将数学与艺术结合的丢勒

丢勒的数学与艺术把数学与艺术联系起来可能在很多人看来是天方夜谭。可是几何、代数、为何计算机的数学世界都为艺术家们提供了研究、提高、简化和完善他们的工具。多少世纪以来，艺术家和他们的工作都由于了解和利用数学而受到过影响。其中有一位就是我们熟悉的大师丢勒。他觉得研究数学使艺术获得提高，他还把他所用的数学写成了书，他将数学与艺术结合起来了。数学 透视 艺术数学思想是想象力的虚构物。数学的想法存在于另一世界中，数学的对象是由纯逻辑和创造力产生的，而我们的世界所具体有的只是数学对象的代表物而已。所以，数学与艺术粗看起来是风马牛不相及的事，然而数学与艺术都是美丽的，而且是有内在联系的，数学家兼哲学家罗素说，“数学，从正确的观点来看，它不仅是真理，而且是至上的美丽一种严峻的美，雕刻的美，没有向弱点做任何的迁就；没有音乐和绘画那样的装饰，而是令人惊异的纯真，具有最伟大的艺术品所显示的完美，”而艺术以美的形象、美好的事物、高雅的音律来激发人们的情感，陶冶我们的情操。它们之间纯在着差别，也有着联系。使得数学与艺术之间存在着一种关系数学抽象的思辨，严密的推理，逻辑的论证，精确的计算，总揽全局而又步步为营的思维方式，构造起号称为“思维的体操”的数学大厦。艺术：对哲学思想的变迁和艺术家们对多变的技术环境的反应的最直接的表现形式。是浮想联翩，潇洒不羁，蔑视规律，跳跃的思维律动，弥漫出若即若离的艺术图景。数学与艺术有什么关系很多人都会觉得应该是没有的，但是，仔细考察人类历史和现实，我们不难发现，几乎人类的一切学科领域都或多或少用到数学，艺术也不例外。一个著名的艺术家丢勒为我们展现艺术与数学的关系。一、丢勒简介作为一个文艺复兴时期的人，丢勒相信艺术家必须要深入观察自然和竭力发现宇宙的秘密，以揭示和阿尔布雷希特丢勒（14711528）是一位多才多艺的艺术家。丢勒的父亲有18个孩子，他希望其中继承他的金匠职业的将是阿尔布雷希特。结果丢勒就成了迈尔克沃尔杰默特的学徒，恰巧此人也是一位艺术家。丢勒当了三年学徒后，遍游欧洲，遍工作边学习绘画、雕刻、印刷和木刻，所有这些都影响着他一生的工作。他觉得研究数学使艺术获得提高，特别是几何、透视和一些射影几何概念。他对人体比例也做了大量工作。此外，他还把他所用的数学写成了书。他在数学方面的有些工作是原创而精确的，而其他工作和一些几何结构则是近似的，仅为他的艺术需要服务而已。他在这方面发展出一些有助于艺术家门采用透视画法的机械工具。二、透视的数学原理构图他在意大利旅行时曾学习数学和透视；1506年，他在威尼斯购买了欧几里得的几何原本，在波伦亚学习透视艺术（很可能是向帕西沃里学的）。回德国后，丢勒于1525年以德文出版尺规测量艺术引论，论述介绍线性几何、平面图形、立体图形的有关命题以及透视理论。他所从事的工作具有的数学色彩对他的艺术和其他创作的帮做是无法计量的。并且，他认为，创作一幅画时，应依据透视的数学原理进行构图。例如丢勒的圣徒杰罗姆在书房，在这幅画中就运用了透视的数学原理：平行的直线在像平面的投影交于一点。所有的绘画当中都会用到透视的原理，这说明了透视是绘画的基础，由此可见数学在艺术中的运用的重要性。三、比例研究丢勒的画告诉我们，艺术的创作也是与数学分不开的。在绘画中，人是非常重要的一个创作考虑的元素。由此丢勒开始了对人体比例的研究。丢勒是一位几何学家。他寻求将人体的形状归结为数学原理，这在他的数以百计的素描中得到证明。他的这些比例说明，他企图用科学的方法来人体。而在今天，我们可以清楚的认识到人体结构中的数学关系。人体结构中有许多的比例关系都接近0.618，近年来在研究黄金分割与人体关系时，发现了人体结构中的14个“黄金点”（物体短段与长段之比值为0.618），12个“黄金矩形”（宽与长比值为0.618的长方形）和2个“黄金指数”（两物体间的比例关系为0.618）。