湖北黄冈中学高三数学《专题十 空间角与距离的计算与证明》

空间角空间角 与距离的计算与距离的计算与证明与证明2010年湖北黄冈中学年湖北黄冈中学第一课时：第一课时：空间角空间角第一课时：第一课时：空间角空间角 课前导引课前导引 1. 四面体四面体ABCD中，中，AB、CD所所成的角为成的角为60，E、F、G分别为分别为BC、AC、AD中点，若中点，若AB=CD=2，则，则EG=_.第一课时：第一课时：空间角空间角 课前导引课前导引 1. 四面体四面体ABCD中，中，AB、CD所所成的角为成的角为60，E、F、G分别为分别为BC、AC、AD中点，若中点，若AB=CD=2，则，则EG=_. 解析解析 EFG中，中，EFG=60或或120，则，则EG=2或或 .32第一课时：第一课时：空间角空间角 课前导引课前导引 2. 两异面直线两异面直线a, b所成角为所成角为60，过空间一点过空间一点P作与作与a、b都成都成25（或（或30或或40或或60或或80或或90）的）的直线，分别可作直线，分别可作_条条.2. 两异面直线两异面直线a, b所成角为所成角为60，过空间一点过空间一点P作与作与a、b都成都成25（或（或30或或40或或60或或80或或90）的）的直线，分别可作直线，分别可作_条条.答案：答案：0、1、2、3、4、1. 考点搜索考点搜索 1. 掌握空间两异面直线所成的角、掌握空间两异面直线所成的角、直线与平面所成的角、二面角等概念；直线与平面所成的角、二面角等概念；2. 能熟练地在图形中找出相关的角能熟练地在图形中找出相关的角并证明；并证明；3. 能用向量方法和非向量方法进行能用向量方法和非向量方法进行计算；计算； 考点搜索考点搜索 链接高链接高考考 例例11（2004全国卷）已知球全国卷）已知球O的半的半径为径为1，A、B、C三点都在球面上，且三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为每两点间的球面距离均为 ，则球心，则球心O到平面到平面ABC的距离为的距离为 ( )2 36.D 32.C 33.B 31.A 链接高链接高考考 例例11（2004全国卷）已知球全国卷）已知球O的半的半径为径为1，A、B、C三点都在球面上，且三点都在球面上，且每两点间的球面距离均为每两点间的球面距离均为 ，则球心，则球心O到平面到平面ABC的距离为的距离为 ( )2 36.D 32.C 33.B 31.AB 链接高链接高考考 例例11（2007年天津卷）在棱长为年天津卷）在棱长为2的的正方体中中，正方体中中，O是底是底面面ABCD的中心，的中心，E、F分别是、分别是、AD的中点的中点. 那么异面直线那么异面直线OE和和 所成的所成的角的余弦值等于角的余弦值等于 ( )1111DCBAABCD 1CC1FDD1C1A1B1ABCDOFE32.D 54.C515.B 510.A 例例11（2007年天津卷）在棱长为年天津卷）在棱长为2的的正方体中中，正方体中中，O是底是底面面ABCD的中心，的中心，E、F分别是、分别是、AD的中点的中点. 那么异面直线那么异面直线OE和和 所成的所成的角的余弦值等于角的余弦值等于 ( )1111DCBAABCD 1CC1FDD1C1A1B1ABCDOFE32.D 54.C515.B 510.A 解析解析 利用空利用空间向量求解较简便间向量求解较简便. 例例11（2007年天津卷）在棱长为年天津卷）在棱长为2的的正方体中中，正方体中中，O是底是底面面ABCD的中心，的中心，E、F分别是、分别是、AD的中点的中点. 那么异面直线那么异面直线OE和和 所成的所成的角的余弦值等于角的余弦值等于 ( )1111DCBAABCD 1CC1FDD1C1A1B1ABCDOFE32.D 54.C515.B 510.A 解析解析 利用空利用空间向量求解较简便间向量求解较简便.B 例例2 2 （2006湖南卷）已知湖南卷）已知ABCD是上、下底边长分别为是上、下底边长分别为2和和6，高为，高为的等腰梯形，将它沿对称轴的等腰梯形，将它沿对称轴OO1折成直折成直二面角，二面角，3() 证明：证明：ACBO1；() 求二面角求二面角OACO1的大小的大小.:,., ,: (1) 111如如图图直直角角坐坐标标系系轴轴建建立立空空间间轴轴、轴轴、在在直直线线分分别别为为所所、为为原原点点故故可可以以即即角角的的平平面面角角是是所所折折成成的的直直二二面面由由题题设设知知证证明明zyxOOOBOAOOBOAAOBOOOBOOOA 