资源描述
一.随机变量的定义& 二.分布函数的定义& 三.连续型随机变量的定义& 四.随机变量函数的分布1 随机变量随机变量实例实例: 做试验抛一枚均匀硬币，其样本空间做试验抛一枚均匀硬币，其样本空间 H,T 可规定映射可规定映射 XX( ) T0H1，XR ：随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。随机变量实际上是定义在样本空间上的一个实函数。(p26)定义定义. . 设设= 是试验的样本是试验的样本空间，如果量空间，如果量X X是定义在是定义在上的一个上的一个单值实值函数，即对于每一个单值实值函数，即对于每一个 ，有唯一确定的实数，有唯一确定的实数X=X(X=X() )与之对与之对应，则称应，则称X X为为随机变量随机变量。随机变量随机变量常用常用X X、Y Y、Z Z 或或 、 、 等等表示。记为表示。记为r.v.Xr.v.X等。等。引入随机变量的意义引入随机变量的意义: : 1.1.将随机试验的结果数量化。将随机试验的结果数量化。2. 描述随机事件描述随机事件. . 几何意义：几何意义：XR例例1 1：引入适当的随机变量描述下列事件：引入适当的随机变量描述下列事件：将将3 3个球随机地放入三个格子中，事件个球随机地放入三个格子中，事件A=A=有有1 1个空格个空格 ，B=B=有有2 2个空格个空格 ，C=C=全有球全有球 。进行进行5 5次试验，事件次试验，事件 D=D=试验成功一次试验成功一次 ，F=F=试验至少成功一次试验至少成功一次 ，G=G=至多成功至多成功3 3次次 解：解： 设设X X为将为将3 3个球随机地放入三个格子后的个球随机地放入三个格子后的空格数，则空格数，则A=X=1A=X=1，B=X=2B=X=2，C=X=0C=X=0 设设Y Y为进行为进行5 5次试验中成功的次数，则次试验中成功的次数，则D=Y=1D=Y=1，F=YF=Y 1,G=Y1,G=Y 33随机变量的分类随机变量的分类奇异型（混合型）连续型非离散型离散型随机变量 随机变量随机变量2 离散型随机变量的分布律离散型随机变量的分布律(P27) 定义定义若随机变量若随机变量X取值取值x1, x2, , xn, ，且取这些且取这些值的概率依次为值的概率依次为p1, p2, , pn, , 则称则称PX=xk=pk, (k=1, 2, ) 为为X的的分布律分布律。可表为可表为 X X PX=xPX=xk k=p=pk k, (k=1, 2, ), (k=1, 2, )，或或 XX Xx x1 1 x x2 2x xK KP Pk kp p1 1p p2 2p pk k2 , 1 , 0.35332kCCCkXPkk例例1 设袋中有设袋中有5只球，其中有只球，其中有2只白只白3只黑。现从只黑。现从中任取中任取3只球只球(不放回不放回)，求抽得的白球数，求抽得的白球数X的的分布分布律律。解解: X的可能取值为的可能取值为0，1，2(1) pk 0, k1, 2, ;(2) 1.1kkp 分布律的性质分布律的性质例例3 3 设随机变量设随机变量X X的分布律为的分布律为03. 01 . 012. 03 . 02 . 015. 01 . 06543210试求试求: :)3(),52(),4(XPXPXP( , )( , )()iixa bP Xa bP Xx解解：0.87 0.72 0.7对离散型随机变量来说对离散型随机变量来说, ,概率分布律可以完全概率分布律可以完全描述它的统计规律描述它的统计规律. .换句话说换句话说, ,已知分布律已知分布律, ,就就可以求出各种概率可以求出各种概率. .几种常用的离散型随机变量几种常用的离散型随机变量1. (0-1)分布分布(p28)若若X只能取只能取0、1两个值，且两个值，且 分布律为分布律为 PXkpk(1p)1k, k0,1。 (0p1)则称则称X服从参数为服从参数为p的的01分布或两点分布。分布或两点分布。即即Xkp10pp12. 二项分布二项分布 贝努利试验：若试验贝努利试验：若试验E E只有两个结果，记为只有两个结果，记为.AA、 n重贝努利试验：独立重复的进行重贝努利试验：独立重复的进行n次贝努利试验。次贝努利试验。a. 每次试验均为贝努利试验，只有两个结果。每次试验均为贝努利试验，只有两个结果。b. 重复，指每次试验重复，指每次试验P(A)不变，为定值。不变，为定值。c. 独立，指某次试验事件独立，指某次试验事件A发生与否与其它次试验发生与否与其它次试验 事件事件A发生与否互不影响。发生与否互不影响。问题问题：设设X为为n重贝努利试验中事件重贝努利试验中事件A发生的次发生的次数，数，且且 P(A)=p，求，求r.v.X的分布律。