黄金点：(1)肚脐：头顶足底之分割点；(2)咽喉：头顶肚脐之分割点；(3)、(4)膝关节：肚脐足底之分割点；(5)、(6)肘关节：肩关节中指尖之分割点；(7)、(8)乳头：躯干乳头纵轴上这分割点；(9)眉间点：发际颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(10)鼻下点：发际颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(11)唇珠点：鼻底颏底间距上1/3与中下2/3之分割点；(12)颏唇沟正路点：鼻底颏底间距下1/3与上中2/3之分割点；(13)左口角点：口裂水平线左1/3与右2/3之分割点；(14)右口角点：口裂水平线右1/3与左2/3之分割点。面部黄金分割律面部三庭五眼黄金矩形：(1)躯体轮廓：肩宽与臀宽的平均数为宽，肩峰至臀底的高度为长；(2)面部轮廓：眼水平线的面宽为宽，发际至颏底间距为长；(3)鼻部轮廓：鼻翼为宽，鼻根至鼻底间距为长；(4)唇部轮廓：静止状态时上下唇峰间距为宽，口角间距为长；(5)、(6)手部轮廓：手的横径为宽，五指并拢时取平均数为长；(7)、(8)、(9)、(10)、(11)、(12)上颌切牙、侧切牙、尖牙（左右各三个）轮廓：最大的近远中径为宽，齿龈径为长。在人体中有各种黄金指数：(1)反映鼻口关系的鼻唇指数：鼻翼宽与口角间距之比近似黄金数；(2)反映眼口关系的目唇指数：口角间距与两眼外眦间距之比近似黄金数。不仅人体有着比例关系，其他的自然的事物也有着大自然所赋予的最美的比例。丢勒曾经研究过画马的比例问题。比如在1505 年创作小马的时候，丢勒就仔细研究了画马的时候采用什么样的比例最好，小马中的那匹马就有着精确的比例塑造。四、透视画法的机械工具既然在艺术创作中可以用到数学理论，可以看出艺术与数学的关系，那么我们是不是可以用数学的仪器来画图，来进行艺术创作呢？丢勒就设计了三种椭圆作图仪器，图左所示齿轮仪器用于画螺线和摆线；图右所示仪器用于画椭圆。丢勒的画家手稿（The Painters Manual）（1538）中创造了许多德文数学术语，如称椭圆为Eierlinie（蛋形线），称双曲线为Gabellinie（叉形线）。他称抛物线为Brennlinie，指的抛物镜的燃烧性质。五、用机械方法作透视画文艺复兴时期的画家们用现实主义手法将三维空间表现在二维的画布上；他们的研究导致了摄影几何学的复兴。下图是丢勒引论中的木刻画，说明他发明的用以将三维物体转化为二维画的仪器：一位画家坐在他的画布前，画布装在用铰链固定在桌面上一个垂直的框架上。桌上放置一把琵琶。他的助手将画布转到一边，并将线的自由端固定在琵琶的某个部位；画家顺着线观看。线经过框架上的某一点，画家用水平和垂直的两根线来固定它。然后松开直线移到琵琶的另一个部位，重复前面的程序。这样，画家渐渐获得了琵琶轮廓的精确透视图。例如丢勒在引论中用机械方法作透视画。用机械方法作透视画就表明艺术创作不仅仅是指表现在用纯手工画，也可以借助其他的外在的东西来画。而丢勒运用的机械方法则表明了数学的仪器在艺术创作中的直接运用。六、丢勒的数学探究（1）多面体的平面展开除了发展出许多创新技术以外，丢勒的声誉还由于他以非集中的形式把立体描绘在平面上。这里是丢勒对一个这样的立体的描绘，一个立体的八面体在经过切割和集中后形成一个平面展开图。（2）丢勒的圆锥曲线阿尔布雷希特丢勒所作的这幅图表明他对圆锥曲线的解释。他的椭圆略带蛋形，这意味着或者他相信截割圆锥的平面的倾角使椭圆在上端稍狭，或者他在计算时稍有错误。不管如何，看看他对椭圆的研究是有趣的。（3）最初的像素他利用这些基本构件使哥特体字母的构造系统化有些像在计算机的监视器上利用像素作为构件来形成字母那样。（像素是图像元素的缩略语。它是计算机监视器上比特的视觉表示。比特代表二进制数字，它是计算机所能拥有的最小信息单位。比特的值对应于数字。）提出地形描绘的概念，可以说是丢勒的一项功绩。在他的一本书里，他说明了罗马字母的几何结构。他为哥特体字母设计出了他自己的数学方法，即以正方形、三角形、梯形和/或平行四边形的组合作成每一字母。七、丢勒作品忧郁美术史上，恐怕很少有画作像德国画家丢勒的忧郁那样被视为难解之迷令后人猜测不已。