高中数学北师大版选修22学案：4.1.1　定积分的背景——面积和路程问题1.2　定积分 Word版含解析

北师大版2019-2020学年数学精品资料1定积分的概念1.1定积分的背景面积和路程问题1.2定积分1了解定积分的实际背景及定积分的概念2理解定积分的几何意义及性质(难点)3能利用定积分的几何意义解决简单的定积分计算问题(重点)基础初探教材整理1曲边梯形的面积阅读教材P75P78“练习2”以上部分，完成下列问题1曲边梯形的概念由直线xa，xb(ab)，y0和曲线yf(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图411所示)图4112求曲边梯形面积的步骤分割，近似替代，求和，逼近在计算由曲线yx2以及直线x1，x1，y0所围成的图形面积时，若将区间1，1n等分，则每个小区间的长度为_【解析】每个小区间长度为.【答案】教材整理2定积分阅读教材P78“练习2”以下至P80“练习”以上部分，完成下列问题1定积分的定义一般地，给定一个在区间a，b上的函数yf(x)，将a，b区间分成n份，分点为：ax0x1x2xn1xnb.第i个小区间为xi1，xi，设其长度为xi，在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最大，设Sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.在这个小区间上取一点i，使f(i)在区间xi1，xi上的值最小，设sf(1)x1f(2)x2f(i)xif(n)xn.如果每次分割后，最大的小区间的长度趋于0，S与s的差也趋于0，此时，S与s同时趋于某一个固定的常数A，我们就称A是函数yf(x)在区间a，b上的定积分，记作f(x)dx，即f(x)dxA其中叫作积分号，a叫作积分的下限，b叫作积分的上限，f(x)叫作被积函数2定积分的几何意义如果在区间a，b上函数f(x)连续且恒有f(x)0，那么定积分f(x)dx表示由直线xa，xb(ab)，x轴和曲线yf(x)所围成的曲边梯形的面积3定积分的性质(1)1dxba；(2)kf(x)dxkf(x)dx(k为常数)；(3)f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dx；(4)f(x)dxf(x)dxf(x)dx(其中acb)已知f(x)dx6，则6f(x)dx_【解析】6f(x)dx6f(x)dx6636.【答案】36质疑手记预习完成后，请将你的疑问记录，并与“小伙伴们”探讨交流：疑问1：解惑：疑问2：解惑：疑问3：解惑：小组合作型求曲边梯形的面积求直线y0，x1，x2，曲线yx2围成的曲边梯形的面积【精彩点拨】按分割、近似代替、求和、取极限四个步骤进行求解【自主解答】分割：在区间1，2上等间隔地插入n1个点，将区间1，2等分成n个小区间：，.记第i个区间为 (i1，2，n)，其长度为x.分别过上述n1个分点作x轴的垂线，从而得到n个小曲边梯形，它们的面积分别记作：S1，S2，Sn，显然，SSi.近似代替：记f(x)x2，当n很大，即x很小时，在区间上，可以认为函数f(x)x2的值变化很小，近似地等于一个常数，不妨认为它近似地等于右端点处的函数值f，从图形(图略)上看，就是用平行于x轴的直线段近似地代替小曲边梯形的曲边这样，在区间上，用小矩形的面积Si近似地代替Si，即在局部小范围内“以直代曲”，则有SiSifx(n22nii2)(i1，2，n)，求和：由可推知2，从而得到S的近似值SSn2.取极限：可以看到，当n趋向于无穷大时，即x趋向于0时，Sn2趋向于S，从而有SSn 20(10)(10)2.由极限法求曲边梯形的面积的步骤第一步：分割在区间a，b中等间隔地插入n1个分点，将其等分成n个小区间xi1，xi(i1，2，n)，小区间的长度xixixi1.第二步：近似代替，“以直代曲”用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，求出小曲边梯形面积的近似值第三步：求和将n个小矩形的面积进行求和得Sn.第四步：取极限当n时，SnS，S即为所求再练一题1求由曲线yx2与直线x1，x2，y0所围成的平面图形面积时，把区间5等分，则面积的近似值(取每个小区间的左端点)是_【解析】将区间5等分所得的小区间为，于是所求平面图形的面积近似等于1.02.【答案】1.02定积分的几何意义利用定积分的几何意义求下列定积分(1)dx；(2)(2x1)dx；(3)(x33x)dx.