的分布律。解：解： r.v.X 的可能取值为的可能取值为0，1，n设设A Ai i=“=“第第i i次试验事件次试验事件A A发生发生”，i=1,2,i=1,2,n.,n.且且P(AP(Ai i)=p)=p111212121()0,1,kKnkKknnknKnXkAA AAA AA AAAA AAAAkn 12111()()()(1)knknkkKniiiikP A AA AAP AP APp()(1)0,1,kkn knP XkC Ppkn若以若以X表示表示n重重贝努里试验中事件贝努里试验中事件A发生的次数，发生的次数，P(A)=p, 则称则称X服从参数为服从参数为n,p的二项分布。的二项分布。记作记作Xb(n,p), 其分布律为：其分布律为：).1 , 0( ,)1 (nkppkXPknkknC例例2 2 掷一颗掷一颗骰骰子子1010次，求（次，求（1 1）双数点出现）双数点出现6 6次的概率？次的概率？（2 2）“3”3”点出现两次的概率？点出现两次的概率？解解：(1)(1)设设X X表出现双数点的次数，则表出现双数点的次数，则X Xb(10，1/2） 所求概率：所求概率：102161061021621610)()()()6(CCXP (2) 设设Y Y表出现表出现“3”3”点的次数，则点的次数，则Y Yb(10，1/6） 所求概率为：所求概率为：865261210)()()2(CYP 例例3 某人射击的命中率为某人射击的命中率为0.02，他独立射击，他独立射击400次，试次，试求其命中次数不少于求其命中次数不少于2的概率。的概率。解解: 设设X表示表示400次独立射击中命中的次数，次独立射击中命中的次数，则则Xb(400, 0.02)，故故PX 21 PX0P X110.98400(400)(0.02)(0.98399)0.997165.几个二项分布的分布律图示几个二项分布的分布律图示 3. 泊松泊松(Poisson)分布分布(p30)(p30) 定义：若定义：若r.v.Xr.v.X的分布律为的分布律为： XPXk , ekk!k0, 1, 2,其中其中 (0)则称则称r.v.X服从参数为服从参数为 的的泊松分布。泊松分布。记为：记为：( )X 例例4 4: : 某信息服务台在一分钟内接到的问讯次数某信息服务台在一分钟内接到的问讯次数X X服从服从参数为参数为 的泊松分布的泊松分布, ,已知任一分钟内无问讯的概率为已知任一分钟内无问讯的概率为e e-6-6, ,求在指定的一分钟内至少有求在指定的一分钟内至少有2 2次问讯的概率。次问讯的概率。解：解： 9826. 06110121260),(6666 eeXPXPXPXPeeeXPX 即即且且例例5 5：设书中每一页上印刷错误个数服从参数为设书中每一页上印刷错误个数服从参数为 =1/2的泊松分布，求（的泊松分布，求（1）一页上至少有一处印错的概率？）一页上至少有一处印错的概率？(2) 10页中至多有一页有错的概率？页中至多有一页有错的概率？解解: (1) 设设X为一页上印刷错误的个数，则为一页上印刷错误的个数，则)395. 0 ,10( bY 所求概率为：所求概率为：395. 01)0(1) 1(21eXPXP(2) 设设Y为为10页中有错的页数，则页中有错的页数，则)(21 X 所求概率为：所求概率为：049. 0) 1()0() 1(YPYPYP想一想：离散型随机变量的统计特征可以想一想：离散型随机变量的统计特征可以用分布律描述，非离散型的该如何描述？用分布律描述，非离散型的该如何描述？如：熊猫彩电的寿命如：熊猫彩电的寿命X X是一个随机变量，事是一个随机变量，事件件X=5X=5年年 的概率为多少呢？的概率为多少呢？这相当于，只要知道，对任意实数这相当于，只要知道，对任意实数x x，事件，事件XX xx的概率的概率. . aXbXbXa描述非离散随机变量统计特征，我们讨论它落描述非离散随机变量统计特征，我们讨论它落在某区间的概率。在某区间的概率。3 随机变量的分布函数随机变量的分布函数(P31) 定义定义(P31)(P31) 设设X X是随机变量，是随机变量，x是是任意实数任意实数, ,函数函数F(x)PX x称为随机变量称为随机变量X X的的分布函数分布函数。 易知，对任意实数易知，对任意实数a, b (ab), P aX bPX bPX a F(b)F(a).xRX反之，具有上述三个性质的实函数，必是某反之，具有上述三个性质的实函数，必是某个随机变量的分布函数。故该三个性质是个随机变量的分布函数。故该三个性质是分布函数的充分必要性质分布函数的充分必要性质。