法一法一 、则则相相关关各各点点的的坐坐标标是是)0 , 0 , 3(: A)3, 0 , 0(),3, 1 , 0(),0 , 3 , 0(1OCB., 0333)3, 3, 0()3, 1 , 3(111BOACBOACBOAC 所所以以从从而而 00),( .,)( .0333 )( 1111111OCnACnACOzyxnOACBOOACBOBOACIOCBOOCBOII由由的的一一个个法法向向量量是是平平面面设设的的一一个个法法向向量量是是平平面面平平面面由由 111,: ,BOnBOnOACO 可可知知的的方方向向、由由的的大大小小为为设设二二面面角角)3, 0 , 1(:3,0033 nzyzyx得得取取.43arccos43,coscos1111的的大大小小是是即即二二面面角角OACOBOnBOnBOn 3tan.,.,: ) I ( 111111 OOOBBOOOBCOACOCOBCOAOOBOAAOBOOOBOOO内内的的射射影影在在面面是是平平面面从从而而即即直直二二面面角角的的平平面面角角是是所所折折成成的的所所以以由由题题设设知知证证明明 法二法二 .:,30,601111BOACBOOCOCOBOO 由由三三垂垂线线定定理理得得从从而而33tan111 OOCOOCO.:,),(,.:,) I ( )II( 1111111ACFOAOCFOEFFOFACEFEEBOOCAOCBOBOOCBOAC 由由三三垂垂线线定定理理得得内内的的射射影影面面在在平平是是则则如如图图连连结结于于作作过过点点设设平平面面知知由由1,3, 3:.1111 COOOOAOACOFEO由由题题设设知知的的平平面面角角是是二二面面角角所所以以322121 OOOAAO.413sin,2330sin133211111111 FOEOFEOOOEOACCOAOFO又又从从而而132121 COAOAC.43arcsin1的的大大小小是是即即二二面面角角OACO 例例33（2005全国卷一）已知四棱锥全国卷一）已知四棱锥P-ABCD的底面为直角梯形，的底面为直角梯形，ABDC， 底面底面ABCD，且，且PA=AD=DC= AB=1，M是是PB的中点的中点. () 证明：证明：面面PAD面面PCD； () 求求AC与与PB所成的角；所成的角； PADAB,9021 () 求面求面AMC与面与面BMC所成二面所成二面角的大小角的大小. () 求面求面AMC与面与面BMC所成二面所成二面角的大小角的大小., .: : ) I ( PADCDPDADPADCDPDCD面面都都垂垂直直、两两条条相相交交直直线线内内与与面面因因而而由由三三垂垂线线定定理理得得证证明明 法一法一 .,PCDPADPCDCD面面面面面面又又 5,2:,90:, 2,2:,/ )II( PBBEPEBRtPEBABCDPAACBEABAEBECBACAEPBACPBECABECABEB中中在在得得面面由由为为正正方方形形所所以以四四边边形形又又可可知知连连结结所所成成的的角角与与是是则则且且作作过过点点.510arccos,510cos所所成成的的角角为为与与PBACPBBEPBE .510arccos,510cos所所成成的的角角为为与与PBACPBBEPBE :., )III( 中中在在等等腰腰三三角角形形求求二二面面角角的的平平面面角角为为所所垂垂足足为为作作AMCANBNCMAN , 2.56 25223,222 ABANACACCMMCAN).32arccos(322cos222 为为故故所所求求的的二二面面角角BNANABBNANANB 法二法二 如图建立空间直角坐标系如图建立空间直角坐标系,.,.,),0 , 1 , 0(),1 , 0 , 0( ) I ( PCDPADPCDDCPADDCPADADAPDCAPDCAP面面故故面面上上在在面面又又面面由由此此得得：内内的的两两条条相相交交直直线线是是平平面面与与且且所所以以证证明明：因因 .510|,cos, 2,5,2),1, 2 , 0(),0 , 1 , 1( II)( PBACPBACPBACPBACPBACPBAC故故 (III) 在在MC上取一点上取一点N(x，y，z), 则则存在存在 R使使,MCNC .21, 1,1),21, 0 , 1( zyxMC),1 ,1(zyxNC .54, 0210, 解解得得即即只只需需zxMCANMCAN. 