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2019学年北师大版数学精品资料第二章单元综合检测(一)(时间120分钟满分150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)12014福建省福州一中月考已知向量a(1，2,1)，ab(3，6,3)，则b等于()A(2，4,2) B(2,4,2)C(2,0，2) D(2,1，3)解析：本题主要考查空间向量的坐标运算b(ab)a(3，6,3)(1，2,1)(2，4,2)，故选A.答案：A2已知a(2,4,5)，b(3，x，y)，若ab，则()Ax6，y15 Bx3，yCx3，y15 Dx6，y解析：ab，存在实数，使，.答案：D3已知空间三点A(0,2,3)，B(2,1,6)，C(1，1,5)若|a|，且a分别与，垂直，则向量a为()A(1,1,1)B(1，1，1)C(1,1,1)或(1，1，1)D(1，1,1)或(1,1，1)解析：设a(x，y，z)，(2，1,3)，(1，3,2)，又|a|，a，a，或a(1,1,1)或a(1，1，1)答案：C4已知A(1,0,1)，B(0,0,1)，C(2,2,2)，D(0,0,3)，则sin，等于()A BC D解析：(1,0,0)，(2，2,1)，cos，sin，.答案：C52014广东高考已知向量a(1,0，1)，则下列向量中与a成60夹角的是()A(1,1,0) B(1，1,0)C(0，1,1) D(1,0,1)解析：经检验，选项B中向量(1，1,0)与向量a(1,0，1)的夹角的余弦值为，即它们的夹角为60，故选B.答案：B6若平面的法向量为n，直线l的方向向量为a，直线l与平面的夹角为，则下列关系式成立的是()Acos BcosCsin Dsin解析：若直线与平面所成的角为，直线的方向向量与该平面的法向量所成的角为，则90或90，cos，sin|cos|.答案：D7若两点A(x,5x,2x1)，B(1，x2,2x)，当|取最小值时，x的值等于()A19 BC D解析：(1x,2x3，3x3)，则|.故当x时，|取最小值答案：C82014福建省泉州一中期末考试结晶体的基本单位称为晶胞，如图是食盐晶胞的示意图，其中点代表钠原子，黑点代表氯原子建立空间直角坐标系Oxyz后，图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是()A(，1) B(0,0,1)C(1，1) D(1，)解析：本题主要考查空间直角坐标系中点的坐标的探求观察图形，可知图中最上层中间的钠原子所在位置的坐标是(，1)，故选A.答案：A92014北京东城区期末统考如图，空间四边形ABCD的四条边及对角线长都是a，点E，F，G分别是AB，AD，CD的中点，则a2等于()A2 B2C2 D2解析：本题主要考查空间向量的数量积因为22()222a2cos602a2a2，所以排除A；22()()2a2cos60a2，故选B.答案：B10在直三棱柱ABCA1B1C1中，若BAC90，ABACAA1，则异面直线BA1与AC1所成的角等于()A30 B45C60 D90解析：建系如右图，设AB1，则B(1,0,0)，A1(0,0,1)，C1(0,1,1)(1,0,1)，(0,1,1)cos，.，60，即异面直线BA1与AC1所成的角等于60.答案：C112014湖南省雅礼中学月考已知正方体ABCDA1B1C1D1中，P，M为空间任意两点，如果有764，那么M必()A在平面BAD1内 B在平面BA1D内C在平面BA1D1内 D在平面AB1C1内解析：本题主要考查四点共面的判断方法由于76464646()4()1164，于是M，B，A1，D1四点共面，故选C.答案：C12如右图所示，在四面体PABC中，PC平面ABC，ABBCCAPC，那么二面角BAPC的余弦值为()A BC D解析：如图所示，作BDAP于D，作CEAP于E，设AB1，则易得CE，EP，PAPB，可以求得BD，ED.，2222222.，cos，即二面角BAPC的余弦值为.答案：C二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13直三棱柱ABCA1B1C1中，若a，b，c，则_.解析：如图，bac.答案：abc142014甘肃省兰州一中期末考试已知向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，且kab与2ab互相垂直，则k_.解析：本题主要考查空间向量的数量积向量a(1,1,0)，b(1,0,2)，所以kab(k1，k,2)，2ab(3,2，2)，因为kab与2ab互相垂直，所以(kab)(2ab)0，所以3(k1)2k40，解得k.答案：15在直三棱柱ABCA1B1C1中，ABC90，ABBCAA12，点D是A1C1的中点，则异面直线AD和BC1所成角的大小为_解析：建立如图所示坐标系，则(1,1，2)，(0,2，2)，cos，.即异面直线AD和BC1所成角的大小为.