福建省福州市2013年度高三（上）期末数学试卷（文科）（解析版）

福建省福州市2012-2013学年高三（上）期末数学试卷（文科）（含解析）一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共50分在每小题所给的四个答案中有且只有一个答案是正确的把正确选项涂在答题卡的相应位置上）1（5分）i为虚数单位，复数z=i（1i），则在复平面内对应的点在（）A第一象限B第二象限C第三象限D第四象限考点：复数代数形式的乘除运算；复数的基本概念专题：计算题分析：利用两个复数代数形式的乘法，求得复数z，根据共轭复数的定义求得的值，即得在复平面内对应的点的坐标解答：解：复数z=i（1i）=1+i，则=1i，它在复平面内的对应点的坐标为（1，1），故在复平面内对应的点在第四象限，故选D点评：本题考查复数的基本概念，两个复数代数形式的乘法，复数与复平面内对应点之间的关系，求出=1i，是解题的关键2（5分）如图设全集U为整数集，集合A=xN|1x8，B=0，1，2则图中阴影部分表示的集合的真子集的个数为（）A3B4C7D8考点：Venn图表达集合的关系及运算专题：计算题分析：根据阴影部分对应集合，进行集合运算，再根据含有N个元素的集合的真子集的个数是2N1个求解解答：解：A=1，2，3，4，5，6，7，8，图中阴影对应AB，AB=1，2，真子集有3个故选A点评：本题考查Venn图表示集合关系及集合的交集运算3（5分）（2012山东）设命题p：函数y=sin2x的最小正周期为；命题q：函数y=cosx的图象关于直线对称则下列判断正确的是（）Ap为真Bq为假Cpq为假Dpq为真考点：复合命题的真假专题：规律型分析：由题设条件可先判断出两个命题的真假，再根据复合命题真假的判断规则判断出选项中复合命题的真假即可得出正确选项解答：解：由于函数y=sin2x的最小正周期为，故命题P是假命题；函数y=cosx的图象关于直线x=k对称，kZ，故q是假命题由此结合复合命题的判断规则知：q为真命题，pq为假命题，pq为是假命题考查四个选项，C选项正确，故选C点评：本题考查复合命题的真假判断，解题的关键是正确判断所涉及命题的真假及熟练掌握复合命题的真假判断规则，本题属于高考常考题型也是对命题考查的常规题型，知识性强，难度不大4（5分）（2013烟台一模）对具有线性相关关系的变量x，y，测得一组数据如下表：x24568y2040607080根据上表，利用最小二乘法得它们的回归直线方程为=10.5x+，据此模型来预测当x=20时，y的估计值为（）A210B210.5C211.5D212.5考点：线性回归方程专题：概率与统计分析：求出横标和纵标的平均数，写出样本中心点，把样本中心点代入线性回归方程，得到关于a的方程，解方程求出a，最后将x=20代入求出相应的y即可解答：解：=5，=54这组数据的样本中心点是（5，54）把样本中心点代入回归直线方程=10.5x+，54=10.55+a，a=1.5，回归直线方程为=10.5x+1.5，当x=20时，=10.520+1.5=211.5，故选C点评：本题考查线性回归方程，解题的关键是线性回归直线一定过样本中心点，这是求解线性回归方程的步骤之一5（5分）“”是“存在唯一实数，使得=”的（）A充分而不必要条件B必要而不充分条件C充要条件D既不充分也不必要条件考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断专题：平面向量及应用分析：本题研究充分条件与必要条件的判断，利用充分条件与必要条件的定义结合向量平行的知识作出判断选出正确选项解答：解：对于“”，当向量是零向量，而向量不是零向量，则不存在实数，使得=”，故“”不能得出“存在唯一实数，使得=”；反之，根据平行向量基本定理，是成立的故“”是“存在唯一实数，使得=”的必要而不充分条件故选B点评：本题着重考查了平行向量基本定理、充要条件等知识，属于基础题6（5分）函数y=1og5（1x）的大致图象是（）ABCD考点：函数的图象专题：函数的性质及应用分析：把原函数变形为y=log5（x1），利用函数图象的对称变换和平移变换即可得到答案解答：解：由y=1og5（1x），得：y=log5（x1），y=log