两个变量的线性相关

精选优质文档-倾情为你奉上教学设计学科数学课题2.3.2两个变量的线性相关授课教师劳志媛单位灵山中学课型新授课教材分析 本节课选自普通高中课程标准实验教科书人教A版必修3第二章2.3.2 两个变量的线性相关。本节课要让学生懂得根据两个相关变量的数据做出散点图，并利用散点图直观认识变量间的线性相关，探讨如何利用线性回归思想对实际问题进行分析和预测。从全章内容看，线性回归方程的建立不仅是本节的难点，也是本章内容的难点之一。线性回归是最简单的回归分析，学好回归分析是学好统计学的重要基础。学情分析 学生已经具备了对样本数据进行初步分析的能力，且掌握了一定的计算机基础，可以根据两个相关变量的数据作出图形；学生思维活跃，积极性高，已初步形成对数学问题的合作探究能力。教学重点1利用散点图直观认识两个变量之间的线性相关；2.了解最小二乘法和回归分析的思想，根据给出的线性回归方程的系数公式建立回归方程。教学难点建立回归思想，会求回归直线。教学目标知识技能1. 通过两个有关联变量的数据作出散点图，并利用散点图直观认识变量间的线性相关；2. 知道最小二乘法的思想，能根据给出的线性回归方程系数公式建立线性回归方程。过程与方法通过自主探究体会数形结合、类比以及最小二乘法的数学思想方法。通过动手操作培养学生观察、分析、比较和归纳能力。情感态度与价值观通过合作学习，让学生养成倾听别人意见和建议的良好学习习惯和学习态度。教法学法教法：问题探究式、启发式学法：合作学习、自主学习、探究式学习教学过程教学活动设计意图教学内容师生活动创设情景，引入新课探究：在一次对人体脂肪含量和年龄关系的研究中，研究人员获得了一组样本数据：年龄23273941454950脂肪9.517.821.225.927.526.328.2年龄53545657586061脂肪29.630.231.430.833.535.234.6问题1：你认为表中的数据应该是哪一种特征数？解：平均数。我们知道要确定变量的关系需要进行数据分析，此时可以通过描点法作出图形使我们对两个变量之间的关系有一个直观上的印象和判断。问题2：那么根据上述数据，人体的脂肪含量与年龄之间有怎样的关系？怎样分析呢？解：该图叫做散点图，从散点图可以看出，年龄越大，体内脂肪含量越高。根据函数的图像我们可以归纳出函数的性质，那么我们能不能类比分析函数单调性的方法，通过散点图归纳出两个变量间的关系呢？问题3：散点图是研究相关变量特征的重要手段，该图中点的分布（变化趋势、形状等）有什么规律？从散点图上可以看出，这些点散布在从左下角到右上角的区域内，而且大致分布在通过散点图中心的一条直线附近。此时称这两个变量成正相关关系。正相关指的是两个变量有相同的变化趋势，即从整体上来看一个变量会随另一个变量变大而变大，这在散点图上的反映就是点分布在斜率大于0的直线附近。问题4：根据下面的散点图的特点，你能归纳出负相关的定义吗？教师提问，学生回答。学生通过观察数据、动手操作得出图形并回答。教师用计算机软件画出散点图，然后根据学生回答点评归纳。引导学生思考。学生之间进行交流讨论并归纳，教师点评。引导学生类比正相关归纳出负相关。让学生注意到总体中的“个体”含义可能比自然个体的含义广。以旧“探”新，为本节课的学习做好充分的准备。引导学生利用类比的方法归纳出两个变量的相关关系。引导学生注意散点图中观察数据点的分布规律，从而得出概念。引导学生思考，暴露思维品质。从散点图上可以看出，这些点散布在从左上角到右下角的区域内，而且大致分布在通过散点图中心的一条直线附近。此时称这两个变量成负相关关系。负相关指的是两个变量有相反的变化趋势，即从整体上来看一个变量会随另一个变量变大而变小，这在散点图上的反映就是点分布在斜率小于0的直线附近。