分布函数的性质分布函数的性质(P31)(P31) 1、单调不减性单调不减性：若：若x1x2, 则则F(x1) F(x2); 2、归一归一 性性：对任意实数：对任意实数x，0 F(x) 1，且，且 ; 1)(lim)(, 0)(lim)(xFFxFFxx).()(lim) 0(000 xFxFxFxx3、右连续性右连续性：对任意实数：对任意实数x0，例例1: 设随机变量设随机变量X分布律分布律如右表如右表解解: )(xFx0112( )F xP XxX012P0.1 0.60.3试求出试求出X的分布函数。的分布函数。当当 x0 x0 时时, F(, F(x x)=0)=0当当0 x10 x1 时时, , F(F(x x)=PX)=PXx x=PX=0=0.1=PX=0=0.1当当1x21x2 时时, , F(F(x x)=PX)=PXx x=PX=0+PX=1=0.1+0.6=0.7=PX=0+PX=1=0.1+0.6=0.7当当x2x2 时时, F(, F(x x)=PX)=PXx x=PX=0+PX=1+PX=2=1=PX=0+PX=1+PX=2=1xxx一般地，对离散型随机变量一般地，对离散型随机变量 XPX= xkpk, k1, 2, 其分布函数为其分布函数为 :( )kkk xxF xP Xxp离散型随机变量的分布函数是阶梯函数离散型随机变量的分布函数是阶梯函数, 分布分布函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值函数的跳跃点对应离散型随机变量的可能取值点点, 跳跃高度对应随机变量取对应值的概率跳跃高度对应随机变量取对应值的概率;反之反之, 如果某随机变量的分布函数是阶梯函数如果某随机变量的分布函数是阶梯函数,则该随机变量必为离散型则该随机变量必为离散型.利用分布函数计算概率的一些公式利用分布函数计算概率的一些公式)()()()1(aFbFbXaP )0()()()()()3(limlim aFaFxFxFaXPaxax)(1)()2(aFaXP )0()()4( aFaXP例例2：设离散设离散r.v. X的分布函数为：的分布函数为：1 11 2010122()123233AxxFxxxBx求求 r.v.X的分布律，并求的分布律，并求3,0.5,24P XP XPX解：解：1)(, 0)( BFAFX0123kP2161411213/1)02()04(42,215 . 0, 13 FFXPXPXP例例3: 向向0,1区间随机抛一质点，以区间随机抛一质点，以X表示质点坐表示质点坐标标.假定假定质点落在质点落在0,1区间内任一子区间内的概率区间内任一子区间内的概率与区间长成正比与区间长成正比，求，求X的分布函数的分布函数0,0( )(),011,1xF xP Xxxxx)(xFx101当当x1时时,F(x)=1 当当0 x1时时,kxxXPxF0)(特别特别,F(1)=P0X1=k=1F(x)=PXx解：解：1. 定义定义 对于随机变量对于随机变量X，若存在非负函数，若存在非负函数f(x)，(- x+ )，使对任意实数，使对任意实数x，都有，都有( )()( )xF xP Xxf u du则称则称X为连续型随机变量，为连续型随机变量， f(x)为为X的的概率密度概率密度函数函数，简称概率密度或密度函数，简称概率密度或密度函数. 常记为常记为: X f(x) , (- x+ )4 连续型随机变量及其概率密度连续型随机变量及其概率密度(P34)一、概率密度一、概率密度(P34)(P34) (2). 密度函数的密度函数的几何意义几何意义为为 bduufbXP)()(1). F(x)是连续函数。是连续函数。2. 密度函数的性质密度函数的性质 (p34)(p34) (1) 非负性非负性 f(x) 0，(- x )； (2) 归一性归一性.1)(dxxf性质性质(1)、(2)是密度函数的充要性质；是密度函数的充要性质； xaexf)(设随机变量设随机变量X的概率密度为的概率密度为求常数求常数a.答答:21a(3) 若若x是是f(x)的连续点，则的连续点，则)()(xfdxxdF 设随机变量设随机变量X的分布函数为的分布函数为求求f(x)0211021)(xexexFxx（4 4） 对任意实数对任意实数b b，若，若X X f(x)f(x)，(- (- xx ) )，则，则PX=PX=b b 0 0。于是于是badxxfbXaPbXaPbXaP)( 111000)()()3(75. 02)(35 . 0)2(112)()1(235 . 015 . 010 xxxxdttfxXPxFxdxdxxfXPAAxdxdxxfx 例例1：已知随机变量：已知随机变量X的概率密度为的概率密度为（1）求参数）求参数A. (2) P0.5X3. (3) 求分布函数求分布函数F(X). 