5（x1）的图象是把函数y=log5（x）的图象向右平移一个单位得到的，而y=log5（x）的图象与函数y=log5x的图象关于y轴对称，由此可知，函数y=1og5（1x）的大致图象是选项C的形状如图，故选C点评：本题考查了函数图象的变化，函数y=f（x+a）+b的图象是把函数y=f（x）的图象向左（a0）或向右（a0）平移|a|个单位，然后再把函数y=f（x+a）的图象向上（b0）或向下（b0）平移|b|个单位得到，此题是基础题7（5分）ABC中，若sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，则B的大小是（）A30B45C60D90考点：余弦定理；等差数列的通项公式；等比数列的通项公式分析：依题意，可求得（sinAsinC）2=0，从而可利用正弦定理求得a=b=c，继而可得答案解答：解：ABC中，sinB既是sinA，sinC的等差中项，又是sinA，sinC的等比中项，2sinB=sinA+sinC，sin2B=sinAsinC4sin2B=（sinA+sinC）24sinAsinC=（sinA+sinC）2（sinA+sinC）24sinAsinC=0即（sinAsinC）2=0，sinA=sinC，于是2sinB=2sinA=2sinC，sinB=sinA=sinC，即：a=b=c，B=60故选C点评：本题考查等差数列与等比数列的通项公式，考查正弦定理与等量代换，求得sinA=sinC是关键，属于中档题8（5分）在区间0，上随机取一个数x，则事件“”发生的概率为（）ABCD考点：几何概型专题：概率与统计分析：先化简不等式，确定满足sin（x+）且在区间0，内x的范围，根据几何概型利用长度之比可得结论解答：解：，即sin（x+），sin（x+），x0，x+，在区间，内，满足sin（x+）的x+，在区间0，内，满足sin（x+）的x，事件发生的概率为P=故选B点评：本题考查几何概型，考查三角函数的化简，考查学生的计算能力，属于中档题9（5分）若运行如图所示的程序，则输出S的值是（）ABCD考点：伪代码专题：图表型分析：首先根据程序框图，理解其意义，然后按照程序顺序进行执行循环，当满足跳出循环的条件时输出结果分析程序中各变量、各语句的作用，再根据流程图所示的顺序，可知：该程序的作用是输出满足条件S=+的值解答：解：根据题意，本程序框图为求和运算第1次循环：S=0+ i=2第2次循环：S= i=3第2012次循环：S=+，此时，i=20132012输出S=+=1=故选C点评：本题考查程序框图，通过对程序框图的认识和理解按照程序框图的顺序进行执行通过按照循环体的执行，考查运算能力属于基础题10（5分）已知函数半个周期内的图象如图所示，则函数f（x）的解析式为（）ABCD考点：由y=Asin（x+）的部分图象确定其解析式专题：三角函数的图像与性质分析：由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，从而求得函数f（x）的解析式解答：解：由函数的图象可得 M=2，=+，解得=1再由五点法作图可得 1（）+=0，=，故函数f（x）的解析式为 ，故选A点评：本题主要考查由函数y=Asin（x+）的部分图象求解析式，由函数的最值求出A，由周期求出，由五点法作图求出的值，属于中档题11（5分）若点A（m、n）在第一象限，且在直线2x+3y=5上，则的最小值为（）ABC4D5考点：基本不等式分析：由题意可得，2m+3n=5，m，n0，而=（）（2m+3n），展开后利用基本不等式可求的最小值解答：解：由题意可得，2m+3n=5，m，n0则=（）（2m+3n）=25当且仅当即m=n=1时取等号则的最小值25故选D点评：本题考查基本不等式的应用，注意配凑基本不等式的应用条件，注意1的代换12（5分）能够把圆O：x2+y2=16的周长和面积同时分为相等的两部分的函数称为圆O的“和谐函数”，下列函数不是圆O的“和谐函数”的是（）Af（x）=x3BCf（x）=exexDf（x）=1n（4x）（4+x）考点：圆的标准方程专题：新定义分析：由圆O的“和谐函数”的定义，我们易分析出函数f（x）是奇函数，逐一分析四个函数的奇偶性，可得答案解答：解：若函数