线性相关关系分为正相关和负相关。问题5：你能举出生活中的变量成正相关或负相关的例子吗？例如：身高和体重、汽车重量和百公里耗油量、平均日学习时间和平均学习成绩等。让学生自由举例，教师点评。让学生知道可以利用线性相关的观点分析生活中的变量关系。新知探究问题6：在探究中，当人的年龄增长时，体内脂肪含量到底是以什么方式增加的呢？请同学们阅读教材87页的第一段，指出概念中应注意哪些问题？概念：如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近，我们就称这两个变量之间具有线性相关关系，这条直线叫做回归直线，回归直线的方程简称回归方程。问题7：如果能够求出回归方程，那么我们就可以比较清楚的了解年龄与体内脂肪含量的相关性，那么，我们应当如何具体求出这个回归方程呢？小组讨论，下面三种方案是否可行？方案一：采用测量的方法：先画一条直线，测量出各点到它的距离，然后移动直线，到达一个使距离之和教师指导，学生通过阅读教材学习线性相关、回归直线、回归方程的概念，并通过自学分析概念中应注意的问题。通过指导学生阅读教材，分析概念，培养学生自学能力和数学阅读能力。最小的位置，测量出此时直线的斜率和截距，就得到回归方程。方案二: 在图中选取两点画直线，使得直线两侧的点的个数基本相同。方案三:在散点图中多取几组点，确定几条直线的方程，分别求出各条直线的斜率和截距的平均数，将这两个平均数作为回归方程的斜率和截距。通过小组讨论和几何画板演示发现，上面的三种方案虽然有一定的道理，但费时、费力且精度差。实际上，求回归方程的关键是如何用数学的方法来刻画“从整体上看，各点与此直线的距离最小”。启发式问题，在小组讨论的形势下比较哪个小组的方案好，学生之间充分交流。教师利用几何画板演示这三种方案再进行点评。通过小组讨论比较，调动学生的积极性，活跃课堂气氛。通过小组的三种方案，体会回归直线的特征，从而引出“最小二乘法”求回归直线方程。问题8：怎样用代数式来表示“ 从整体上看，各点与此直线的距离最小”？假设我们已经得到两个具有线性相关关系的变量的一组数据：。下面探讨如何表达这些点与一条直线之间的距离。当自变量取（=1，2，n）时，可以得到（=1，2，n），它与实际收集到的之间的偏差是（=1，2，n）这样用n个偏差的和来刻画“各点与此直线的整体偏差”是比较合适的。总的偏差为，偏差有正有负，易抵消，所以采用绝对值，由于带绝对值计算不方便所以换成平方，现在的问题就归结为：当，b取什么值时Q最小。将上式展开、再合并，就可以得到可以求出Q取最小值，此时，由数学原理分析得到： （其中，） （这个公式不要求记忆）教师提问，学生思考回答。引导学生思考，培养思维品质，引出下面求回归方程的方法。这样，回归方程为：通过求Q的最小值而得出回归直线的方法，即求回归直线，使得样本数据的点到它的距离的平方和最小，这一方法叫做最小二乘法（method of least square）。根据最小二乘法的思想和公式，利用计算机的Excel软件，可以方便地求出回归方程。所以回归方程为=0.577x-0.448.正像本节开头所说的，我们从人体脂肪含量与年龄这两个变量的一组随机样本数据中，找到了它们之间关系的一个规律，这个规律是由回归直线来反映的.问题9：求出回归直线方程有什么用呢？知道x的值可以求的值。问题12：请同学们从表格中的年龄作为x代入上述回归方程，看看得出的数据与真实数值之间的关系是什么？从中你能体会到什么？为什么会出现这样的结果？