解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略

解决排列组合中涂色问题的常 见方法及策略解决排列组合中涂色问题的常见方法及策略与涂色问题有关的试题新颖有趣，其中包含着 丰富的数学思想。解决涂色问题方法技巧性强且 灵活多变，故这类问题的利于培养学生的创新思 维能力、分析问题与观察问题的能力，有利于开 发学生的智力。本文拟总结涂色问题的常见类型 及求解方法。一、区域涂色问题1、根据分步计数原理，对各个区域分步涂色，这是处理染色问题的基本方法。例1、用5种不同的颜色给图中标、的各部分涂色，每部分只涂一种颜色， 相邻部分涂不同颜色，则不同的涂色方法 有多少种？分析：先给号区域涂色有 5种方法，再给号涂色有4种方法，接着给号涂色方法有 3种，由于号与、不相邻，因此号有 4种 涂法，根据分步计数原理，不同的涂色方法有5 4 3 4 二 2402、根据共用了多少种颜色讨论，分别计算出 各种出各种情形的种数，再用加法原理求出 不同的涂色方法种数。例2、（ 2003江苏卷）四种不同的颜色涂在 如图所示的6个区域，且相邻两个区域不能 同色。分析：依题意只能选用4种颜色，要分四类：（1）与同色、与同色，则有；I（2）与同色、与同色、则有;（3）与同色、与同色，则有 a4 ；（4）与同色、 与同色，则有心（5）与同色、与同色，则有 犹； 所以根据加法原理得涂色方法总数为 5 a： =120 例3、（2003年全国高考题）如图所示，一个地 区分为5个行政区域，现给地图着色，要求相邻 区域不得使用同一颜色，现有 4种颜色可供选 择，则不同的着方法共有多少种？分析：依题意至少要用3种颜色1）当先用三种颜色时，区域2）区域3与5必须同色，故有A种；3）当用四种颜色时，若区域2与4同色，4）则区域3与5不同色，有种；若区域3 与5同色，则区域2与4不同色，有种， 故用四种颜色时共有2a4种。由加法原理 可知满足题意的着色方法共有A+2 A =24+2 24=723、根据某两个不相邻区域是否同色分类讨 论，从某两个不相邻区域同色与不同色入 手，分别计算出两种情形的种数，再用加法 原理求出不同涂色方法总数。例4用红、黄、蓝、白、黑五种颜色涂在如 图所示的四个区域内，每个区域涂一种颜 色，相邻两个区域涂不同的颜色，如果颜色 可以反复使用，共有多少种不同的涂色方 法？分析：可把问题分为三类：（1）四格涂不同的颜色，A54 ；（2）有且仅两个区域相同的颜色，即只有一组对角小方格涂相同的颜色，涂 法种数为1 22C5A4 ;5）两组对角小方格分别涂相同的颜色，涂法种数为A2，因此，所求的涂法种数为A2 +2C5 +A2 =2604、根据相间区使用颜色的种类分类例5如图，6个扇形区域A、B、C、_D、E、 F，现给这6个区域着色，要求同一区域外 同一种颜色，相邻的两个区域不得使用同一） 种颜色，现有4种不同的颜色可解（1）当相间区域A、C、E着同一种颜色时，有4种着色方法，此时，B、D、F各有3 种着色方法，此时，B、D、F各有3种着色方法故有4 3 3 3 =108种方法。（2）当相间区域A、C、E着色两不同的颜色时，有cM：种着色方法，此时B、D、F有3 2 2种着色方法，故共有 C；A： 3 2 2 =432种 着色方法。（3）当相间区域A、C、E着三种不同 的颜色时有A3种着色方法，此时 B、D、F 各有2种着色方法。此时共有A4 2 2 2 =192种 方法。故总计有108+432+192=732种方法。说明：关于扇形区域区域涂色问题还可以用 数列中的递推公来解决。女口：如图，把一个圆分成n（n_ 2个扇形， 每个扇形用红、白、蓝、黑四色之一染色.爲 要求相邻扇形不同色，有多少种染色方法? 解：设分成n个扇形时染色方法为Y种乡A（1）当 n=2 时 a、A?有 a4=12 种，即 a2=12（2）当分成n个扇形，如图，a与A2不 同色，A2与A不同色，An与州不同色，共有4严种染色方法，但 由于A与A邻，所以应排除A与A同色的情形；An与 A同色时，可把A”、 A看成一个扇形，与前n_2个 扇形加在一起为n-1个扇形，此时有a”种染色法， 故有如下递推关系：an =43心-ann 4n -2n -1an = 一an j 4 3an4 3) 4 3= anN4 3n4 3n = -an j 4 3n -4 34 3nJ4 3心一32 III （-苗 3= （1）n 3 3n二、点的涂色问题方法有：（1）可根据共用了多少种颜色分类讨 论，（2）根据相对顶点是否同色分类讨论，（3） 将空间问题平面化，转化成区域涂色问题。