f（x）是圆O的“和谐函数”，则函数的图象经过圆心且关于圆心对称由圆O：x2+y2=16的圆心为坐标原点故函数f（x）是奇函数由于A中f（x）=x3，B中，C中f（x）=exex均为奇函数，在中f（x）=1n（4x）（4+x）为偶函数，不满足要求故选D点评：本题考查的知识点是函数的奇偶性，其中根据新定义圆O的“和谐函数”判断出满足条件的函数为奇函数是解答的关键二、填空题（本大题共4小题，每小题4分，共20分，把答案填在答题卡的相应位置上）13（4分）以椭圆的右焦点为焦点，且顶点在原点的抛物线标准方程为y2=4x考点：抛物线的标准方程专题：计算题；圆锥曲线的定义、性质与方程分析：依题意，可求得椭圆+y2=1的右焦点，利用抛物线的简单性质即可求得答案解答：解：椭圆+y2=1的右焦点F（，0），以F（，0）为焦点，顶点在原点的抛物线标准方程为y2=4x故答案为：y2=4x点评：本题考查抛物线的标准方程，考查椭圆与抛物线的简单性质，属于中档题14（4分）若函数，则函数f（x）的零点为1、0考点：函数的零点专题：函数的性质及应用分析：当x0时，由 log2x=0，求得x的值当x0时，由2x+1=0，求得x的值从而得到函数的零点解答：解：当x0时，由 log2x=0，可得 x=1当x0时，由2x+1=0，可得x=0综上，函数f（x）的零点为 1、0，故答案为 1、0点评：本题主要考查函数零点的定义和求法，属于基础题15（4分）（2013临沂一模）已知O是坐标原点，点M的坐标为（2，1），若点N（x，y）为平面区域上的一个动点，则的最大值是3考点：简单线性规划；平面向量数量积的坐标表示、模、夹角专题：计算题；不等式的解法及应用分析：根据向量数量积的坐标运算公式，得=2x+y作出题中不等式组表示的平面区域得到如图的阴影部分，将目标函数z=2x+y对应的直线进行平移，可得当x=y=1时，z=2x+y达到最大值，即取得最大值解答：解：M（2，1），N（x，y），目标函数z=2x+y作出不等式组表示的平面区域，得到如图的ABC及其内部，其中A（，），B（1，1），C（，）设z=F（x，y）=2x+y，将直线l：z=2x+y进行平移，当l经过点B时，目标函数z达到最大值z最大值=F（1，1）=3故答案为：3点评：本题给出二元一次不等式组，求目标函数z=的最大值，着重考查了二元一次不等式组表示的平面区域、向量数量积的坐标运算公式和简单的线性规划等知识，属于基础题16（4分）（2011黄浦区二模）已知点是函数y=2x的图象上任意不同两点，依据图象可知，线段AB总是位于A、B两点之间函数图象的上方，因此有结论成立运用类比思想方法可知，若点A（x1，sin1）、B（x2，sinx2）是函数y=sinx（x（0，）的图象上的不同两点，则类似地有成立考点：类比推理专题：探究型分析：根据函数y=2x的图象可知，此函数的图象是向下凹的，即可得到不等式，再根据y=sinx（x（0，）的图象的特征，即可类比得到相应的不等式解答：解：函数y=2x上任意两点A（a，a3），B（b，b3）线段AB在弧线段AB的上方，函数f（x）=x3（x0）的图象是向下凹的，可得不等式 ，据此我们从y=sinx（x（0，）图象可以看出：y=sinx（x（0，）图象是向上凸的，故可知，故答案为点评：本题主要考查类比推理的知识点，还考查了数形结合思想，解答本题的关键是熟练掌握对数函数图象的凸凹性，常用方法是图象法三、解答题（本大题共6小题，共80分，解答应写出文字说明、证明过程或演算过程）17（12分）已知数列（I）证明：数列an+1是等比数列；（）求数列an的前n项和考点：数列的求和；等比关系的确定专题：综合题；等差数列与等比数列分析：（I）由题意可得，an+1=3an+2，从而有an+1+1=3（an+1），可证（II）由（I）可求，an+1，从而可求an，利用分组求和，结合等比与等差数列的求和公式即可求解解答：证明：（I）由题意可得，an+1=3an+2则an+1+1=3（an+1）且a1+1=2数列an+1是以2为首项，以3为公比的等比数列（II）由（I）可得，=2（1+3+3n1）n=2=3n1n点评：本题主要考查了利用数列的递推公式构造等比数列求解通项公式，及数列的分组求和方法的应用、等比数列及等差数列