年龄2327394145脂肪值9.517.821.225.927.5回归值12.815.122.023.225.5年龄4950535456脂肪值26.328.229.630.231.4回归值27.828.430.130.731.8年龄57586061脂肪值30.833.535.234.6回归值32.432.934.134.7在上表中，引导学生通过比较发现表中样本个体脂肪值和由回归方程计算得到的值很接近，领悟到可以用回归方程来预测特定年龄的人的脂肪值。回归直线是估计出的，把带入肯定有误差。教师一边分析一边引导学生思考，教师通过计算机的Excel软件模拟出回归方程。学生分为五组计算出回归值，然后跟真实值对比，发表看法。教师提问，学生思考回答。体会如何选取恰当的计算方法建立回归方程的过程。引导学生发现回归方程求出的值与真实值的偏差，体会回归思想。回归方程的求法是本节课的教学重点，利用电子表格计算繁杂数据，激发学生的兴趣，通过教师演示，学生动手操作突出重点，引出利用现代技术工具解决问题的必要性。例题训练，夯实巩固例 有一个同学家开了一个小卖部，他为了研究气温对热饮销售的影响，经过统计，得到一个卖出的热饮杯数与当天气温的对比表：摄氏温度/-504712151923273136热饮杯数15615013212813011610489937654（1） 画出散点图；（2） 从散点图中发现气温与热饮销售杯数之间关系的一般规律；（3） 求回归方程；学生动手操作得出结论。教师利用Excel软件画出散点图和求出回归方程。进一步熟悉回归分析的过程，深化对回归分析思想的理解和观测数据与回归直线关系的理解。（4）如果某天的气温是2 ，预测这天卖出的热饮杯数.解：（1）散点图如下图所示：（2）从上图看到，各点散布在从左上角到右下角的区域里，因此，气温与热饮销售杯数之间呈负相关，即气温越高，卖出去的热饮杯数越少.（3）从散点图可以看出，这些点大致分布在一条直线的附近，因此，可用公式求出回归方程的系数。利用公式求得回归方程=-2.352x+147.767.(4)当x=2时，=143.063.因此，某天的气温为2 时，这天大约可以卖出143杯热饮.思考： 气温为2 时，小卖部一定能够卖出143杯左右热饮吗？为什么？这里的答案是小卖部不一定能够卖出143杯左右热饮，原因是线性回归方程中的截距和斜率都是通过样本估计出来的，存在随机误差，这种误差可以导致预测结果的偏差。课堂小结，提炼思想问题13：通过本节课的学习，同学们还有什么疑惑吗？1）散点图中的点整体上分布在一条直线附近时，可以应用线性回归分析的方法分析数据；2）回归直线是反映：“从整体上看，各点与此直线的距离的和最小”的一条直线，它反映了具有线性相关关系的两个变量之间的规律；3）我们可以通过回归直线方程，由一个变量的值来推测另一个变量的值，解决生活中的实际问题；这种方法称为回归方法4）技术的应用可以帮助我们高效的解决一些实际问题，我们应该重视应用技术解决问题；5）“提出问题比解决问题更重要”。对前面环节的“收”的过程，教师进行小结。小结内容不仅关注学生的知识目标也要注意关注学生的情感目标。提炼思想方法，深入数学本质，帮助学生建构知识体系，理清知识脉络。作业设计必做：完成课后练习2选做：阅读教材89页，课后尝试应用Excel软件进行线性回归分析。实习作业:以实验小组为单位，发现生活中的线性相关的变量，收集数据，进行回归分析，完成实验报告。基础练习，复习巩固,扩展学习，体会用多种方法建立回归方程做生活中的数学，提高数学应用意识。好的作业设计不仅注重对教材重点知识的复习，也应对一些学有余力的同学提出一些深入学习的建议和途径，关注学生个体差异。板书设计2.3.2两个变量的线性相关1、散点图2、正相关、负相关3、回归方程公式（回归方程的推导）例题多媒体投影专心-专注-专业