0),52, 1 ,51(,54 MCANN能能使使点点坐坐标标为为时时可可知知当当 0),52, 1,51(),52, 1 ,51(, MCBNBNAN有有此此时时.,:0, 0为为所所求求二二面面角角的的平平面面角角所所以以得得由由ANBMCBNMCANMCBNMCAN ).32arccos(.32|),cos(.54,530| ,530| 故故所所求求的的二二面面角角为为BNANBNANBNANBNANBNAN 方法论坛方法论坛 1. 两条异面直线所成的角：两条异面直线所成的角：平移其中一条直线或者两条直线，平移其中一条直线或者两条直线，找出两异面直线所成的角，然后解三角形；找出两异面直线所成的角，然后解三角形；如果求出的是钝角，则取其补角；如果求出的是钝角，则取其补角；先求两条异面直线的方向向量所成先求两条异面直线的方向向量所成的角，但如果求出的是钝角，要注意转化的角，但如果求出的是钝角，要注意转化成相应的锐角成相应的锐角. 或者说，若或者说，若cos x，则这，则这两条异面直线所成的角为两条异面直线所成的角为 arccos|x|. 方法论坛方法论坛 2. 直线和平面所成的角：直线和平面所成的角：“一找二证三求一找二证三求”，三步都必须要，三步都必须要清楚地写出来清楚地写出来.向量法，先求直线的方向向量与向量法，先求直线的方向向量与平面的法向量所成的角平面的法向量所成的角 ，而所要求的，而所要求的角为角为.22 或或 3. 平面与平面所成的角平面与平面所成的角:“一找二证三求一找二证三求”. 一找：找出这一找：找出这个二面角的平面角；二证：证明所找角个二面角的平面角；二证：证明所找角即为二面角的平面角；三求：解三角形即为二面角的平面角；三求：解三角形求角求角. 射影面积法：射影面积法：要注意所求角为要注意所求角为 或或 ；.cos原原射射影影SS 向量法向量法: 先求两个平面的法向量先求两个平面的法向量所成的角为所成的角为 ，那么这两个平面所成的，那么这两个平面所成的二面角的平面角为二面角的平面角为 或或 . 或者先求出或者先求出二面角的平面角的两边的方向向量所成二面角的平面角的两边的方向向量所成的角的角 ，而二面角的大小为，而二面角的大小为 或或 . 注意：注意：(1) 在求角时，若比较容易建在求角时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，则用向量立坐标系，找出各点的坐标，则用向量方法比较好；否则，用非向量方法比较方法比较好；否则，用非向量方法比较简便简便.(2) 用非向量方法求角时，要做到用非向量方法求角时，要做到“一找二证三求一找二证三求”，在解题过程中一定，在解题过程中一定要出现形如要出现形如“ 就是所要求的角就是所要求的角”的的句子句子. 长郡演练长郡演练 B组组.,60,45,. 5 111111的的大大小小求求二二面面角角三三角角形形底底面面是是正正中中三三棱棱柱柱CAABACAABACBAABC 长郡演练长郡演练 B组组222246 2442,2,22. 2 ., 111 ikEBjkFCikEBFAACFEAABEkjiAAACAB则则则则设设底底面面边边长长为为于于于于并并作作、截截取取单单位位向向量量上上分分别别、在在射射线线 解析解析 .336arccos3363222,cos,222222 222423254411 的的大大小小为为所所以以二二面面角角所所以以CAABFCEBjkkijiFCEBjkFC第二课时：第二课时：空间距离空间距离 课前导引课前导引 第二课时：第二课时：空间距离空间距离 1. RtABC两直角边两直角边BC=3，AC=4，PC面面ABC，且，且PC= ，则点，则点P到斜边到斜边AB的距离为的距离为_.59 课前导引课前导引 第二课时：第二课时：空间距离空间距离 1. RtABC两直角边两直角边BC=3，AC=4，PC面面ABC，且，且PC= ，则点，则点P到斜边到斜边AB的距离为的距离为_. 简评简评 先利用三垂线定理找出点先利用三垂线定理找出点P到到AB的垂线段的垂线段.59 课前导引课前导引 第二课时：第二课时：空间距离空间距离 1. RtABC两直角边两直角边BC=3，AC=4，PC面面ABC，且，且PC= ，则点，则点P到斜边到斜边AB的距离为的距离为_. 简评简评 先利用三垂线定理找出点先利用三垂线定理找出点P到到AB的垂线段的垂线段.593 课前导引课前导引 第二课时：第二课时：空间距离空间距离 2. 正四面体正四面体ABCD棱长为棱长为a，动点，动点P、Q分别在线段分别在线段AB、CD上，则上，则|PQ|的的最小值是最小值是_. 