的求和公式的应用18（12分）已知函数f（x）=2sinx（其中o），且函数f（x）的最小正周期为（I）求的值；（）将函数y=f（x）的图象向右平移单位长度，再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到函数y=g（x）的图象求函数g（x）的单调区间考点：三角函数中的恒等变换应用；函数y=Asin（x+）的图象变换专题：计算题；三角函数的图像与性质分析：（I）利用二倍角的三角函数公式结合辅助角公式进行化简，得f（x）=2sin（2x+）再利用三角函数的周期公式即可解出的值（II）根据函数图象平移的规律，可得函数y=g（x）的解析式为g（x）=2sin（4x+），再由正弦函数的单调区间的结论解关于x的不等式，即可求出函数g（x）的单调区间解答：解：（I）2sinxcosx=sin2x，cos2x=（1+cos2x）f（x）=sin2x+（1+cos2x）=sin2x+cos2x=2sin（2x+）函数f（x）的最小正周期为=，解之得=1（II）由（I），得f（x）=2sin（2x+）将函数y=f（x）的图象向右平移单位长度，得到y=f（x+）的图象；再将所得图象各点的横坐标缩小为原来的倍（纵坐标不变）得到y=f（2x+）的图象函数y=g（x）的解析式为y=2sin2（2x+）+，可得g（x）=2sin（4x+）令+2k4x+2k，kZ，解之得x，kZ 函数g（x）的单调增区间是，kZ 同理，令+2k4x+2k（kZ ），得g（x）的单调减区间是，kZ 综上所述，可得g（x）的单调减区间是，单调增区间是，kZ点评：本题给出三角函数表达式，求函数的图象平移后所得图象对应函数的单调区间，着重考查了三角恒等变换和三角函数的图象与性质等知识点，属于中档题19（12分）某学校为促进学生的全面发展，积极开展丰富多样的社团活动，根据调查，学校在传统民族文化的继承方面开设了“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团，三个社团参加的人数如下表示所示：社团泥塑剪纸年画人数320240200为调查社团开展情况，学校社团管理部采用分层抽样的方法从中抽取一个容量为n的样本，已知从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人（I）求三个社团分别抽取了多少同学；（）若从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，已知“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，求至少有1名女同学被选为监督职务的概率考点：分层抽样方法；古典概型及其概率计算公式专题：概率与统计分析：（I）设出抽样比，由已知中三个社团中的人数计算出各社团中抽取的人数，结合从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人，可得到抽样比，进而得到三个社团分别抽取了多少同学；（）由（I）中从“剪纸”社团抽取了6名同学，可列举出从中选出2人担任该社团活动监督的职务的基本事件总数，结合“剪纸”社团被抽取的同学中有2名女生，可列举出从中选出2人至少有1名女同学的基本事件个数，进而代入古典概型概率计算公式得到答案解答：解：（I）设出抽样比为x，则“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为：320x，240x，200x从“剪纸”社团抽取的同学比从“泥塑”社团抽取的同学少2人320x240x=2解得x=故“泥塑”、“剪纸”、“年画”三个社团抽取的人数分别为：8人，6人，5人（II）由（I）知，从“剪纸”社团抽取的同学共有6人，其中有两名女生，则从“剪纸”社团抽取的同学中选出2人担任该社团活动监督的职务，共有=15种不同情况；其中至少有1名女同学被选为监督职务的情况有=9种故至少有1名女同学被选为监督职务的概率P=点评：本题考查的知识点是分层抽样，古典概率，（I）解答的关键是求出抽样比，（2）解答的关键是列举出基本事件总数及满足条件的基本事件个数20（12分）没椭圆的左、右焦点分别F1、F2，点P是椭圆短轴的一个端点，且焦距为6，P