忧郁的构图元素十分丰富：在一间不知是书斋还是作坊的小木屋外，高大健壮的生翼女子手持圆规，托腮苦思，身旁发呆的爱神，打盹儿的狗，散落的工具天秤、沙漏、锯子、刨子、圆球、多面体、木梯林林总总，屋墙上那幅四阶幻方是数学史上著名的“丢勒幻方”，最下一行中间两格标着1514，是丢勒母亲去世的年份。这个忧郁的女子是谁？所有的一切，寓意何在？在流传于世的研究材料中，没有留下画家只言片语的解释。套用“一千个人眼中有一千个哈姆雷特”这句话，忧郁在观赏者的眼中，怕也有一千钟图解吧。在占星家看来，画中的天秤代表了木星的天秤星座，“暗示着木星会成为崇高探讨的保护者”。 画家从忧郁中看到了“铜版画对透视技法完美的表达”。在数学家眼中，画面中的丢勒幻方和那些复杂的多面体、球体，代表着神秘的数学世界。 忧郁中的多面体的表面似乎由两个等边三角形和六个不规则的多边形构成。有人据此还猜想：丢勒不是根据模型，而是根据一个大的方解石晶体来画多面体的。还有人. 进一步认为，如果上述猜想是对的，那么晶体学历史应该向前推大约100年。 丢勒构造的历史上第一个分形丢勒幻方忧郁中的幻方有以下性质：(1) 每行、每列和每条对角线上的数字之和为34(2) 关于两对角线交点对称的任意两数的和为17；(3) 每一象限（I、II、III、IV）的数字之和为34；(4) I、III象限的上行数字之和相等，且等于II、IV象限的下行数字之和；I、III象限下行数字之和相等，且等于II、IV象限的上行数字之和。(5) I、III象限的右列数字之和相等，且等于II、IV象限的左列数字之和；I、III象限左列数字之和相等，且等于II、IV象限的右列数字之和。八、量度四书丢勒在艺术上的成就也造就了他在数学上的发展。丢勒关于几何学的著作名叫量度四书（德语书名叫Underweysung der Messungmit dem Zirckel und Richtscheyt，英文书名可译为使用圆规直尺的量度指南或者也被称为量度艺术教程。）其中，第一部书集中研究线形几何学。丢勒的几何结构包括螺旋线、蚌线和圆外旋轮线。他也吸收了阿波罗尼和约翰尼斯维尔纳1522年出版的Libellus super viginti duobus elementis conicis（德语）一书的内容（这部书比丢勒的量度四书早三年出版。）第二部书进行二维几何，即正多边形结构的研究。在这部书里丢勒偏爱托勒密的方法超过欧几里德的方法。第三部书把这些几何学原理应用到建筑学、工程学和版式编排设计之中。关于建筑的部分，丢勒引用到了“维特鲁威”但也详细阐述了他自己的经典设计和柱式。在编排设计部分，丢勒依据意大利范例描绘了拉丁字母的几何结构。然而，他的哥特字母结构是基于完全不同的模块式体系。第四部书结束了第一、第二系列而进行三维结构和多面体结构的研究。其中丢勒讨论了五面体和阿基米德半规则七面体，以及他自己的一些发明。在所有的这些内容中，丢勒用网格的方式表现这些实体。最后，丢勒讨论了倍立方问题，进而还讨论了“construzione legittima” （德语），一种通过直线透视法描绘一个立方体的方法。在博洛尼亚丢勒被传授了（可能向卢卡帕西奥理或者布拉曼特学习的）直线透视法原理，而且，这时，在一本未出版的皮耶罗德拉弗朗西斯卡的专著中，唯一一份被找到的关于这些原理的文字说明中，丢勒显然对于这种运用直线透视描绘立方体的方法已经很精通了。他也熟悉了阿尔贝蒂所描述的“简略结构”，和投影几何结构，达芬奇的一种技术。尽管丢勒在这些领域中并没有革新，但他作为北欧地区，第一位运用科学方法，并运用对欧几里德几何学原理的认识，论述视觉表现问题的人来说，是显著的。除了这些几何结构之外，在量度四书的最后一部书中，为了通过模型介绍透视画法，丢勒还讨论了各种各样的机械装置，并且作了木刻版画插图，它们时常重复出现在关于透视问题的论述中。数学和艺术是按照美的规律进行创造的实践活动，数学和艺术是相通的。就像艺术大师也会去研究数学并把它运用到绘画中一样。艺术家构想的作品往往需要数学上对物理性质的理解和认识才能成为好的作品。我们也可以从丢勒的作品和探究中认识到数学不仅有利于我们的逻辑思维而且也有利于我们的创造性的发展。参考文献美西奥妮.帕帕斯著，数学的奇妙； 陈以鸿译。上海：上海科技教育出版社，1999.4