【精彩点拨】对于本题(1)、(2)可先确定被积函数、积分区间，画出图形，然后用几何法求出图形面积，从而确定定积分的值；对于(3)可根据被积函数的奇偶性求解【自主解答】(1)曲线y表示的几何图形为以原点为圆心以3为半径的上半圆如图(1)所示其面积为S32.由定积分的几何意义知dx.(2)曲线f(x)2x1为一条直线.(2x1)dx表示直线f(x)2x1，x0，x3，y0围成的直角梯形OABC的面积，如图(2)其面积为S(17)312.根据定积分的几何意义知(2x1)dx12.(3)yx33x在区间1，1上为奇函数，图像关于原点对称，曲边梯形在x轴上方部分面积与x轴下方部分面积相等由定积分的几何意义知(x33x)dx0.1.定积分的几何意义的应用(1)利用定积分的几何意义求f(x)dx的值的关键是确定由曲线yf(x)，直线xa，xb及y0所围成的平面图形的形状常见的图形有三角形、直角梯形、矩形、圆等可求面积的平面图形(2)不规则的图形常利用分割法将图形分割成几个容易求定积分的图形求面积，要注意分割点要确定准确2.奇、偶函数在区间a，a上的定积分(1)若奇函数yf(x)的图像在a，a上连续，则f(x)dx)0.(2)若偶函数yf(x)的图像在a，a上连续，则f(x)dx)2f(x)dx.再练一题2根据定积分的几何意义求下列定积分的值(1)xdx；(2)cos xdx；(3)|x|dx.【解】(1)如图(1)，xdxA1A10.(2)如图(2)，cos xdxA1A2A30.(3)如图(3)，A1A2，|x|dx2A121.(A1，A2，A3分别表示图中相应各处面积)探究共研型定积分性质的应用探究1怎样求分段函数的定积分？【提示】可先把每一段函数的定积分求出后再相加探究2怎样求奇(偶)函数在区间a，a上的定积分？【提示】(1)若奇函数yf(x)的图像在a，a上连续，则f(x)dx0；(2)若偶函数yg(x)的图像在a，a上连续，则g(x)dx2g(x)dx.利用定积分的性质和定义表示下列曲线围成的平面区域的面积(1)y0，y，x2；(2)yx2，xy2.【精彩点拨】由定积分的几何意义，作出图形，分割区间表示【自主解答】(1)曲线所围成的平面区域如图(1)所示设此面积为S，则S(0)dxdx.(1)(2)(2)曲线所围成的平面区域如图(2)所示设面积为S，则SA1A2.因为A1由y，y，x1围成，A2由y，yx2，x1和x4围成，所以A1()dx2dx，A2(x2)dx(x2)dx.故S2 dx(x2)dx.,利用定积分的性质求定积分的技巧灵活应用定积分的性质解题，可以把比较复杂的函数拆成几个简单函数，把积分区间分割成可以求积分的几段，进而把未知的问题转化为已知的问题，在运算方面更加简洁应用时注意性质的推广：(1)f1(x)f2(x)fn(x)dx,f1(x)dxf2(x)dxfn(x)dx；(2)f(x)dx f(x)dx f(x)dx f(x)dx)(其中ac1c2cnb，nN)再练一题3已知xdx，x2dx，求下列定积分的值(1)(2xx2)dx；(2)(2x2x1)dx.【解】(1)(2xx2)dx2xdxx2dx2e2.(2)(2x2x1)dx2x2dxxdx1dx，因为已知xdx，x2dx，又由定积分的几何意义知：1dx等于直线x0，xe，y0，y1所围成的图形的面积，所以1dx1ee，故(2x2x1)dx2ee3e2e.构建体系1下列等式不成立的是()A.mf(x)ng(x)dxmf(x)dxng(x)dxB.f(x)1dxf(x)dxbaC.f(x)g(x)dxf(x)dxg(x)dxD.sin xdxsin xdxsin xdx【解析】利用定积分的性质可判断A，B，D成立，C不成立例如xdx2，2dx4，2xdx4，即2xdxxdx2dx.【答案】C2当n很大时，函数f(x)x2在区间上的值可以用下列哪个值近似代替()AfBfCf Df(0)【解析】当n很大时，f(x)x2在区间上的值可用该区间上任何一点的函数值近似代替，显然可以用左端点或右端点的函数值近似代替【答案】C3已知某物体运动的速度为vt，t0，10，若把区间10等分，取每个小区间右端点处的函数值为近似小矩形的高，则物体运动的路程近似值为_【解析】把区间0，1010等分后，每个小区间右端点处的函数值为n(n1，2，10)，每个小区间的长度为1.物体运动的路程近似值S1(1210)55.【答案】554由ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式是_. 【导学号：94210069】【解析】0x，sin x0.ysin x，x0，x，y0所围成图形的面积写成定积分的形式为sin xdx.