轴上所对应的点到原点的距离叫做这个数的绝对值，记作. 相反数任一非零实数的相反数为。的相反数为数轴上任意两点之间的距离数轴上，如果点、点所对应的数分别是、，那么、两点间的距离为（）求最小值（*几何意义）若为奇数，则时，取到最小值。若为偶数，则时，取到最小值。5. 比较大小.正数大于，大于负数，即先判断符号 两个正数比较大小，绝对值大的数大。 两个负数比较大小，绝对值小的数大。 . 作差法 若，则。 若，则。 若，则。 判断差的符号。.根指数相同，只要比较被开方数 若，则。 根指数不同，用乘方的方法，去根号。 Eg:答案：.平方法 平方后得： （*对正数成立）.倒数法 若，则 答案： .从数轴上看，右边的点所表示的数总比左边的点所表示的数大.化为小数比较大小（近似）七、 实数的运算. 实数的运算规则在实数范围内，可以进行加、减、乘、除、乘方、开方运算。有理数的运算法则和运算律在实数范围内仍然成立。先化简，再计算* 错！（）. 实数的运算顺序先乘方、开方，再乘除，最后加减。同级运算按照从左到右顺序进行，有括号的先算括里的。*巧妙运用运算律及乘法公式可简便运算。. 实数的运算结果若没有指明运算结果保留几位小数，那么通常利用计算法则和运算性质对算式进行简化，其结果可能是化简了的一个算式。八、 准确数与近似数. 会识别准确数：完全符合实际地表示一个量的多少的数。近似数：与准确数达到一定接近程度的数。*一般有“大约”、“左右”、“上下”等. 精确度. 近似数与准确数的接近程度叫做精确度。. 用两种表述方式表述近似数的精确度。a. 精确到哪一位给出要求精确到0.01，则看千分位，进行四舍五入。结果必为两位小数，不足用零凑。3.412853.41给出要求精确到千位，则看百位，进行四舍五入，最后补上适当单位，使最后一个数字表示千位。366003.7万或37千或（相反，给出一个数，问精确到哪一位，看最后一位表示哪位，注意本质，而非表达方式）Eg:3.6万或，“6”表示千，所以精确到千位，而非十分位。b. 有效数字对于一个近似数，从左边第一个不是零的数字起，往右到末位数字位置的所有数字，叫做这个近似数的有效数字。5980032 （保留两位有效数字）58300. 近似数的计算及应用在进行近似数计算时，中间过程中的近似数一般比指定的精确度要求多一位，对最后所得的结果按指定精确度要求取近似值。九、 分数指数幂. 将的范围扩大到有理数（），为正整数。当时，为奇数，为偶数时，不存在。当时，指数不可随意化简（约分）。Eg:与不同。2. 有理指数幂的运算性质设，、为有理数，则：. 将方根化为幂，只是一种方法，最后结果通常仍需再化成方根，且使被开方数指数小于根指数。*灵活运用乘方公式。九、化简. *将根号内可开方的因数开至跟号外。. *注意不可随意约*结合练习册中. 根号内有分母或分母内有根号. 拓展：或利用乘法公式：. 的形式Eg:解二：设原式=（舍去）除法补充：. . . . . 加法补充：有有有；有无无；有有有。无无：不一定。有无：不一定。无无：不一定。PS：它不仅可以帮助大家重新整理知识网络，更重要的是希望通过这每一章的总结，大家能够学会归纳的技巧。这对于你的各科的学习都会起到良好的作用。内容较多，可能会有疏漏，望大家指出，共同来完善我们的知识架构。友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！8 / 8