2010Axxf x其他解：解： 若若Xf(x) 1,0axbba， 其 它。0ab1( )ddccdcP cXdf x dxdxb ab a) x ( fx则称则称X在在(a, b)内服从内服从均匀分布。记作均匀分布。记作 XU(a, b) 对任意实数对任意实数c, d (acd0 的的指数分布。指数分布。 其分布函数为其分布函数为)x(fx01,0( )0,0 xexF xx 2. 指数分布指数分布(p37)例例3. 电子元件的寿命电子元件的寿命X(X(年）年）服从参数为服从参数为3 3的指数分布的指数分布(1) (1) 求该电子元件寿命超过求该电子元件寿命超过2 2年的概率。年的概率。(2) (2) 已知该电子元件已使用了已知该电子元件已使用了1.51.5年，求它还能使用年，求它还能使用两年的概率为多少？两年的概率为多少？解解: : , 0003)(xxexf3 3x x6 62 23 3x xe ed dx x3 3e e2 2 P P X X) 1 (5 . 1|5 . 3)2( XXP61.53x3.53xedx3edx3e5 . 15 . 1, 5 . 3 XPXXP例例4 4. .某公路桥每天从零时刻开始到第一辆汽车过某公路桥每天从零时刻开始到第一辆汽车过桥经过的时间为桥经过的时间为T T，设每，设每t t时段内过桥的汽车数时段内过桥的汽车数X Xt t服服从参数为从参数为 t t的泊松分布，求的泊松分布，求T T的概率密度。的概率密度。解解: :t t P P T TF F( (t t) )当当t 0时，时，0F(t) 当t 0时， t tT TP PF F( (t t) ) t tT TP P1 1 =1-P在在0 0，t t时段内无汽车过桥时段内无汽车过桥PXt01te 1于是于是 000)( )(ttetFtft 正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上正态分布是实践中应用最为广泛，在理论上研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特研究最多的分布之一，故它在概率统计中占有特别重要的地位。别重要的地位。ABA，B间真实距离为间真实距离为 ，测量值为，测量值为X。X的概率密度应该是什么形态？3. 正态分布正态分布(p38)其中其中 为实数，为实数， 0 ，则称，则称X服从参数为服从参数为 , 2的的正态正态分布分布,记为记为N( , 2)，可表为，可表为XN( , 2). P(35)若随机变量随机变量22()21( ),2xXf xexR (1) 单峰对称单峰对称 密度曲线关于直线密度曲线关于直线x= 对称对称；(p36)f( )maxf(x) 21正态分布有两个特性正态分布有两个特性：(2) 的大小直接影响概率的分布的大小直接影响概率的分布 越大，曲线越平坦越大，曲线越平坦， 越小，曲线越陡峭越小，曲线越陡峭。正态分布也称为高斯正态分布也称为高斯(Gauss)分布分布 参数参数 0， 21的正态分布称为的正态分布称为标准正态分标准正态分布，记作布，记作XN(0, 1)。4. 标准正态分布标准正态分布(p39)221( ),.2xxex 分布函数表示为分布函数表示为2122( ),txxP Xxedtx 其其密度函数密度函数表示为表示为一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表一般的概率统计教科书均附有标准正态分布表供读者查阅供读者查阅 (x)的值。的值。(P268附表附表1)如，若如，若XN(0,1), (0.5)=0.6915,P1.32X2.43=(2.43)-(1.32)=0.9925-0.9066正态分布表注注：(1) (x)1 (x)； (2) 若若XN( , 2)，则，则).()( xxXPxF例例5 5 设设 X X N(N( , , 2 2),),求求PP -3-3 XX3|3的值的值. . 如在质量控制中，常用标准指标值如在质量控制中，常用标准指标值3 3 作两条线，作两条线，当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报当生产过程的指标观察值落在两线之外时发出警报. .表明生产出现异常表明生产出现异常. . 例例6 一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态一种电子元件的使用寿命（小时）服从正态分布分布(100,15(100,152 2), ),某仪器上装有某仪器上装有3 3个这种元件，三个元个这种元件，三个元件损坏与否是相互独立的件损坏与否是相互独立的. .