数学建模之汽车停止距离

汽车停止距离的模型摘要：本模型是针对某次某司机的考核结果而建立的。分析本题后可知，汽车所停止的距离可分为反应距离与制动距离即刹车距离，可表示为：分别建立出反应距离、制动距离与速度的模型，此过程中运用了最小二乘法以及Matlab中数据的最小二乘拟合，最后得所需的模型。得到模型后，对模型的可行性代入实际数据进行模型检验，且在Matlab7.6中实现，并根据结果对所得模型进行优化，最终得到了一个比较令人满意的结果。关键字：反应距离 制动距离 最小二乘法 数据的最小二乘拟合1问题重述一辆汽车停止距离可分为两段，一段为发现情况时到开始制动这段时间里行驶过的距离，这段时间称为反应时间。另一段则为制动时间驶过的距离。现考核司机，考核结果如下： 行驶速度 36 Km/h 3 m 4.5 m 50 Km/h 5 m 12.5 m 70 Km/h 7 m 24.5 m(1) 求出停车距离D的经验公式。(2) 设制动力正比于车重，建立理论分析模型，并求出D的公式。 2 符号说明及基本假设2.1 符号说明： 车辆停止时所驶过的总距离 （米） 反应距离 （米） 制动距离 （米） 汽车的行驶速度 （千米/小时） 制动力与车重的比例 反应距离与速度的比例 刹车后汽车停止所需的时间 刹车后某一时刻车辆移动的距离 加速度 汽车质量 制动力 制动距离与的比例 偏差的平方和 常数2.2 基本假设（1） 所得的数据真实可靠；（2） 忽略天气、汽车性能等因素的影响。3模型的建立、分析与求解3.1.1采用Matlab做出汽车停车距离D与速度V的关系图形，代码如下： V=36 50 70; D=7.5 17.5 31.5; plot(V,D),xlabel(V),ylabel(D),grid on,title(汽车停车距离D与速度V的关系图形)可得其图形为： 图1则由图1可知汽车停车距离D与速度V成线性关系，故可设停车距离D的经验公式为：3.1.2采用Matlab对上式进行数据的最小二乘拟合：根据题目所给的数据可得：3634.57.550512.517.570724.531.5 表1根据表1数据，在Matlab中输入代码如下： V=36 50 70; D=7.5 17.5 31.5; A=polyfit(V,D,1)A =0.7055 -17.8516故可得： 所以停车距离D的经验公式为：3.2.1汽车在反应时间里的速度可认为是匀速运动，故可得反应距离：=V3.2.2采用最小二乘法求解该关系式：令M=欲使所得M的值最小，则应满足：从中可解得.(1)根据题目所给的数据可得：363129610850525002507074900490156158696848 表2由表2的数据可得： ， 将以上所得数据代入（1）可得：所以反应距离：3.2.3制动距离与速度的关系式：由题意可知，制动力正比于车重，故可设：F=m.(2)又由牛顿第二运动定律得：F=.(3)由运动规律得：.(4)联立（2）、（3）、（4）三式可得：对上式两边同时进行积分得：.(5)当t=0时，将之代入(5)式得：当时，将之代入（5）是式得：又由运动规律可知：.(6)将（6）式代入（5）式得：对上式两边同时进行积分得：.(7)当t=0时，S=0，将之代入（7）式得：当时，将之代入（7）式得：所以正比于，故可令：对上式两边分别取对数得：3.2.4采用最小二乘法求解该关系式：令欲使所得M的值最小，则应满足：即得：.(8)根据题目所给的数据可得：3.58351.50413.91202.52574.24853.198711.74407.2285 表3根据表3数据可知：，将以上所得数据代入（8）可得：即得故与的关系式为：所以停车距离D的公式为：4 模型的检验、评价与优化4.1对第一个模型的检验：第一个模型：在Matlab中输入代码如下： syms D V x=36 50 70; y=7.5 17.5 31.5; V=18:0.1:85; D=0.7055*V-17.8516; plot(x,y,r*,V,D);grid可得其图形为： 图2 根据图2可知，该模型的图像恰好经过了这三点，但由于该模型是根据经验数据所得出的，并没有经过理论分析，所以所得模型是比较的粗糙，跟实际有出入，不适合推广。4.2对第二个模型的检验：第二个模型：在Matlab中输入代码如下： syms D V x=36 50 70; y=7.5 17.5 31.5; V=18:0.1:85; D=0.097516*V+0.004428*V.2; plot(x,y,r*,V,D);grid可得其图形为： 图3根据图3知，虽然第二个模型并没有经过这三个点，但这三个点均比较的靠近该图形。考虑到实际所测得的数据有存在误差，据此所得的模型应该与实际比较的符合。再者，该模型是根据理论充分的论证、分析所得，与实际相吻合。又易知，当速度时，停车距离。综上所述，第二个模型与实际比较的符合。第二个模型结合了理论，又通过了实际数据的检验，所以较第一个模型而言适合推广。如果能够得到更多的实际数据，那么，模型就能够得到进一步的验证。4.3.1对第二个模型的优化：为了能够得到更好的拟合曲线，我们可以对第二个模型进行适当的优化，可设停车距离D与速度V的关系式为：4.3.2采用Matlab对上式进行数据的最小二乘拟合：在Matlab输入代码如下： V=36 50 70; D=7.5 17.5 31.5; A=polyfit(V,D,2)A = -0.0004 0.7504 -18.9706故可得：所以所得的优化模型为：4.3.2对所得的优化模型进行检验：优化模型：在Matlab中输入代码如下： syms D V x=36 50 70; y=7.5 17.5 31.5; V=18:0.01:85; D=-0.0004*V.2+0.7504*V-18.9706; plot(x,y,r*,V,D);grid可得其图形为： 图4根据图4知，优化模型的拟合度非常的高，但应该要注意的一点是，当汽车速度为零时，该模型预测汽车的停止距离为。采用Matlab求解该模型的根，在Matlab中输入代码如下： syms D V D=-0.0004,0.7504,-18.9706; V=roots(D)V = 1.0e+003 * 1.85040.0256所以仅当时，。故该模型所应用的范围不大。参考文献1赵静，但琦.数学建模与数学实验.北京：高等教育出版社；海德堡：施普林格出版社，2000.2Frank R.Giordano,Maurice D.Weir,William P.Fox.数学建模(叶其孝，姜启源等译）.北京：机械工业出版社，2005.3姜启源，谢金星，叶俊.数学模型.北京：高等教育出版社，2003.4谢云荪，张志让.数学实验.北京：科学出版社，1999.5张德丰.Matlab数值分析与应用.北京：国防工业出版社，2007.友情提示：部分文档来自网络整理，供您参考！文档可复制、编制，期待您的好评与关注！8 / 8