例6、将一个四棱锥S-ABCD的每个顶点染上一 种颜色，并使同一条棱的两端点异色，如果只 有5种颜色可供使用，那么不同的染色方法的 总数是多少？解法一：满足题设条件的染色至少要用三种颜 色。（1）若恰用三种颜色，可先从五种颜 色中任选一种染顶点 S,再从余下的 四种颜色中任选两种涂 A、B、C、D 四点，此时只能A与C、B与D分别 同色，故有C：Af=60种方法。（2）若恰用四种颜色染色，可以先从 五种颜色中任选一种颜色染顶点 S， 再从余下的四种颜色中任选两种染 A 与B,由于A、B颜色可以交换，故有兀种染法；再从余下的两种颜色中 任选一种染D或C,而D与C,而D 与C中另一个只需染与其相对顶点 同色即可，故有c5a2c2c2 =240种方法。（3）若恰用五种颜色染色，有 A5=120种 染色法综上所知，满足题意的染色方法数为 60+240+120=420种。解法二：设想染色按 SAB C D的 顺序进行，对S、A、B染色，有5 4 3 = 60种染色 方法。由于C点的颜色可能与A同色或不同色，这影响到 D点颜色的选取方法数，故 分类讨论：C与A同色时（此时C对颜色的选取方 法唯一），D应与A（C）、S不同色，有3种选 择；C与A不同色时，C有2种选择的颜色，D 也有2种颜色可供选择，从而对 C、D染色有 1 3 2 2 =7种染色方法。由乘法原理，总的染色方法是60 7 =420 解法三：可把这个问题转化成相邻区域不同色问对这五个区域用5种颜色涂色，有多少种不同的 涂色方法？解答略。三、线段涂色问题对线段涂色问题，要注意对各条线段依次涂色，主要方法有：1）根据共用了多少颜色分类讨论2）根据相对线段是否同色分类讨论。例7、用红、黃、蓝、白四种颜色涂矩形ABCD的四条边，每条边只涂一种颜色，且使相邻两边涂不同的颜色，如果颜色可 以反复使用，共有多少种不同的涂色方 法？解法一：（1）使用四颜色共有A4种（2）使用三种颜色涂色，则必须将一组对边染成同色，故有c：c；a2种，（3）使用二种颜色时，则两组对 边必须分别同色，有a：种因此，所求的染色方法数为A4 MCA2 +A： =84 币中解法二：涂色按 AB BC CD DA的顺 序进行，对AB、BC涂色有4 3 = 12种涂色方 法。由于CD的颜色可能与AB同色或不同色， 这影响到DA颜色的选取方法数，故分类讨 论：当CD与AB同色时，这时CD对 颜色的选取方法唯一，则DA有3种颜色可 供选择CD与AB不同色时，CD有两种可 供选择的颜色，DA也有两种可供选择的颜 色，从而对 CD、DA涂色有1 3 2 2 = 7种涂 色方法。由乘法原理，总的涂色方法数为12 7 = 84种 例8、用六种颜色给正四面体A-BCD的每 条棱染色，要求每条棱只染一种颜色且共顶点的 棱涂不同的颜色，问有多少种不同的涂色方法？ 解：（1）若恰用三种颜色涂色，则每组对 棱必须涂同一颜色，而这三组间的颜色不同， 故有A种方法。（2）若恰用四种颜色涂色，则三组对棱中 有二组对棱的组内对棱涂同色，但组与组 之间不同色，故有c：A种方法。（3）若恰用五种颜色涂色，则三组对 棱中有一组对棱涂同一种颜色， 故有C3Y种方法。（4）若恰用六种颜色涂色，则有 A种 不同的方法。综上，满足题意的总的染色方法数为 A, C3A6 c1a| =4080 种。四、面涂色问题例9、从给定的六种不同颜色中选用若干种颜 色，将一个正方体的6个面涂色，每两个具有 公共棱的面涂成不同的颜色，则不同的涂色方 案共有多少种？分析：显然，至少需要3三种颜色，由于有多 种不同情况，仍应考虑利用加法原 理分类、 乘法原理分步进行讨论解：根据共用多少种不同的颜色分类讨论（1）用了六种颜色，确定某种颜色所涂面为下底面，则上底颜色可有5种选择，在上、下 底已涂好后，再确定其余4种颜色中的某一种 所涂面为左侧面，则其余3个面有3!种涂色 方案，根据乘法原理n= 5 3! = 30（2）共用五种颜色，选定五种颜色有 C；=6种 方法，必有两面同色（必为相对面），确定为 上、下底面，其颜色可有5种选择，再确定一 种颜色为左侧面，此时的方法数取决于右侧面的颜色，有3种选择(前后面可通过翻转交换)5% = C65 3 = 90(3)共用四种颜色，仿上分析可得42门3 = C6 C4 = 90(4)共用三种颜色,5七20例10、四棱锥PABCD，用4种不同的颜色解：这种面的涂色问题可转化为区域涂色问 题，如右图，区域1、2、3、4相当于四个侧面， 区域5相当于底面；根据共用颜色多少分类：(1) 最少要用3种颜色，即1与3同色、2与4同色，此时有氏种；(2) 当用4种颜色时，1与3同色、2与 4两组中只能有一组同色，此时有c2a44 ;故满足题意总的涂色方法总方法交总数为疋 +C2H =72