2. 正四面体正四面体ABCD棱长为棱长为a，动点，动点P、Q分别在线段分别在线段AB、CD上，则上，则|PQ|的的最小值是最小值是_. 简评简评 线段线段AB、CD的中点连线即的中点连线即为其公垂线段，而为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异的最小值就是异面直线面直线AB、CD的距离的距离. 2. 正四面体正四面体ABCD棱长为棱长为a，动点，动点P、Q分别在线段分别在线段AB、CD上，则上，则|PQ|的的最小值是最小值是_.a22 简评简评 线段线段AB、CD的中点连线即的中点连线即为其公垂线段，而为其公垂线段，而|PQ|的最小值就是异的最小值就是异面直线面直线AB、CD的距离的距离. 链接高链接高考考 例例11（2004年全国卷）已知球年全国卷）已知球O的半径为的半径为1，A、B、C三点都在球面上三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为且每两点间的球面距离均为 ，则球，则球心心O到平面到平面ABC的距离为的距离为( )2 36D. 32C. 33B. 31A. 链接高链接高考考 例例11（2004年全国卷）已知球年全国卷）已知球O的半径为的半径为1，A、B、C三点都在球面上三点都在球面上,且每两点间的球面距离均为且每两点间的球面距离均为 ，则球，则球心心O到平面到平面ABC的距离为的距离为( )2 36D. 32C. 33B. 31A.B 链接高链接高考考 例例22（2007全国卷二）不共面的全国卷二）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有平面共有 ( ) A. 3个个 B. 4个个 C. 6个个 D. 7个个 例例22（2005全国卷二）不共面的全国卷二）不共面的四个定点到平面的距离都相等，这样的四个定点到平面的距离都相等，这样的平面共有平面共有 ( ) A. 3个个 B. 4个个 C. 6个个 D. 7个个D 例例22（2006年江苏卷）年江苏卷） 在棱长为在棱长为4的正方体的正方体ABCD-A1B1C1D1中，中，O是正方是正方A1B1C1D1的中心，点的中心，点P在棱在棱CC1上，且上，且CC1=4CP. (I) 求直线求直线AP与与平面平面BCC1B1所成的所成的角的大小角的大小(结果用反结果用反三角函数值表示三角函数值表示)； (II) 设设O点在平面点在平面D1AP上的射影是上的射影是H,求证：求证：D1HAP； (III) 求点求点P到平面到平面ABD1的距离的距离.17174arctan,17174arctan,17174tan, 1, 4,4,)1( 11111111所所成成角角为为与与平平面面即即直直线线为为直直角角中中在在所所成成角角就就是是与与平平面面平平面面连连结结BBCCAPAPBBPAPAPBABPPBCRtCPCCCPCCAPBBBCCAPBBCCABBP 解析解析 ., )2( 11111111111111111111111111111111APHDHDODAPDAPODAPCAAPAPCAODACAAAODAADCBAAACAODDCBADBCA 在在这这个个平平面面内内的的射射影影是是斜斜线线的的又又平平面面面面平平由由于于平平面面平平面面又又是是正正方方形形四四边边形形连连结结.223,223, 3,45,90, )3( 1111111111111111距距离离为为的的到到平平面面即即点点中中在在的的距距离离到到平平面面就就是是点点平平面面平平面面平平面面于于点点作作过过点点中中在在平平面面连连结结ABDPPQPCQPCQPCPQCRtABDPPQDABCPQABPQBBCCPQBBCCABQBCPQPBBCCBC 在线探究在线探究 1. (高中数学教材第二册下高中数学教材第二册下B第第51页页) 已知正方体已知正方体ABCD-ABCD的棱长为的棱长为1，求直线求直线DA与与AC的距离的距离. 在线探究在线探究 1. (高中数学教材第二册下高中数学教材第二册下B第第51页页) 已知正方体已知正方体ABCD-ABCD的棱长为的棱长为1，求直线求直线DA与与AC的距离的距离. 在线探究在线探究 分析：分析：如果能找到如果能找到DA与与AC的公垂的公垂线段，则用非向量方法也可，只需解直线段，则用非向量方法也可，只需解直角三角形角三角形. 下面提供向量的两种解法下面提供向量的两种解法. 