【答案】sin xdx5用定积分的几何意义求dx.【解】由y可知x2y24(y0)，其图像如图dx等于圆心角为60的弓形CED的面积与矩形ABCD的面积之和S弓形2222sin，S矩形|AB|BC|2，dx2.我还有这些不足：(1)(2)我的课下提升方案：(1)(2)学业分层测评(十五)(建议用时：45分钟)学业达标一、选择题1对于以vv(t)在0，t内汽车作直线运动经过的路程S，下列叙述正确的是()A将0，tn等分，若以每个小区间左端点的速度近似替代时，求得的s是S的不足估计值B将0，tn等分，若以每个小区间右端点的速度近似替代时，求得的s是S的过剩估计值C将0，tn等分，n越大，求出的s近似替代S的精确度越高D将0，tn等分，当n越大时，求出的s就是S的准确值【解析】每个小区间左端点的速度不一定是该区间上速度的最小值，右端点的速度也不一定是该区间上速度的最大值，n越大，所得估计值近似替代准确值的精确度越高，只有当n时，估计值才是准确值【答案】C2(2016菏泽高二检测)已知定积分f(x)dx8，且f(x)为偶函数，则f(x)dx()A0B16C12 D8【解析】偶函数图像关于y轴对称，故f(x)dx2f(x)dx16.故选B.【答案】B3设f(x)则f(x)dx的值是()A.x2dxB.2xdxC.x2dx2xdxD.2xdxx2dx【解析】被积函数f(x)是分段函数，故将积分区间1，1分为两个区间1，0和0，1，由定积分的性质知选D.【答案】D4图412中阴影部分的面积用定积分表示为()图412A.2xdxB.(2x1)dxC.(2x1)dxD.(12x)dx【解析】根据定积分的几何意义，阴影部分的面积为2xdx1dx(2x1)dx.【答案】B5下列各阴影部分的面积S不可以用Sf(x)g(x)dx求出的是()【解析】定积分Sf(x)g(x)dx的几何意义是求函数f(x)与g(x)之间的阴影部分的面积，必须注意f(x)的图像要在g(x)的图像上方，对照各选项，知D中f(x)的图像不全在g(x)的图像上方【答案】D二、填空题6(2016长春高二检测)定积分(3)dx_【解析】由定积分的几何意义知，定积分(3)dx表示由x1，x3与y3，y0所围成图形面积的相反数所以(3)dx(23)6.【答案】67定积分|x|dx_. 【导学号：94210070】【解析】如图，|x|dx2.【答案】8由直线x1，y0，x0和曲线yx3所围成的曲边梯形，将区间4等分，则曲边梯形面积的近似值(取每个区间的右端点)是_【解析】将区间0，1四等分，得到4个小区间：，以每个小区间右端点的函数值为高，4个小矩形的面积和为曲边梯形面积的近似值S13.【答案】三、解答题9(2016深圳高二检测)有一辆汽车在笔直的公路上变速行驶，在时刻t的速度为v(t)3t22(单位：km/h)，那么该汽车在0t2(单位：h)这段时间内行驶的路程s(单位：km)是多少？【解】在时间区间0，2上等间隔地插入n1个分点，将它分成n个小区间，记第i个小区间为(i1，2，n)，其长度为t.每个时间段上行驶的路程记为si(i1，2，n)，则显然有ssi，取i(i1，2，n)于是sisivt，snsi484.从而得到s的近似值ssn.ssn 8412.所以这段时间内行驶的路程为12 km.10(2016济南高二检测)已知x3dx，x3dx，x2dx，x2dx，求：(1)3x3dx；(2)6x2dx；(3)(3x22x3)dx.【解】(1)3x3dx3x3dx3312.(2)6x2dx6x2dx66126.(3)(3x22x3)dx3x2dx2x3dx32.能力提升1与定积分|sin x|dx相等的是()A.Bsin xdxC.sin xdxsin xdxDsin xdxsin xdx【解析】当x(0，时，sin x0；当x时，sin x0.由定积分的性质可得|sin x|dx|sin x|dx|sin x|dxsin xdx (sin x)dxsin xdxsin xdx.【答案】C2若|56x|dx2 016，则正数a的最大值为()A6B56C39 D2 016【解析】由|56x|dx56|x|dx2 016，得|x|dx36，|x|dx2xdxa236，即0a6.故正数a的最大值为6.【答案】A3计算定积分dx_. 【导学号：94210071】【解析】由于dx2dx表示单位圆的面积，所以dx.【答案】4已知函数f(x)求f(x)在区间2，2上的定积分【解】由定积分的几何意义知x3dx0，2xdx24，cos xdx0，由定积分的性质得f(x)dxx3dx2xdxcos xdx24.