F1F2的周长为16（I）求椭圆C的方程；（）求过点（3，0）且斜率为的直线l被椭圆C所截线段的中点坐标考点：直线与圆锥曲线的关系；椭圆的标准方程专题：圆锥曲线的定义、性质与方程分析：（）利用椭圆的标准方程及其参数a、b、c的关系即可得出；（）把直线与椭圆的方程联立，利用根与系数的关系就线段的中点坐标公式即可得出解答：解：（）设椭圆的焦距为2c，由题意得，解得，椭圆C的方程为；（）过点（3，0）且斜率为的直线l的方程为，与椭圆的方程联立，消去y得到x23x8=0，x1+x2=3，线段AB的中点的横坐标为线段AB的中点的纵坐标为=线段AB的中点的坐标为点评：熟练掌握椭圆的标准方程及其性质、直线与椭圆相交问题、根与系数的关系、线段的中点坐标公式是解题的关键21（14分）如图，某小区有一边长为2（单位：百米）的正方形地块OABC，其中OAE是一个游泳池，计划在地块OABC内修一条与池边AE相切的直路l（宽度不计），切点为M，并把该地块分为两部分现以点O为坐标原点，以线段OC所在直线为x轴，建立平面直角坐标系，若池边AE满足函数的图象，且点M到边OA距离为t（0t2）（I）当时，求直路l所在的直线方程；（）当t为何值时，地块OABC在直路l不含泳池那侧的面积取到最大，最大值是多少？考点：利用导数研究函数的单调性；函数模型的选择与应用专题：导数的综合应用分析：（）求当时，直路l所在的直线方程，即求抛物线在x=时的切线方程，利用求函数的导函数得到切线的斜率，运用点斜式写切线方程；（）求出x=t时的抛物线的切线方程，进一步求出切线截正方形在直线右上方的长度，利用三角形面积公式写出面积，得到的面积是关于t的函数，利用导数分析面积函数在（0t2）上的极大值，也就是最大值解答：解：（I），y=x，过点M（）的切线的斜率为t，所以，过点M的切线方程为，即当t=时，切线l的方程为即当时，直路l所在的直线方程为；（）由（I）知，切线l的方程为，令y=2，得x=，故切线l与线段AB交点为F（），令x=2，得y=，故切线l与线段BC交点为G（）地块OABC在切线l右上部分为三角形FBG，如图，设其面积为f（t），=（0t2），当t（0，）时，f（t）0，f（t）为单调增函数，当t时，f（t）0，f（t）为单调减函数当t=时，f（t）的极大值（最大值）为当点M到边OA距离为米时，地块OABC在直路l不含游泳池那侧的面积最大，最大值为平方米点评：本题考查了函数模型的选择与应用，考查了利用导数研究函数的单调性，考查了利用导数求函数的最值，在实际问题中，函数在定义域内仅含一个极值，该极值往往就是最值属中档题型22（12分）已知函数f（x）=lnx+bx2的图象过点（1，0）（I）求f（x）的解析式；（）若为实数）恒成立，求t的取值范围；（）当m0时，讨论在区间（0，2）上极值点的个数考点：函数在某点取得极值的条件；函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题；导数在最大值、最小值问题中的应用专题：导数的综合应用分析：（I）带点可得b=0，进而可得f（x）的解析式；（）恒成立，即，由x0可得t2xlnx，构造函数h（x）=2xlnx，x0，只需thmin（x）即可，求导数可得其最小值；（）可得，求导数，令其为0可得x=m，或x=，分（1）（2），且m，（3），或三种情况讨论解答：解：（I）函数f（x）=1nx+bx2的图象过点（1，0），0=ln1+b12，解得b=0，f（x）的解析式为f（x）=1nx；（）恒成立，即，由x0可得t2xlnx，构造函数h（x）=2xlnx，x0，只需thmin（x）即可，可得h（x）=2（lnx1），故当x（0，）时，h（x）0，h（x）为减函数，当x（，+）时，h（x）0，h（x）为增函数，故hmin（x）=h（）=，故t；（）由（I）知，f（x）=1nx，（x0）=，令其为0可得x=m，或x=，（1）当时，m=1，F（x）0，函数在（0，2）为增函数，无极值点；（2）当，且m，即m1时，可知函数有两个极值点；（3）当，或，即0m，或m2时，可知函数有一个极值点点评：本题考查函数取极值点的条件，涉及函数恒成立问题和分类讨论的思想，属中档题14页