法一法一 设设PQ为为AC与与DA的公垂线段的公垂线段,且且AP=x，AQ=y，则，则 ABCDABCDPQ2/2)(QAAAPAPQ yxyyx2122 1243)2(22 yyyx31)322(43)2(22 yyx.33,33| ,31,322min的的距距离离为为与与即即直直线线时时当当ACDAPQxy ABCDABCDPQ 法二法二 如图建立直如图建立直角坐标系角坐标系. 设设PQ为为AC与与DA的公垂线段，点的公垂线段，点P和和Q坐标分别为，则坐标分别为，则 12)1(222212212 xxxxPQ31)31(23)21(222221 xxxABCDABCD(O)PQyxz.33,32,31min12 PQxx时时所所以以当当 方法论坛方法论坛 重点是点到平面的距离，直线到重点是点到平面的距离，直线到平面的距离和两个平面的距离可以转平面的距离和两个平面的距离可以转化成点到平面的距离，一个点到平面化成点到平面的距离，一个点到平面的距离也可以转化成另外一个点到这的距离也可以转化成另外一个点到这个平面的距离个平面的距离. 1. 两点的距离：两点的距离： (1) 通常构造直角三角形解决；通常构造直角三角形解决； 方法论坛方法论坛 .)(,:)2( 22两两点点的的距距离离、求求则则可可利利用用和和每每两两个个向向量量所所成成的的角角的的模模若若知知道道向向量量法法BANBMNAMAB，NBMNAM .cos2,:)3( 2222公公式式则则由由此此变变形形而而来来离离而而异异面面直直线线上上两两点点的的距距则则且且、上上的的射射影影分分别别为为在在棱棱、大大小小为为若若二二面面角角距距离离公公式式二二面面角角两两个个面面内内两两点点的的mabbaABmCDbBDaACDClBABAl 2. 两条异面直线的距离两条异面直线的距离: (1) 如果已经找到或者容易找到两如果已经找到或者容易找到两条异面直线的公垂线，则转化成求公条异面直线的公垂线，则转化成求公垂线段的长度；垂线段的长度； (2) 向量法：利用公式向量法：利用公式(其中其中A、B分别为两条异面直线上的分别为两条异面直线上的一点，一点， 为这两条异面直线的法向量）为这两条异面直线的法向量）|nnABd n 3. 点到平面的距离点到平面的距离: (1)“一找二证三求一找二证三求”. 一找：找到经过一找：找到经过这个点与平面垂直的线段；二证：证明这这个点与平面垂直的线段；二证：证明这条线段与平面垂直；三求：一般通过解直条线段与平面垂直；三求：一般通过解直角三角形求出点到平面的距离角三角形求出点到平面的距离. (2)等体积法等体积法. (3) 向量法：利用公式向量法：利用公式(其中其中A为已知点，为已知点，B为这个平面内的任意为这个平面内的任意一点，一点， 为这个平面的法向量为这个平面的法向量 ）|nnABd n 注意注意 (1) 在求距离时，若比较容易在求距离时，若比较容易建立坐标系，找出各点的坐标，或者比建立坐标系，找出各点的坐标，或者比较容易将其他向量用三个不共面向量来较容易将其他向量用三个不共面向量来表示，则用向量方法比较好；否则，用表示，则用向量方法比较好；否则，用非向量方法比较简便非向量方法比较简便. (2) 用非向量方法求距离时，要做到用非向量方法求距离时，要做到“一找二证三求一找二证三求”，在解题过程中一定，在解题过程中一定要出现形如要出现形如“线段线段OA的长度即为点的长度即为点O到到平面的距离平面的距离”的句子的句子. 长郡演练长郡演练 B组组 1. 在四棱锥在四棱锥P-ABCD中，底面中，底面ABCD是矩形，是矩形，PA底面底面ABCD，PA=AB=1，BC=2. 求证：求证： (1) 平面平面PDC平面平面PAD； (2) 若若E是是PD的中点，求异面直线的中点，求异面直线AE与与PC所成角的余弦；所成角的余弦； (3) 在在BC边上是否存在一点边上是否存在一点G，使得，使得D点到平面点到平面PAG的距离为的距离为1，如果存在，如果存在，求出求出BG的值，如果不存在，说明理由的值，如果不存在，说明理由. 长郡演练长郡演练 B组组 解析解析 (1) 证证CD平面平面PAD； (2) 取取CD中点中点F，用余弦定理求得，用余弦定理求得 , 则异面直线则异面直线AE与与PC所成角的余弦为所成角的余弦为 1030cos AEF.1030 (3) 若存在，设若存在，设BG=x，利用，利用VP-AGD =VD-PAG，求得，求得 . 所以当所以当时，时，D点到平面点到平面PAG的距离为的距离为1.3 x3 BG