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考点11 三角函数的图象及性质1.（2010四川高考理科6）将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是（ ）（A） （B） （C） （D）【命题立意】主要考查三角函数图象的平移变换，周期变换.【思路点拨】变换原则：平移变换，左加右减；周期变换为前系数的变换.【规范解答】选C.将函数的图象上所有的点向右平行移动个单位长度，所得函数图象的解析式为，再把所得各点的横坐标伸长到原来的倍（纵坐标不变），所得图象的函数解析式是.故选C.【方法技巧】平移变换是指系数为1时的变换.横坐标伸长到原来的2倍，即的系数变为原来的.2.（2010全国高考卷理科7）为了得到函数的图象，只需把函数的图象（ ）（A）向左平移个长度单位 （B）向右平移个长度单位（C）向左平移个长度单位 （D）向右平移个长度单位【命题立意】本题考查了三角函数的图象平移变换的知识.【思路点拨】运用平移知识解决.【规范解答】 选B 由得2，所以.【方法技巧】当函数解析式中x的系数不是1时，平移变换时要先提出x的系数，此题防止错选D项.平移的方向为 “左加右减”. 3.（2010江西高考文科）如图，四位同学在同一个坐标系中分别选定了一个适当的区间，各自作出三个函数， ，的图象如下.结果发现其中有一位同学作出的图象有错误，那么有错误的图象是（ ）(A) (B)(C) (D)【命题立意】本题主要考查三角函数图象的作图、识图能力.【思路点拨】将三个函数的图象作在同一个坐标系中进行比较即可，或仔细观察四个选项的相同与不同之处.【规范解答】选C.作图，结合选项进行比较，A，B，D相同，只有C不同.【方法技巧】从题设条件出发，结合所学知识点，根据“四选一”的要求，逐步剔除干扰项，从而得出正确的判断.这种方法适应于定性型或不易直接求解的选择题.当题目中的变化情况较多时，先根据某些条件在选择支中找出明显与之矛盾的，予以排除，再根据另一些条件在缩小的选择支的范围内找出矛盾，这样逐步筛选，直到得出正确的选项.它与特例法、图解法等结合使用是解选择题的常用方法，近几年高考选择题中考查较多.4.（2010湖北高考文科2）函数f(x)= 的最小正周期为（ ）(A)(B)(C)2(D)4【命题立意】本题主要考查型函数的周期【思路点拨】型函数的最小正周期.【规范解答】选D.由型函数的最小正周期可得函数f(x)=的最小正周期.【方法技巧】（）型函数的最小正周期；型函数的最小正周期.5.（2010上海高考理科5）“”是“”成立的（ ）（A）充分不必要条件 （B）必要不充分条件（C）充分条件 （D）既不充分也不必要条件【命题立意】本题考查了充要条件、三角函数等有关知识，体现了等价转化的思想【思路点拨】先将等价转化，求出相应的x的值，再与作比较【规范解答】选A. ，所以“”是“”成立的充分不必要条件【方法技巧】（1）,则A是B的充分条件，B是A的必要条件；（2）“”是的充分条件，是的必要条件 第（6）题6.（2010重庆高考理科6）已知函数的部分图象如图所示，则（ ）（A）=1，= （B）=1，= （C）=2，= （D）=2，=【命题立意】本小题考查形如的函数的图象和性质，如周期，平移等，考查运算求解能力，考查数形结合的思想方法.【思路点拨】从图象上找出两个已知点（，1）和是关键.【规范解答】选D .（方法一）观察函数的图象可知，图象过点（，1）和，所以所以（方法二）观察函数的图象可知，是四分之一个周期，所以函数的最小正周期是，所以，排除A，B，再由，所以，选D.【方法技巧】由图象中的条件判断出到 之间的长度是四分之一个周期可以简捷解答.7.（2010江西高考文科）函数的值域为（ ）（A）（B）（C）（D）【命题立意】本题主要考查函数的性质：定义域和值域；考查换元及转化与化归的数学思想，考查考生的运算求解能力【思路点拨】可用换元法转化为二次函数求值域.【规范解答】选C.令则故选C.【方法技巧】求函数的值域一般有以下常见的方法：直接法、公式法、分离变量法、单调性法、反函数法、判别式法、换元法、利用有界性、求导法、利用均值不等式等，平时应认真体会并熟练掌握.8.