求：使用的最初求：使用的最初9090小时内小时内无一元件损坏的概率无一元件损坏的概率. .解解: 设设Y为为使用的最初使用的最初9090小时内损坏的元件数小时内损坏的元件数, ,2514. 0)67. 0()1510090(90 XPp故故4195. 0)1(03 pYP则则Y Y b(3,p)b(3,p)其中其中正态分布表正态分布表上上 分位点分位点: 设设 XN(0,1)，若对于，若对于 ：0 1，存在，存在,zP Xzz满足则称标准正态分布的上为分位点例例7 查表查表645. 105. 0 Z z性质：性质： ZZ 1 z 1z例例1 已知已知XPk-1 0 1313131求：求：Y=X2的分布律的分布律YPk1 0 32315 随机变量函数的分布随机变量函数的分布(P42)一、离散型随机变量函数的分布律一、离散型随机变量函数的分布律设设X为一个随机变量，分布律为为一个随机变量，分布律为 XPXxkpk, k1, 2, 若若yg(x)是单值实函数，求是单值实函数，求Y g(X)的分布律的分布律.二、连续型随机变量函数的密度函数二、连续型随机变量函数的密度函数1 1、一般方法、一般方法若若X X f(x),-f(x),- x+x+ , Y=g(X), Y=g(X)为随机变量为随机变量X X的函数，的函数， 则可先求则可先求Y Y的分布函数的分布函数 FY (y) PY yP g(X) y y)x(gdx)x(fdyydFyfYY)()( 再求再求Y的密度函数的密度函数此法也叫此法也叫“ 分布函数法分布函数法”例例2 2 设设X X U(-1,1),U(-1,1),求求Y=XY=X2 2的概率密度。的概率密度。 其它其它01121xxfXydxyFyyY 21)(1012( )( )0YYyyfyFy其它当当y0时，时，; 0)( yFY当当0y1时，时，当当y1时，时，1)( yFY解：解： )()(2yXPyYPyFY 例例3 3 设设X X的概率密度为的概率密度为f fX X(x),y=g(x)(x),y=g(x)关于关于x x处处可导且是处处可导且是x x的严格单调减函数，求的严格单调减函数，求Y=g(X)Y=g(X)的概率密度。的概率密度。FY(y)=PYy=Pg(X)y=PXg-1(y)=1-FX(g-1(y)Y Y的概率密度为：的概率密度为：fY(y)=-FX(g-1(y)=fX(g-1(y) g-1(y)dyd解：解：Y Y的分布函数为：的分布函数为：注注：1. 1. 只有当只有当g(x)g(x)是是x x的严格单调可导函数时，才可用的严格单调可导函数时，才可用 以上公式推求以上公式推求Y Y的密度函数。的密度函数。 2. 2. 注意定义域的选择注意定义域的选择. .2 2、公式法：一般地、公式法：一般地 若若X Xf fX X(x), y=g(x)(x), y=g(x)是是严格严格单调可导单调可导函数，则函数，则 | )(|)()()(11ygdydygfyfXgYXY例例4 4 已知已知X X N N( ( , , 2 2),),求求解：解：222222121yyeeXY的概率密度的概率密度. . xy关于关于x严格单调严格单调, 反函数为：反函数为：yygx)(1故故)(| )(|)()(11yfygdydygfyfXXY例例5 5 设设X X U(0,1),U(0,1),求求Y=aX+bY=aX+b的概率密度的概率密度.(a0).(a0)解解: y=ax+b=ax+b关于关于x严格单调严格单调, 反函数为反函数为abyyg)(1故故aabyfygdydygfyfXXY1)(| )(|)()(11而而其它0101)(xxfX故故其它0101)(abyayfY小结小结0 -1 分 布二 项 分 布 B （ n ,p )泊 松 分 布 P ( )离离 散散 型型 分分 布布 律律归 一 性分 布 函 数 与 分 布 律 的 互 变概概 率率 计计 算算分分 布布 函函 数数归 一 性概概 率率 计计 算算单单 调调 性性正 态 分 布 的 概 率 计 算均 匀 分 布 U (a ,b )正 态 分 布 N (a , )指 数 分 布 E （ )连连 续续 型型 概概 率率 密密 度度归归 一一 性性概概 率率 计计 算算分 布 函 数 与 概 率 密 度 的 互 变随随 机机 变变 量量随 机 变 量 函 数 的 分 布 2
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