答案：16如右图所示，已知二面角l的平面角为，ABBC，BCCD，AB在平面内，BC在l上，CD在平面内，若ABBCCD1，则AD的长为_解析：因为，所以22222221112cos()32cos.所以|，即AD的长为.答案：三、解答题(本大题共6小题，共70分)17(10分)如右图，已知ABCDA1B1C1D1是平行六面体设M是底面ABCD的中心，N是侧面BCC1B1对角线BC1上的分点，设，试求、的值解：()()()()，.18(12分)如图所示，平行六面体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别在B1B和D1D上，且BEBB1，DFDD1.证明：A，E，C1，F四点共面证明：ABCDA1B1C1D1是平行六面体，()().由向量共面的充要条件知A，E，C1，F四点共面19(12分)如图，正三棱柱ABCA1B1C1中，底面边长为. (1)设侧棱长为1，求证：AB1BC1；(2)设AB1与BC1的夹角为，求侧棱的长解：(1)，.BB1平面ABC，0，0.又ABC为正三角形，.()()2|cos，2110，AB1BC1.(2)结合(1)知|cos，221.又|，cos，得24，|2，即侧棱长为2.20(12分)2014广东省佛山一中期中考试如图，SA平面ABC，ABBC，SAABBC.(1)求异面直线SC与AB所成角的余弦值；(2)用空间向量的方法证明：BC平面ABS.解：以点A为坐标原点，建立如下图所示的空间直角坐标系设SAABBCa，则B(a，a,0)，C(0，a,0)，S(0,0，a)(1)(a，a,0)，(0，a，a)cos，故SC与AB所成角的余弦值为.(2)由于(a，a,0)，(0,0，a)，(a，a,0)，显然，0，0.即ABBC，ASBC，又ABASA，故BC平面ABS.21. (12分)2014山东高考如图，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，底面ABCD是等腰梯形，DAB60，AB2CD2，M是线段AB的中点(1)求证：C1M平面A1ADD1；(2)若CD1垂直于平面ABCD且CD1，求平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值解：(1)证明：因为四边形ABCD是等腰梯形，且AB2CD，所以ABDC，又由M是AB的中点，因此CDMA且CDMA.连接AD1，在四棱柱ABCDA1B1C1D1中，因为CDC1D1，CDC1D1，可得C1D1MA，C1D1MA，所以四边形AMC1D1为平行四边形因此C1MD1A，又C1M平面A1ADD1，D1A平面A1ADD1，所以C1M平面A1ADD1.(2)法一：连接AC，MC，由(1)知CDAM且CDAM，所以四边形AMCD为平行四边形可得BCADMC，由题意ABCDAB60，所以MBC为正三角形，因此AB2BC2，CA，因此CACB.以C为坐标原点，建立如图所示的空间直角坐标系Cxyz.所以A(，0,0)，B(0,1,0)，D1(0,0，)，因此M，所以，.设平面C1D1M的法向量n(x，y，z)，由得可得平面C1D1M的一个法向量n(1，1)又(0,0，)为平面ABCD的一个法向量因此cos，n.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.法二：由(1)知平面D1C1M平面ABCDAB，过C向AB引垂线交AB于N，连接D1N.由CD1平面ABCD，可得D1NAB，因此D1NC为二面角C1ABC的平面角在RtBNC中，BC1，NBC60，可得CN.所以ND1.在RtD1CN中，cosD1NC.所以平面C1D1M和平面ABCD所成的角(锐角)的余弦值为.22(12分)如图，在四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，BAD60，Q为AD的中点(1)若PAPD，求证：平面PQB平面PAD；(2)点M在线段PC上，PMtPC，试确定t的值，使PA平面MQB；(3)在(2)的条件下，若平面PAD平面ABCD，且PAPDAD2，求二面角MBQC的大小解：(1)证明：连接BD，ADAB，BAD60，ABD为正三角形Q为AD的中点，ADBQ.PAPD，Q为AD的中点，ADPQ.又BQPQQ，AD平面PQB.AD平面PAD，平面PQB平面PAD.(2)连接AC，交BQ于N.由AQBC，可得ANQCNB，.PA平面MQB，PA平面PAC，平面PAC平面MQBMN，PAMN.，即PMPC，t.(3)由PAPDAD2，Q为AD的中点，则PQAD，又平面PAD平面ABCD，PQ平面ABCD.以Q为坐标原点，分别以QA、QB，QP所在的直线为x，y，z轴，建立如图所示的坐标系，则各点的坐标分别为A(1,0,0)，B(0，0)，Q(0,0,0)，P(0,0，)设平面MQB的法向量为n(x，y,1)，可得PAMN，解得n(，0,1)取平面ABCD的法向量m(0,0,1)，cosm，n，故二面角MBQC的大小为60.
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