（2010重庆高考文科6）下列函数中，周期为，且在上为减函数的是（ ）（A） （B）（C） （D）【命题立意】本小题考查形如的函数的性质：周期性、单调性、图象的平移变换等，考查运算求解的能力，考查数形结合的思想.【思路点拨】先根据周期排除几个选项，再根据函数单调性确定选项.【规范解答】选A .因为函数的周期为，所以，排除C,D；再选取你熟悉的正弦或余弦函数，取原点附近的一个减区间，如函数在，即上是减函数，所以在上为减函数；或函数在，即上是减函数，在上是增函数.【方法技巧】（1）采用排除法，分步判断选项.（2）在选取函数的减区间时,注意由正弦或余弦函数的图象平移的方向和最短距离，选取原点右侧的第一个减区间判断.9.（2010江西高考理科）已知函数（1）当时，求在区间上的取值范围（2）当时，求的值【命题立意】本题主要考查二倍角的正弦、余弦和正切、两角差的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力。【思路点拨】（1）先化简，再求取值范围.（）也要先对进行化简，再用二倍角公式求出和的值，最后代入计算.【规范解答】（1）当时，又由得，所以，从而（）+-+，由得=，【方法技巧】三角函数的综合问题是每一年必考的内容，主要考查三角函数的变换.特别是二倍角公式，平时应加强对这些知识点的训练并熟练掌握函数的性质.对于本题第(2)问，应先化简到只含和的形式，再利用条件求解.10.（2010湖北高考文科16）已经函数()函数的图象可由函数的图象经过怎样的变化得出？（）求函数的最小值，并求使取得最小值的的集合.【命题立意】本题主要考查三角函数式的恒等变换、图象变换以及求三角函数的最值，同时考查考生的运算求解能力【思路点拨】() 先将函数解析式等价变形为的形式，再与的解析式对照，比较它们的振幅、周期、相位等写出变化过程.（）将函数变形为或的形式，再利用正、余弦函数的图象和性质求出最小值时x的集合.【规范解答】()，所以要得到的图象只需把的图象向左平移个单位长度，再将所得的图象向上平移个单位长度即可。（），当且仅当Z)时取得最小值，此时对应的的集合为 Z。【方法技巧】1、三角函数中的图象变换问题一般要先将表达式化简到或的形式（两函数所用三角函数要同名），然后再通过比较两函数的振幅、周期、相位等写出变化过程。2、三角函数中的最值问题一般要先借用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数、二倍角公式等化到或的形式，然后结合三角函数的图象和性质求解。11.（2010湖北高考理科16）已知函数，（）求函数的最小正周期.（）求函数的最大值，并求使取得最大值的的集合【命题立意】本题主要考查两角和与差的正、余弦公式、二倍角公式的应用，考查函数=（或=）的最小正周期求法以及利用函数图象求函数值域,考查考生的运算求解能力.【思路点拨】（）将函数化简成的形式，然后利用公式求其最小正周期.（）将函数化简成Acos的形式，然后利用余弦函数的性质求其最大值以及取得最大值的的集合.【规范解答】（），因此的最小正周期为.（），当且仅当Z)时，取得最大值，取得最大值时，对应的的集合为Z【方法技巧】复杂的三角函数问题如求周期、值域等，首先要将函数解析式利用同角三角函数的基本关系式、诱导公式、两角和与差的三角函数公式、二倍角公式等化到最简，然后结合三角函数的图象和性质求解。12.（2010江西高考文科1）已知函数. （1）若，求.（2）若，求的取值范围. 【命题立意】本题主要考查二倍角的正弦、余弦和正切、两角和的正弦、函数的性质、同角三角函数的基本关系等基础知识，考查基本运算能力. 【思路点拨】（1）先对进行化简，再用二倍角公式求出和的值，最后代入计算；（）也要先化简，再求取值范围. 【规范解答】（1），由得，所以.（2）由（1）得，由得，所以从而.【方法技巧】三角函数的综合问题是每一年必考的内容，主要考查三角函数的变换.特别是二倍角公式，平时应加强对这些知识点的训练并熟练掌握函数的性质.对于本题第(1)问，应先化简到只含和的形式，再利用条件求解. - 9 -
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